Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Cặp vector chỉ phương của $\left( P \right)$ là ${\vec n_P}$ và ${\vec u_d}.$
Bước 2. Viết phương trình đường thẳng $\Delta = \left( \alpha \right) \cap \left( P \right).$
Ví dụ. Cho $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 2 + 2t\\ z = - 1 - t \end{array} \right.$ và $\left( P \right):x - y + z - 1 = 0.$
Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$.
Giải. Bước 1. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Cặp vector chỉ phương của $\left( \alpha \right)$ là ${\vec u_d} = \left( { - 1;2; - 1} \right),{\vec n_P} = \left( {1; - 1;1} \right)$. Suy ra ${\vec n_\alpha } = \left[ {{{\vec u}_d},{{\vec n}_P}} \right] = \left( {1;0 - 1} \right).$ Chọn $M\left( {1;2; - 1} \right) \in d \subset \left( \alpha \right).$
Phương trình của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) - 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - z - 2 = 0.$
Bước 2. Hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\Delta = \left( \alpha \right) \cap \left( P \right).$
Bài viết Cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng.
Cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng (cực hay)
A. Phương pháp giải
Quảng cáo
Bài toán: Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm A. Tìm điểm H là hình chiếu của A trên đường thẳng d:
+ Bước 1: Gọi tọa độ điểm H(xH; yH).
Vì điểm H thuộc d nên : axH + byH + c = 0 (1).
+ Bước 2:Do AH vuông góc d nên AH→ là VTPT của d.
⇒ AH→(xH - xA; yH - yA) và n→(a; b) cùng phương
⇒ b(xH - xA) - a(yH - yA )= 0 (2)
+ Bước 3: giải hệ(1) và (2) ta được tọa độ điểm H.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x - y = 0 và điểm M(1; 3). Tìm hình chiếu của M trên d?
- (1; 3) B. (2; 2) C. ( 3; -1) D. (4; -1)
Lời giải
+ Gọi H(a;b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên a - b = 0 (1)
+ Ta có: MH→(a - 1; b - 3).
Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→ (1; -1)
⇒ ⇔ -a + 1= b - 3 hay a + b = 4 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ :
⇒ Tọa độ điểm H(2; 2).
Chọn B.
Quảng cáo
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0 và điểm M(0; 4). Tìm hình chiếu của M trên d?
- H(- ; ). B. H(; ). C. H(; ). D. (4; -1)
Lời giải
+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên 2a - b + 3 = 0 (1)
+ Ta có: MH→(a; b - 4).
Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(2; -1)
⇒ ⇔ -a = 2b - 8 hay a + 2b = 8 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ :
⇒ Tọa độ điểm H(; )
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: x + 2y + 4 = 0 và điểm M(1; 3). Gọi M’(x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 2x - y?
- 1 B. 2 C. 0 D. -1
Lời giải
+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên a + 2b + 4 = 0 (1)
+ Ta có: MH→(a - 1; b - 3).
Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(1 ; 2)
⇒ ⇔ 2a - 2 = b - 3 hay 2a - b = -1 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ :
⇒ Tọa độ điểm H(-1,2; -1,4).
+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:
Vậy M’(-3,4; - 5,8) ⇒ 2x - y = -1
Chọn D.
Quảng cáo
Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: 2x - y = 0 và điểm M(1 ;0). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 4x + 3y?
- 1 B. 2 C. 0 D. -1
Lời giải
+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên 2a - b = 0 (1)
+ Ta có: MH→(a-1; b).
Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(2; -1)
⇒ ⇔ -a + 1 = 2b hay a + 2b = 1 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ :
⇒ Tọa độ điểm H(0,2; 0,4).
+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:
Vậy M’(-0,6; 0,8) ⇒ 4x + 3y = 0
Chọn C.
Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 5 = 0 và điểm A(-1; 1). Tìm hình chiếu của điểm A trên d?
- (2; -1) B. (-2; -1) C. (-1; 1) D. (-1; 3)
Lời giải
Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :
2.(-1) - 3.1 + 5 = 0
⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là chính nó.
Chọn C.
Ví dụ 6: Cho đường thẳng (d): x + y - 3 = 0 và điểm M(2; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?
- x + y - 4 = 0 B. x + y - 1 = 0 C. x - y - 1 = 0 D. x - y + 3 = 0
Lời giải
+ Đường thẳng (d) có VTPT n→( 1; 1).
+ Vecto MA→( x - 2; y - 1).
Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d
⇒ Hai vecto MA→ và nd→ cùng phương
⇔ ⇔ x - 2 = y - 1 hay x - y - 1 = 0
Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng: ∆: x - y - 1 = 0
Chọn C.
Quảng cáo
Ví dụ 7: Cho đường thẳng d: \= 1 và điểm M(0; 3). Tìm hình chiếu của M trên d?
- (1; 3) B. (0,4; 2,8) C. ( 2,3; -1) D. (4; -1,2)
Lời giải
+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên \= 1 hay 2a - b = -2 (1)
+ Ta có: MH→(a; b - 3). Phương trình tổng quát (d): 2x - y + 2 = 0
Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(2; -1)
⇒ ⇔ -a = 2b - 6 hay a + 2b = 6 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ :
⇒ Tọa độ điểm H(0,4; 2,8)
Chọn B.
Ví dụ 8: Cho đường thẳng d: x - y + 3 = 0 và điểm M(1; 1). Tìm hình chiếu của M trên d?
- H(- ; ). B. H(; ). C. H(; ). D. (4; -1)
Lời giải
+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên a- b+3= 0 (1)
+ Ta có: MH→(a - 1; b - 1).
Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(1; -1)
⇒ ⇔ -a + 1 = b - 1 hay a + b = 2 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ :
⇒ Tọa độ điểm H(; ).
Chọn C.
Ví dụ 9: Cho đường thẳng d: 4x + y - 5 = 0 và điểm A(1; 1). Tìm hình chiếu của điểm A trên d?
- (2; -1) B. (-2; -1) C. (1; 1) D. (-1; 3)
Lời giải
Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :
4.1 + 1 - 5 = 0
⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là chính nó.
Chọn C.
Ví dụ 10: Cho đường thẳng (d): 2x + 3y - 3 = 0 và điểm M(0; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?
- 2x + 3y - 4 = 0 B. 3x - 2y + 2 = 0 C. 3x - 2y - 1 = 0 D. 2x - 3y + 3 = 0
Lời giải
+ Đường thẳng (d) có VTPT n→(2; 3).
+ Vecto MA→( x; y - 1).
Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d
⇒ Hai vecto MA→ và n→ cùng phương
⇔ ⇔ 3x = 2y - 2 hay 3x - 2y + 2 = 0
Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng: ∆: 3x - 2y + 2 = 0
Chọn B.
Ví dụ 11. Cho tam giác OBC có O(0; 0) ; B( 0; 6) và C(-6; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác OBC. Tìm điểm G’ đối xứng với G qua BC?
- G’( - ;- ) B. G’( -1; 1) C. G’(-2; 2) D. G’(-4; 4)
Lời giải
+ ta có: OB→(0; 6); OC→( -6; 0)
⇒ OB= 6; OC= 6 và OB→.OC→ \= 0.(-6) + 6.0 = 0
⇒ OB vuông góc OC và OB = OC
⇒ Tam giác OBC vuông góc tại O.
+ Do G là trọng tâm tam giác OBC nên tọa độ điểm G:
⇒ G( -2; 2)
+ Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác OBC là vuông cân tại O nên đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao nên OM vuông góc BC tại M.
⇒ G’ đối xứng với G qua BC nên M là trung điểm của GG’.
- M là trung điểm BC nên tọa độ điểm M: ⇒ M( - 3; 3)
- M là trung điểm GG’nên tọa độ điểm G’ là:
⇒ G’ ( -4; 4)
⇒ Vậy tọa độ điểm G’( - 4; 4)
Chọn D.
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Các công thức về phương trình đường thẳng
- Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng
- Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
- Viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng
- Viết phương trình đường thẳng khi biết hệ số góc
- Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
- Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng
- Tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
- Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại //tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
Hình chiếu của 1 đường thẳng lên mặt phẳng là gì?
Hình chiếu của một đường thẳng lên một mặt phẳng là một đường thẳng khác nằm trong mặt phẳng đó, sao cho các đường thẳng này cắt nhau vuông góc.
Hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng là gì?
Hình chiếu của một điểm tức là giao điểm của đường thẳng đã cho trước, và đường thẳng kẻ từ điểm vuông góc.
Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng là gì?
Phép chiếu vuông góc: - Đây là phép chiếu mà các tia chiếu song song với nhau vfa song song với phương chiếu L, trong đó phương chiếu L vuông góc với mặt phẳng hình chiếu.
Hình chiếu vuông góc như thế nào?
Trả lời: Hình chiếu vuông góc là: hình chiếu hợp với mặt phẳng một góc 90 độ. Nằm trước mặt phẳng chiếu đối với người quan sát.