Trong hình học, đường tròn nội tiếp của một tam giác là đường tròn lớn nhất nằm trong tam giác; nó tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác. Tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong.[1] .
Khi đó ta có một số hệ thức cơ bản:
r
=
2
S
a
+
b
+
c
=
S
p
=
(
p
a
)
tan
A
2
=
(
p
b
)
tan
B
2
=
(
p
c
)
tan
C
2
=
(
p
a
)
(
p
b
)
(
p
c
)
p
{\displaystyle {\begin{aligned}r={\frac {2S}{a+b+c}}={\frac {S}{p}}=(p-a)\tan {\frac {A}{2}}=(p-b)\tan {\frac {B}{2}}=(p-c)\tan {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}\end{aligned}}}
r
a
=
2
S
b
+
c
a
=
S
p
a
=
p
.
tan
A
2
{\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}={\frac {2S}{b+c-a}}={\frac {S}{p-a}}=p.\tan {\frac {A}{2}}\end{aligned}}}
r
b
=
2
S
c
+
a
b
=
S
p
b
=
p
.
tan
B
2
{\displaystyle {\begin{aligned}r_{b}={\frac {2S}{c+a-b}}={\frac {S}{p-b}}=p.\tan {\frac {B}{2}}\end{aligned}}}
r
c
=
2
S
a
+
b
c
=
S
p
c
=
p
.
tan
C
2
{\displaystyle {\begin{aligned}r_{c}={\frac {2S}{a+b-c}}={\frac {S}{p-c}}=p.\tan {\frac {C}{2}}\end{aligned}}}
Một số tính chất của các tâmSửa đổi
- Tâm của bốn đường tròn này cách đều các cạnh của tam giác
- Đường tròn nội tiếp và các đường tròn bàng tiếp đều tiếp xúc với đường tròn chín điểm. Tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với đường tròn chín điểm gọi là điểm Feuerbach.
- Các tâm của đường tròn nội tiếp và các đường tròn bàng tiếp lập thành một hệ thống trực giao có đường tròn chín điểm chính là đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
- Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với ba cạnh tam giác tại ba điểm A', B', C' khi đó ba đường thẳng AA', BB'. CC' đồng quy. Điểm này gọi là điểm Gergonne của tam giác[3]
- Cho tam giác ABC, đường tròn bàng tiếp ứng với cạnh BC, CA, AB lần lượt tiếp xúc với các cạnh này tại A', B', C' khi đó ba đường thẳng AA', BB'. CC' đồng quy. Điểm này gọi là điểm Nagel của tam giác ABC.
Biểu thức tọa độSửa đổi
Trên mặt phẳng tọa độ Đề-các, nếu một tam giác có 3 đỉnh có tọa độ là
(
x
a
,
y
a
)
{\displaystyle (x_{a},y_{a})}
,
(
x
b
,
y
b
)
{\displaystyle (x_{b},y_{b})}
,
(
x
c
,
y
c
)
{\displaystyle (x_{c},y_{c})}
ứng với độ dài các cạnh đối diện là
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
,
c
{\displaystyle c}
thì tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó có tọa độ là:
(
a
x
a
+
b
x
b
+
c
x
c
P
,
a
y
a
+
b
y
b
+
c
y
c
P
)
=
a
P
(
x
a
,
y
a
)
+
b
P
(
x
b
,
y
b
)
+
c
P
(
x
c
,
y
c
)
{\displaystyle {\bigg (}{\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{P}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{P}}{\bigg )}={\frac {a}{P}}(x_{a},y_{a})+{\frac {b}{P}}(x_{b},y_{b})+{\frac {c}{P}}(x_{c},y_{c})}
.ở đó
P
=
a
+
b
+
c
{\displaystyle P=a+b+c}
Xem thêmSửa đổi
- Tiếp tuyến
- Điểm Feuerbach
- Điểm Gergonne
- Điểm Nagel
Chú thíchSửa đổi
- ^ a b Kay (1969, tr.140)
- ^ Altshiller-Court (1952, tr.74)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFAltshiller-Court1952 (trợ giúp)
- ^ Dekov, Deko (2009). Computer-generated Mathematics: The Gergonne Point (PDF). Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. 1: 114.
Tham khảoSửa đổi
- Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (ấn bản 2), New York: Barnes & Noble, LCCN52013504
- Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN69012075
- Kimberling, Clark (1998). Triangle Centers and Central Triangles. Congressus Numerantium (129): ixxv, 1295.
- Kiss, Sándor (2006). The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles. Forum Geometricorum (6): 171177.
Liên kết ngoàiSửa đổi
- Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
- Weisstein, Eric W., "Incircle" từ MathWorld.
- Triangle incenter
- An interactive Java applet for the incenter Lưu trữ 2015-11-05 tại Wayback Machine
|
