Với cách Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ Toán lớp 12 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải chi tiết giúp học sinh biết cách Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ.
A. Phương pháp giải & Ví dụ Hướng 1: • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x)=k. • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu • Bước 3. Nhận xét: + Với x = x0 ⇔ f(x) = f(x0) = k do đó x = x0 là nghiệm. + Với x > x0 ⇔ f(x) > f(x0) = k do đó phương trình vô nghiệm. + Với x < x0 ⇔ f(x) < f(x0) = k do đó phương trình vô nghiệm. • Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Hướng 2: • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x). • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) và y = g(x). Khẳng định hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến còn y = g(x) là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng. • Bước 3. Xác đinh x0 sao cho f(x0) = g(x0 . • Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Hướng 3: • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(u) = f(v). • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x). Khẳng định hàm số đơn điệu. • Bước 3. Khi đó f(u) = f(v) ⇔ u = v.
Ví dụ minh họa Bài 1: Giải phương trình x+2.3log2 x = 3 (*). Hướng dẫn: Ta có: (*) ⇔ 2.3log2x = 3-x (1). Nhận xét: + Vế trái của phương trình là hàm số đồng biến. + Vế phải của phương trình là hàm số nghịch biến. Do đó nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất. Mặt khác: x = 1 là nghiệm của phương trình. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1}. Bài 2: Giải phương trình  Hướng dẫn: ⇒ x2 - 3x + 2 = u2 ⇒ 3x - x2 - 1 = 1 - u2. Khi đó phương trình (*) có dạng Xét hàm số: + Miền xác định: D = [0;+∞). + Đạo hàm Mặt khác f(1) = log3 (1+2) + (1/5).5 = 2. Do đó, phương trình (1) được viết dưới dạng Bài 3: Giải phương trình 2x2-x + 93-2x + x2 + 6 = 42x-3 + 3x - x2 + 5x (*). Hướng dẫn: Ta có: (*) ⇔ 2x2-x + 36-4x + x2 + 6 = 24x-6 + 3x-x2 + 5x. ⇔ 2x2-x + x2 - x - 3x-x2 = 24x-6 + 4x - 6 - 36-4x. ta được 2u + u - 3-u = 2v + v - 3-v. Xét hàm số: ⇒ f'(t) là hàm số đồng biến trên R, mà f(u)=f(v) ⇔ u=v. Ta có phương trình: Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1;6}. Tải tài liệuBài viết liên quan
Cho hàm số y = f(t) xác định và liên tục trên D: Nếu hàm số f(t) luôn đồng biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f(u)>f(v)\Leftrightarrow u>v$ Nếu hàm số f(t) luôn nghịch biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì $f(u)>f(v)\Leftrightarrow u<v$ Bài tập trắc nghiệm các dạng bài giải bất phương trình mũ
Lời giải chi tiết a) ĐK: $x\ne \frac{1}{2}$. Xét $g\left( x \right)={{3}^{2-x}}+3-2x$ với $x\in \mathbb{R}$ta có: $g’\left( x \right)=-{{3}^{2-x}}\ln 3-20\Leftrightarrow g\left( x \right)>g\left( 2 \right)\Leftrightarrow x<2$ $g\left( x \right)2$. Khi đó BPT $\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} g\left( x \right)>0 \\ {} {{4}^{x}}-2>0 \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} g\left( x \right)<0 \\ {} {{4}^{x}}-2<0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} x\frac{1}{2} \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} x>2 \\ {} x<\frac{1}{2} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \frac{1}{2}<x0,f\left( x \right)={{2}^{x}}\ln 2+1>0$ Do vậy hàm số$f\left( x \right)$,$g\left( x \right)$ đều đồng biến trên$\mathbb{R}$ Khi đó BPT$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} g\left( x \right)>0 \\ {} f\left( x \right)>0 \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} g\left( x \right)<0 \\ {} f\left( x \right)g\left( 1 \right) \\ {} f\left( x \right)>f\left( 2 \right) \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} g\left( x \right)<g\left( 1 \right) \\ {} f\left( x \right)2 \\ {} x2$;$x<1$
Lời giải chi tiết a) BPT $\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x+1}}-{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2x}}+1\ge x\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x+1}}+x+1\ge {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2x}}+2x$ Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{t}}+t\left( t\in \mathbb{R} \right),f’\left( t \right)={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{t}}\ln \left( \sqrt{2}+1 \right)+1>0$ Do vậy hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ Ta có: $f\left( x+1 \right)\ge f\left( 2x \right)\Leftrightarrow x+1\ge 2x\Leftrightarrow x\le 1$ Vậy nghiệm của BPT là: $x\le 1$ b) Đặt $y=\sqrt{{{2}^{x+1}}-x+6}\Rightarrow -x={{y}^{2}}-6-{{2}^{x+1}}$ Khi đó BPT $\Rightarrow {{4}^{x}}+{{2}^{x}}-4\ge {{y}^{2}}-6-{{2}^{x+1}}+y\Leftrightarrow {{4}^{x}}+{{3.2}^{x}}+2\ge {{y}^{2}}+y$ $\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}+1 \right)}^{2}}+\left( {{2}^{x}}+1 \right)\ge {{y}^{2}}+y$. Xét hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ Do vậy BPT $\Leftrightarrow f\left( {{2}^{x}}+1 \right)\ge f\left( y \right)\Leftrightarrow {{2}^{x}}+1\ge y\Leftrightarrow {{2}^{x}}+1\ge \sqrt{{{2}^{x+1}}-x+6}$ $\Leftrightarrow {{4}^{x}}+{{2}^{x+1}}+1\ge {{2}^{x+1}}-x+6\Leftrightarrow {{4}^{x}}+x\ge 5$. Xét hàm số $g\left( x \right)={{4}^{x}}+5$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ BPT$\Leftrightarrow g\left( x \right)\ge 5=g\left( 1 \right)\Leftrightarrow x\ge 1$ Vậy $x\ge 1$ là nghiệm của PT.
Lời giải chi tiết Ta có: ${{25.2}^{x}}-{{10}^{x}}+{{5}^{x}}\ge 25\Leftrightarrow 25\left( {{2}^{x}}-1 \right)\ge 5\left( {{2}^{x}}-1 \right)$ $\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-1 \right)\left( 25-{{5}^{x}} \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} {{2}^{x}}-1\ge 0 \\ {} 25-{{5}^{x}}\ge 0 \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} {{2}^{x}}-1\le 0 \\ {} 25-{{5}^{x}}\le 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \left\{ \begin{array} {} {{2}^{x}}\ge {{2}^{0}} \\ {} {{5}^{2}}\ge {{5}^{x}} \\ \end{array} \right. \\ {} \left\{ \begin{array} {} {{2}^{x}}\le {{2}^{0}} \\ {} {{5}^{2}}\le {{5}^{x}} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0\le x\le 2$ Kết hợp$x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ 0;1;2 \right\}\Rightarrow T=3$. Chọn B.
Lời giải chi tiết Ta có: BPT$\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}-x-6}}+{{x}^{2}}-x-6\le {{3}^{x+2}}+x+2$ Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}+t$ trên tập $\mathbb{R}$ Khi đó $f’\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+1>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$ suy ra $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ Do đó $f\left( {{x}^{2}}-x-6 \right)\le f\left( x+2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-6\le x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-8\le 0$ $\Leftrightarrow -2\le x\le 4\Rightarrow $BPT có 7 nghiệm nguyên. Chọn C.
Lời giải chi tiết Ta có: BPT $\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}-4x+7}}+{{x}^{2}}-4x+7\le {{2}^{5x-7}}+5x-7$ Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+t$ trên tập $\mathbb{R}$ Khi đó $f'(t)={{2}^{t}}\ln 2+1>0\,\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$ suy ra f(t) đồng biến trên $\mathbb{R}$ Do đó $f\left( {{x}^{2}}-4x+7 \right)\le f\left( 5x-7 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+7\le 5x-7\Leftrightarrow {{x}^{2}}-9x+14\le 0$ $\Leftrightarrow 2\le x\le 7\Rightarrow $BPT có 6 nghiệm nguyên. Chọn B.
Lời giải chi tiết Điều kiện $x\ge -1$ BPT $\Leftrightarrow {{2017}^{2x+\sqrt{x+1}}}+1004(2x+\sqrt{x+1})\le {{2018}^{2+\sqrt{x+1}}}+1004(2+\sqrt{x+1})$ (*) Hàm số $f(t)={{2017}^{t}}+1004t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên (*) $\Leftrightarrow 2x+\sqrt{x+1}\le 2+\sqrt{x+1}\Leftrightarrow x\in \left[ -1;1 \right]$ Do đó BPT có 3 nghiệm nguyên. Chọn C. |
