Góc nghiêng của mặt Trời tại một vị trí trên Trái Đất là góc nghiêng giữa tai nắng lúc giữa trưa với mặt đất. Trong thực tế, để đo trực tiếp góc này, vào giữa trưa (khoang 12 giờ), em có thể dựng một thước thẳng vuông góc với mặt đất, đo độ dài của bóng thước trên mặt đất. Khi đó, tang của góc nghiêng Mặt Trời tại vị trí đặt thước bằng tỷ số giữa độ dài cửa thước và độ dài bóng thước. Góc nghiêng của Mặt Trời phụ thuộc vào vĩ độ của vị trí đo và phụ thuộc vào thời gian đo trong năm (ngày thứ mấy trong năm). Tại vị trí có vĩ độ \(\varphi \) và ngày thứ \(N\) trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời \(\alpha \) còn được tính theo công thức sau:
\(\alpha = {90^ \circ } - \varphi - \left| {\cos \left( {\left( {\frac{{2\left( {N + 10} \right)}}{{365}} - m} \right){{180} \circ }} \right)} \right|.23,{5 \circ }\)
Trong đó \(m = 0\) nếu \(1 \le N \le 172,\,\,m = 1\) nếu \(173 \le N \le 355,\,\,m = 2\) nếu \(356 \le N \le 365.\)
- Hãy áp dụng công thức trên để tính góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 trong năm không nhuận (năm mà tháng 2 có 28 ngày) tại vị trí có vĩ độ \(\varphi = {20^ \circ }.\)
- Hãy xác định vĩ độ tại nơi em sinh sống và tính góc nghiêng của Mặt Trời tại đó theo hai cách đã được đề cập trong bài toán (đo trực tiếp và tính theo công thức) và so sánh hai kết quả thu được.
Chú ý: Công thức tính toán nói trên chính xác tới \( \pm 0,{5^ \circ }.\)
Góc nghiêng của Mặt Trời có ảnh hưởng tới sự hấp thu nhiệt từ Mặt Trời của Trái Đất, tạo nên các mùa trong năm trên Trái Đất, chẳng hạn vào mùa hè, góc nghiêng lớn nên nhiệt độ cao.
Toán 10 Bài 5 Kết nối tri thức trang 37 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi Luyện tập và 4 bài tập trong SGK bài Giá trị lượng giác của một góc từ 0o đến 180o.
Giải Toán 10 Kết nối tri thức bài 5 trang 37 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán 10 tập 1. Giải Toán 10 bài 5 Kết nối tri thức là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh lớp 10 trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải Toán 10 Bài 5 Giá trị lượng giác của một góc từ 0o đến 180o mời các bạn cùng theo dõi.
Toán 10 Bài 5 Giá trị lượng giác của một góc từ 0o đến 180o
Luyện tập 1
Tìm các giá trị lượng giác của góc 120 0 (H.3.4).
Gợi ý đáp án
Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
Gọi H, K tương ứng là hình chiếu vuông của M lên các trục Ox, Oy.
Vì
Xét tam giác vuông MON ta có:
Điểm M nằm bên trái trục tung => )
\=>
\=>
\=>
\=>
Luyện tập 2
Trong Hình 3.6 hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau α và 90° - α (). Chứng minh rằng ΔMOP = ΔNOQ.
Từ đó nêu mối quan hệ giữa cosα và sin(90° - α)
Gợi ý đáp án
Ta có:
Mà
\=>
Xét ΔMOP và ΔNOQ ta có:
OM = ON = 1
\=> ΔMOP = ΔNOQ (ch – gn)
\=> OP = OQ (hai cạnh tương ứng)
Ta có: OP = cos α; OQ = sin(900 – α)
\=> sin(900 – α) = cos α
Giải Toán 10 Kết nối tri thức trang 37 Tập 1
Bài 3.1 trang 37
Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:
%20%5Cleft(%20%7B2%5Csin%20%7B%7B30%7D%5Eo%7D%20%2B%20%5Ccos%20%7B%7B135%7D%5Eo%7D%20-%203%5Ctan%20%7B%7B150%7D%5Eo%7D%7D%20%5Cright).%5Cleft(%20%7B%5Ccos%20%7B%7B180%7D%5Eo%7D%20-%20%5Ccot%20%7B%7B60%7D%5Eo%7D%7D%20%5Cright))
%20%7B%5Csin%20%5E2%7D%7B90%5Eo%7D%20%2B%20%7B%5Ccos%20%5E2%7D%7B120%5Eo%7D%20%2B%20%7B%5Ccos%20%5E2%7D%7B0%5Eo%7D%20-%20%7B%5Ctan%20%5E2%7D60%20%2B%20%7B%5Ccot%20%5E2%7D%7B135%5Eo%7D)
%20%5Ccos%20%7B60%5Eo%7D.%5Csin%20%7B30%5Eo%7D%20%2B%20%7B%5Ccos%20%5E2%7D%7B30%5Eo%7D)
Gợi ý đáp án
%20%5Cleft(%20%7B2%5Csin%20%7B%7B30%7D%5Eo%7D%20%2B%20%5Ccos%20%7B%7B135%7D%5Eo%7D%20-%203%5Ctan%20%7B%7B150%7D%5Eo%7D%7D%20%5Cright).%5Cleft(%20%7B%5Ccos%20%7B%7B180%7D%5Eo%7D%20-%20%5Ccot%20%7B%7B60%7D%5Eo%7D%7D%20%5Cright))
Đặt .%5Cleft(%20%7B%5Ccos%20%7B%7B180%7D%5Eo%7D%20-%20%5Ccot%20%7B%7B60%7D%5Eo%7D%7D%20%5Cright))
Ta có:
.%5Cleft(%20%7B%20-%20%5Ccos%20%7B0%5Eo%7D%20-%20%5Ccot%20%7B%7B60%7D%5Eo%7D%7D%20%5Cright))
Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
.%5Cleft(%20%7B%20-%201%20-%20%5Cfrac%7B%7B%5Csqrt%203%20%7D%7D%7B3%7D%7D%20%5Cright))
.%5Cleft(%20%7B1%20%2B%20%5Cfrac%7B%7B%5Csqrt%203%20%7D%7D%7B3%7D%7D%20%5Cright)%5C%5C%20%5CLeftrightarrow%20A%20%3D%20-%20%5Cfrac%7B%7B2%20-%20%5Csqrt%202%20%2B%202%5Csqrt%203%20%7D%7D%7B2%7D.%5Cfrac%7B%7B3%20%2B%20%5Csqrt%203%20%7D%7D%7B3%7D%5C%5C%20%5CLeftrightarrow%20A%20%3D%20-%20%5Cfrac%7B%7B%5Cleft(%20%7B2%20-%20%5Csqrt%202%20%2B%202%5Csqrt%203%20%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7B3%20%2B%20%5Csqrt%203%20%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B6%7D%5C%5C%20%5CLeftrightarrow%20A%20%3D%20-%20%5Cfrac%7B%7B6%20%2B%202%5Csqrt%203%20-%203%5Csqrt%202%20-%20%5Csqrt%206%20%2B%206%5Csqrt%203%20%2B%206%7D%7D%7B6%7D%5C%5C%20%5CLeftrightarrow%20A%20%3D%20-%20%5Cfrac%7B%7B12%20%2B%208%5Csqrt%203%20-%203%5Csqrt%202%20-%20%5Csqrt%206%20%7D%7D%7B6%7D.%5Cend%7Barray%7D)
%20%7B%5Csin%20%5E2%7D%7B90%5Eo%7D%20%2B%20%7B%5Ccos%20%5E2%7D%7B120%5Eo%7D%20%2B%20%7B%5Ccos%20%5E2%7D%7B0%5Eo%7D%20-%20%7B%5Ctan%20%5E2%7D60%20%2B%20%7B%5Ccot%20%5E2%7D%7B135%5Eo%7D)
Đặt
Ta có:
Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
%5E2%7D%20%2B%20%7B1%5E2%7D%20-%20%7B%5Cleft(%20%7B%5Csqrt%203%20%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%2B%20%7B1%5E2%7D)
%20%5Ccos%20%7B60%5Eo%7D.%5Csin%20%7B30%5Eo%7D%20%2B%20%7B%5Ccos%20%5E2%7D%7B30%5Eo%7D)
Đặt
Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%20%3D%201.)
Bài 3.2 trang 37
%20%5Csin%20%7B100%5Eo%7D%20%2B%20%5Csin%20%7B80%5Eo%7D%20%2B%20%5Ccos%20%7B16%5Eo%7D%20%2B%20%5Ccos%20%7B164%5Eo%7D%3B)
- .%5Ccot%20%5Calpha%20-%20%5Ccos%20%5Cleft(%20%7B%7B%7B180%7D%5Eo%7D%20-%20%5Calpha%20%7D%20%5Cright).%5Ctan%20%5Calpha%20.%5Ccot%20%5Cleft(%20%7B%7B%7B180%7D%5Eo%7D%20-%20%5Calpha%20%7D%20%5Cright)%20v%E1%BB%9Bi%20%7B0%5Eo%7D%20%3C%20%5Calpha%20%3C%20%7B90%5Eo%7D.)
Gợi ý đáp án:
%20%5Csin%20%7B100%5Eo%7D%20%2B%20%5Csin%20%7B80%5Eo%7D%20%2B%20%5Ccos%20%7B16%5Eo%7D%20%2B%20%5Ccos%20%7B164%5Eo%7D%3B)
Ta có:%20%3D%20%5Csin%20%7B80%5Eo%7D%5C%5C%5Ccos%20%7B164%5Eo%7D%20%3D%20%5Ccos%20%5Cleft(%20%7B%7B%7B180%7D%5Eo%7D%20-%20%7B%7B16%7D%5Eo%7D%7D%20%5Cright)%20%3D%20-%20%5Ccos%20%7B16%5Eo%7D%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.)
- .%5Ccot%20%5Calpha%20-%20%5Ccos%20%5Cleft(%20%7B%7B%7B180%7D%5Eo%7D%20-%20%5Calpha%20%7D%20%5Cright).%5Ctan%20%5Calpha%20.%5Ccot%20%5Cleft(%20%7B%7B%7B180%7D%5Eo%7D%20-%20%5Calpha%20%7D%20%5Cright)%20v%E1%BB%9Bi%20%7B0%5Eo%7D%20%3C%20%5Calpha%20%3C%20%7B90%5Eo%7D.)
Gợi ý đáp án:
Ta có:
%20%3D%20%5Csin%20%5Calpha%20%5C%5C%5Ccos%20%5Cleft(%20%7B%7B%7B180%7D%5Eo%7D%20-%20%5Calpha%20%7D%20%5Cright)%20%3D%20-%20%5Ccos%20%5Calpha%20%5C%5C%5Ctan%20%5Cleft(%20%7B%7B%7B180%7D%5Eo%7D%20-%20%5Calpha%20%7D%20%5Cright)%20%3D%20-%20%5Ctan%20%5Calpha%20%5C%5C%5Ccot%20%5Cleft(%20%7B%7B%7B180%7D%5Eo%7D%20-%20%5Calpha%20%7D%20%5Cright)%20%3D%20-%20%5Ccot%20%5Calpha%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.)
%20%3D%202%5Ccos%20%5Calpha%20-%20%5Ccos%20%5Calpha%20%3D%20%5Ccos%20%5Calpha%20.)
Bài 3.3 trang 37
Chứng minh các hệ thức sau:
%20%7B%5Csin%20%5E2%7D%5Calpha%20%2B%20%7B%5Ccos%20%5E2%7D%5Calpha%20%3D%201.)
%201%20%2B%20%7B%5Ctan%20%5E2%7D%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7B%7B%5Ccos%20%7D%5E2%7D%5Calpha%20%7D%7D%5Cquad%20(%5Calpha%20%5Cne%20%7B90%5Eo%7D))
%201%20%2B%20%7B%5Ccot%20%5E2%7D%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7B%7B%5Csin%20%7D%5E2%7D%5Calpha%20%7D%7D%5Cquad%20(%7B0%5Eo%7D%20%3C%20%5Calpha%20%3C%20%7B180%5Eo%7D))
Gợi ý đáp án:
%20%7B%5Csin%20%5E2%7D%5Calpha%20%2B%20%7B%5Ccos%20%5E2%7D%5Calpha%20%3D%201.)
Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho . Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.
Ta có: )
Mà )
Từ (1) và (2) suy ra (do OMN vuông tại N)
(vì OM =1). (đpcm)
%201%20%2B%20%7B%5Ctan%20%5E2%7D%5Calpha%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%7B%7B%5Ccos%20%7D%5E2%7D%5Calpha%20%7D%7D%5Cquad%20(%5Calpha%20%5Cne%20%7B90%5Eo%7D))
Ta có: )
Mà theo ý a) ta có với mọi góc
)
- )
Ta có: )
Mà theo ý a) ta có với mọi góc
)
Bài 3.4 trang 37
Cho góc ) thỏa mãn
Tính giá trị biểu thức:
Gợi ý đáp án
Vì
Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ
1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
+) Với mỗi góc ) có duy nhất điểm ) trên nửa đường tròn đơn vị để .Khi đó:
là tung độ của M
là hoành độ của M
)
)
2. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU
Hai góc bù nhau, và
%20%3D%20%5Csin%20%5Calpha%20%5C%5C%5Ccos%20%5Cleft(%20%7B%7B%7B180%7D%5Eo%7D%20-%20%5Calpha%20%7D%20%5Cright)%20%3D%20-%20%5Ccos%20%5Calpha%20%5C%5C%5Ctan%20%5Cleft(%20%7B%7B%7B180%7D%5Eo%7D%20-%20%5Calpha%20%7D%20%5Cright)%20%3D%20-%20%5Ctan%20%5Calpha%20(%5Calpha%20%5Cne%20%7B90%5Eo%7D)%5C%5C%5Ccot%20%5Cleft(%20%7B%7B%7B180%7D%5Eo%7D%20-%20%5Calpha%20%7D%20%5Cright)%20%3D%20-%20%5Ccot%20%5Calpha%20(%7B0%5Eo%7D%20%3C%20%5Calpha%20%3C%20%7B180%5Eo%7D)%5Cend%7Barray%7D)
Hai góc phụ nhau, và
%20%3D%20%5Ccos%20%5Calpha%20%5C%5C%5Ccos%20%5Cleft(%20%7B%7B%7B90%7D%5Eo%7D%20-%20%5Calpha%20%7D%20%5Cright)%20%3D%20%5Csin%20%5Calpha%20%5C%5C%5Ctan%20%5Cleft(%20%7B%7B%7B90%7D%5Eo%7D%20-%20%5Calpha%20%7D%20%5Cright)%20%3D%20%5Ccot%20%5Calpha%20(%5Calpha%20%5Cne%20%7B90%5Eo%7D%2C%7B0%5Eo%7D%20%3C%20%5Calpha%20%3C%20%7B180%5Eo%7D)%5C%5C%5Ccot%20%5Cleft(%20%7B%7B%7B90%7D%5Eo%7D%20-%20%5Calpha%20%7D%20%5Cright)%20%3D%20%5Ctan%20%5Calpha%20(%5Calpha%20%5Cne%20%7B90%5Eo%7D%2C%7B0%5Eo%7D%20%3C%20%5Calpha%20%3C%20%7B180%5Eo%7D)%5Cend%7Barray%7D)