Trạng thái g và u trong hàm sóng là gì

Theo thuyết photon ánh sáng của Einstein, ánh sáng có cấu tạo gián đoạn, gồm những hạt chuyển động trong

chân không, cũng như trong mọi môi trường với vận tốc là c (c = 3.

8 m/s), mang một năng lượng và động

lượng p xác định:

hc h h ;p mc c



      

 

Hàm sóng:

0

i r , t exp t p r

    

   

      

    

Hoặc:

r, t 0 exp i t k r

    

   

      

    

Trong đó  0 là biên độ sóng viết thay cho a. Biểu thức trên được gọi là hàm sóng phẳng đơn sắc của ánh

sáng.

- Giả thuyết của de Broglie (1892-1987)

“ Mọi vi hạt tự do, có năng lượng xác định, động lượng xác định đều liên hợp với 1 sóng phẳng đơn sắc”.

Hàm sóng phẳng đơn sắc của vi hạt tương tự như hàm sóng phẳng ánh sáng:

0

i r , t exp Wt p r

    

   

      

    

W h  và động lượng:

h p mv  

, trong đó v là vận tốc của hạt.

- Ý nghĩa xác suất của sóng de Broglie

• sóng de Broglie không phải sóng điện từ, sóng de Broglie có bản chất đặc thù lượng tử.
• Đại lượng

2  gọi là mật độ xác suất tìm thấy hạt (tức là xác suất tìm thấy hạt trong 1 đơn vị thể tích).

Xác suất PV tìm thấy hạt trong thể tích V nào đó bằng:

2

V V

P   dV



Vì chắc chắn tìm thấy hạt tại 1 nơi nào đó trong toàn không gian nên xác suất P 1 nên miền lấy tích phân

là toàn không gian.

2 P dV 1



  



• điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng.

Hệ thức bất định của Heisenberg (1901-1976)

Hệ thức bất định đối với tọa độ và động lượng :   x. p hx hoặc có thể viết   x. px 

Ý nghĩa của hệ thức bất định Heisenberg

Từ hệ thức trên, thấy rằng x càng nhỏ thì px càng lớn và ngược lại. Như vậy, vị trí x càng xác định bao

nhiêu thì động lượng (và do đó là vận tốc) càng bất định. Đặc biệt nếu  x 0 thì   px tức là nếu vị trí xác

định thì vận tốc không xác định.

Như vậy, hệ thức bất định Heisenberg cho ta biết giới hạn ứng dụng của cơ học cổ điển khi áp dụng vào thế

giới vĩ mô, mà không hạn chế khả năng nhận thức của chúng ta.

Hệ thức bất định cho năng lượng

  W. t hhoặc   W. t 

Chúng ta thấy, nếu năng lượng của 1 hệ càng bất định, thì thời gian tồn tại của hệ trong trạng thái đó càng

nhỏ, ngược lại nếu năng lượng của hệ trong một trạng thái nào đó càng xác định, thì thời gian tồn tại của hệ

trong trạng thái đó càng lớn. Như vậy, trạng thái của hệ có năng lượng xác định (W nhỏ) là trạng thái bền (

tlớn), còn trạng thái của hệ có năng lượng bất định là trạng thái không bền.

Phương trình Schrodinger

2 đ

2m   W  0 

Phương trình này gọi là phương trình Schrodinger cho hạt tự do.

Mở rộng phương trình này cho trường hợp hạt không tự do, nghĩa là hạt chuyển động trong trường lực có thế

năng U không phụ thuộc thời gian, ta viết được:

Wđ = W – U

Trong đó W là năng lượng toàn phần của hạt, từ đó, ta có phương trình:

2 ø ù

2m   W U   0 

Đây là phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trong trường lực đặc trưng bởi thế năng U. Ta giới hạn

chỉ xét hệ là kín hay đặt trong trường ngoài không biến thiên theo thời gian t. Năng lượng của hệ khi đó

không đổi và trạng thái của hệ được gọi là trạng thái dừng. Phương trình trên được gọi là phương trình

Schrodinger cho trạng thái dừng.

Ứng dụng của phương trình Schrodinger

Hạt trong giếng thế vuông góc 1 chiều có độ sâu vô cùng.

Giếng có bề rộng là a. Giếng thế được mô tả bằng thế năng:

ø ù

khi x 0, x a U x 0 khi 0 x a

  



  

Xét phương trình Schrodinger cho hạt nằm trong giếng (U = 0) một chiều.

2

2 2

d 2m W 0 dx



  



, đặt

2 2

2m k  W 0 

, k là số thực.

Suy ra:

2 2 2

d k 0 dx



  

Giải phương trình trên cho ta:

2 2 2 2

W n 2ma







, n 1, 2,...

Như vậy ta thấy năng lượng Wn chỉ lấy những giá trị gián đoạn, phụ thuộc vào n

2 . Ta nói năng lượng của hạt

bị lượng tử hóa. Số n được gọi là số lượng tử chính.

Mỗi trạng thái của hạt ứng với 1 hàm sóng:

nø ù

2 n x sin x a a

 

   

 

Dựa vào điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm của nó tại x = 0, x = a, ta tìm được mối quan hệ giữa A 1 ,

B 1 , A 2 , B 2 , A 3

Hệ số truyền qua:

ø ù

2 3 2 0 1

A 2a D exp 2m U W

A

 

    

  

Như vậy, khi năng lượng W của hạt nhỏ hơn thế năng hàng rào thì hệ số truyền qua vẫn luôn khác 0, nghĩa là

vẫn có hạt xuyên qua hàng rào.

Các bài tập cần làm

5.1-5. 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5.

Bài 5. Tính bước sóng de Broglie của electron và proton chuyển động với vận tốc 10

6 m/s.

Bài giải:

Với bài toán này ta thấy vận tốc của electron và proton là rất nhỏ so với vận tốc ánh sáng nên ta coi electron

và proton là những hạt cổ điển.

34 12 e 31 6 oe

h 6. 728 m m v 9,1.

  

   

34 12 p 27 6 op

h 6. 0,396 m m v 1,672.

      

Bài 5. Hạt electron tương đối tính chuyển động với vận tốc 2.

8 m/s. Tính bước sóng de Broglie của nó.

Bài giải: Với bài toán này cần lưu ý, hạt electron tương đối tính có khối lượng thay đổi, nên động lượng của

nó được tính như sau:

0e

2

2

m v p

v 1 c





, từ đó suy ra bước sóng:

2 34 2

2 31 8 2 0e 12

h h v 6,625 2 1 1 p m v c 9,1 .2 3

2,71 m







      



Bài 5. Hạt vi mô có độ bất định về động lượng bằng 1% động lượng của nó. Tính tỷ số giữa bước sóng de

Broglie  và độ bất định về tọa độ (x) của hạt đó.

Bài giải:

Có:

p 100 h 2 1%; x ; p p p p p

x 100 50

2

 

      





  

  

  

Bài 5. Hạt trong giếng thế năng một chiều, chiều cao vô cùng

ø ù

khi x 0, x a U x 0 khi 0 x a

  



  

1. Hạt ở trạng thái ứng với n = 2. Xác định những vị trí ứng với cực đại và cực tiểu của mật độ xác suất tìm

hạt;

2. Hạt ở trạng thái n = 2. Tìm xác suất để tìm hạt có vị trí trong khoảng

a 2a x 3 3

  ;

3. Tìm vị trí x tại đó xác suất tìm hạt ở các trạng thái n = 1 và n = 2 là như nhau;

4. Chứng minh rằng:

 mø ù ø ùx n x dx mn

Với

mn

0 khi m n

1 khi m n

 

 

 

(ký hiệu Kronecker)

5. Chứng minh rằng tại trạng thái n, số điểm nút của mật độ xác suất tìm hạt (tức là những điểm tại đó mật độ