§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CĂN BẢN TỌA Độ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ Hệ tọa độ trong không gian Hệ trục tọa độ Để-các trong không gian gồm ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi i, j, k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. Điểm o được gọi là gốc tọa độ. Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ. Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz. Tọa độ của một điểm M(x;y;z) o 0M = X.Ĩ + y.j + z.k Tọa độ của vectơ a = (a^3 2 Ị a3) hoạc a(3j Ja 2 í a3) 3 = 3-1.14" 32 -J + a3,k BIỂU THỨC TỌA Độ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ Trong không gian Oxyz cho hai vecto ã = (a,; a2; a3) và b = (b,; b2; b3). Tacó: a) a + b = (a.| + b1;a2 +b2;a3 +b3) ã-b = (a1-b1;a2-b2;a3-b3) kã = (ka1;ka2;ka3) với k là một số thực. Hệ quả Cho hai vecto ã = (a,; a2; a3) và b = (bi; b2; b3). Ta có: a = b ■ ai =bi a2 ‘ b2 a3 = b3 Vecto õ có tọa độ là (0; 0; 0) Với b * ỏ thì hai vecto ả và b cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho: a, = kbì, a2 = kb2, a3 = kb3. Trong không gian Oxyz, nếu A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) thì + AB = ÕB-ÕÃ = (xB-xA;yB-yA;zB-ZA) + Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: ivif XA + XB .Ya +yẹ ,ZA +ZB 'ì l 2 2 2 J TÍCH VÔ HƯỚNG Biểu thức tọa độ của tích vô hướng a.b - a-jb-j + a2b2 + a3b3 Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ ã = (a,; a2; a3) và b = (b-1; b2; b3) được xác định bởi công thức Độ dài của một vectơ: Cho vectơ ã = (an a2; a3), ta có |a| = VcTa = ya2 -i-a| + a3 Khoảng cách giữa hai điểm A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) là |Ãb| = ự(xB-XA)2+(yB - yA)2 + (zB - ZA )2 Gọi tp là góc giữa hai vectơ ă = (a,; a2; a3) và b = (bn b2; b3) với ã và b khác ỏ. Ta có: cosọ = cos(ã.b) = iệĩ = atbi+a2b2 + a3bs Ịa||b| ựa?+a^+a|.ựb?+b^+b| ã 1 b aíb, + a2b2 + a3b3 = 0. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm l(a; b; c) bán kính r có phương trình là (x-a)2 + (ý-b)2 + (z-c)2 = r2. Hoặc X2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + a2 + b2 + c2 = r2. Ngược lại, phương trình X2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0. với điều kiện A2 + B2 + c2 - D > 0 là phương trình của mặt cầu tâm l(-A; - B; - C) có bán kính r = Va2 +B2 +c2 -D . B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Cho ba vecta a=(2;-5;3), b = (0;2;-l), c = (l;7;2) a) Tính tọa độ của vectơ d = 4a - 4 b + 3c 3 b) Tính tọa độ của vecta e = a - 4b - 2c Ốịlải Tacó:4á = (8;-20; 12); -j b = [o;-|; I 3 V 3 3 3c = (3; 21; 6) Do đó d = 4ã - ị b + 3c = fll; ỉ; ẼẼÌ 3 l 3 3 ) ẽ = ã - 4 b - 2c = (0; -27; 3). 2. Cho ba điểm A = (1; -1; 1), B = CO; 1; 2), c = (1; 0; 1). Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC. <N I co Tọa độ trọng tâm G(xg; yG; z0) của AABC là: XG = |(XA +XB+XC) = •yG = |(yA +yB +yc) = ° _ 1, . „ , „ 4 ZG - 2 ZA + ZB + zc) ~ 2 VậyG = (|; 0; |). 3. Cho hình hộp ABCD.A’B'C'D' biết A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; -1; 1), C’= (4; 5; -5). Tính tọa độ các dính còn lại của hình hộp. ỐỊiảl Ta có: AB = (1; 1; 1) ẦS = (0; -1; 0) xc - 2 = 0 BC = AD • yc zc - 2 = 0 xc =2 •yc =° zc = 2 Vậy c = (2; 0; 2) Tương tự B’ = (4; 6; - 5), D’= (3; 4; -6). 4. Tinh: ã .b với ã = (3; 0; -6), b = (2; -4; 0) c . d với C = (1; -5; 2), ã= (4; 3; -5) tfla’i Áp dụng ã. b = a]bi + a2b2 + a3b3 với ả = (ai; a2; a3) và b = (bn b2; b3) Ta có ã. b = 3.2 + 0.(—4) + (-6).o = 6 c . d = 1.4 + (-5).3 + 2(—5) = -21. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trỉnh sau dây: X? + ỳ* + z2 - 8x - 2y + 1 = 0 3xr + Sy2 + 3z2 - 6x + 8y + 15z -3 = 0. úịíẦl Ta có: X2 + y2 + z2 - 8x - 2y + 1 = 0 (x2 - 8x + 16) + (y2 - 2y + 1) + z2 = 16 + 1 - 1 (x - 4)2 + (y - l)2 + z2 = 16 Vậy mặt cầu có tọa độ tâm 1(4; 1; 0) và bán kính R = 4. 3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 8y + 15z -3 = 0 8 X2 + y2 + z2 - 2x + 7 y + 5z - 1 = 0 3 _ 1 f 4? í 5? , _ 16 25 _' _ n (x - 1) + y + T- + Z + -7- -1- „—:—1?0 ổ. Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hạp sau dây: Có đường kinh AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3). Đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1). Ốịiải Tâm I của mặt cầu đường kính AB là trung điểm I của đoạn thẳng AB, tacóI[ 2; 2 ; 2 J=(3;"1;6’ Bán kính mặt cầu R = IA = ựl2 + (-2)2 + 22 = 3 Vậy phương trình mặt cầu là: (x - 3)2 + (y + l)2 + (z - 5)2 = 9. Bán kính mặt cầu là R = AC = V22 +12 + o2 = 75 Phương trình mặt cầu là (x - 3)2 + (y + 3)2 + (z - l)2 = 5. c. BÀI TẬP LÀM THÊM Trong không gian cho ba điểm AC1; 0; -2), B(2; 1; -1), C(l; -2; 2) Tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC. Tìm tọa độ trung điểm của các tam giác ABC. c)G|l;-l; -1 3 3 3 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Đáp số: a) AB = 73 ; BC = 7Ĩ9 ; CA = 2 75 b)íH- 34. lì (1; —1; 0) 2 2: 2 ’ : : Giải BT Hình học 12 - 45 Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(l; 1; 1), B(-l; 1; 0), C(3; 1; -1). Đáp số: m(|; 0; Cho A(2; 0; 1), B(-l; 2; 3). Tìm cosin của các góc tạo bởi ba vectơ đơn vị ĩ, j, k trên ba trục Ox, Oy, Oz và vectơ AB. T*,*. 3 2 2 tìáp sô: —!==', -y==- 7ĨỸ 7ĨỸ VĨ7 Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau: Có tâm 1(5; -3; 7) và có bán kính r = 2; Có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ; Đi qua điểm M(2; -1; -3) và có tâm C(3; -2; 1). Trong không gian Oxyz hãy xác định tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình sau đây: X2 + y2 + z2 - 6x + 2y - 16z - 26 = 0 2x? + 2y2 + 2z2 + 8x - 4y - 12z - 100 = 0. Show Chương III. PHƯƠNG PHÁP TẠO ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 1. HỆ TỌA Độ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững Hệ trục tọa độ trong không gian Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz có các vectơ đơn vị lần lượt là i, i, k đôi một vuông góc nhau được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian, gọi tắt là hệ tọa độ Oxyz. Trong đó o gọi là gốc tọa độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung và Oz là trục cao. Tọa độ của điểm Với mỗi điểm M trong không gian tọa độ Oxyz, ta có: OM = xi + yj + zk Trong đó (x; y; z) gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu M = (x; y; z) hoặc M(x; y; z). Tọa độ của vectơ Trong không gian tọa độ Oxyz cho vectơ a = xi + yj + zk, (x; y; z) gọi là tọa độ của vectơ a, kí hiệu a = (x; y; z). Tính chất: Cho các vectơ u = (a;b;c), v = (a';b';c') và m 6 R, ta có: u = V a = a', b = b', c = c' u + v = (a + a'; b + b'; c + c') u-v = (a-a'; b-b'; c-c') mu = (ma; mb; mc) U.V = a.a' + b.b' + c.c' |ũ| = a/lF = Va2 +b2 + c2 . a.a'+b.b'+c.c' - -- - cos u, V = — . với u 0, V * 0 - ' 7 Va2+b2+c2.Va'2 + b'2+c’2 u 1V U.V = 0 a.a' + b.b' + c.c' = 0 Một số công thức Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(xa; yA; ZA), B(xb; yB; ZB), C(xc; yc; zc), ta có: AB = (xB-xA;yB-yA;zB-zA) b) AB = IAb| = 7(xb-xa)2 +(yB-yA)2 +(zB-zA)2 c) Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: ■ Y Xạ+XB M" 2 y -2a+Yb Ym 2 ZA + ZB 2 d) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: ■ X, + XR +xc = _Ạ 2B C G 3 v Ya+Yb+Yc JG - 3 ZA +ZB +zc ° 3 5. Phương trình mặt cầu Phương trình mặt cầu tâm I (xo; yo; Zo), bán kính R là: (x - Xo)2 + (y - yo)2 + (z - z0)2 = R2 B. GIẢI BÀI TẬP Bài 1. Cho ba vectơ ă = (2; -5; 3), b = (0; 2; -1), c = (1; 7; 2) a) Tính toạ độ của vectơ d = 4a-^b + 3c b) Tính tọa độ vectơ e = a - 4b - 2c Giải a) Ta có: 4a = (8;-20; 12) -• -ì 3’3) -ịb = | 0; - 3 l 3c = (3;21;6) - - 1- - f Vậy d = 4a--ệb + 3c = 11;- 3 V b) Ta có: -4b = (0;-8;4) -2c = (-2;-14; 4) J,.55' 3’ 3 , e = a - 4b - 2c Vậy = (0’-2T,3) Bài 2. Cho ba điểm A(l; -1; 1), B(0; 1; 2), C(l; 0; 1). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Giải Áp dụng công thức tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: „ XA+XB+XC zyA+yB+yc „ = za+zb+zc 3 'y““ 3 '° 3 ta tính được: G _; 0; -7- u 3J Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(l; 0; 1), B(2; 1; 2), D(l; -1; 1), C’(4; 5; -5). Tính tọa độ các đĩnh còn lại của hình hộp. Giải D A’ B’ Ta có: ÃB = (1;1;1), ÃD = (0;-l;0) Vì ABCD là hình bình hành nên: ÃC = ÃB + ÃD = (1; 0; 1) c(2; 0; 2) XC-XA=1 Ta có: 5 yc “ yA - 0 • Vậy zc ZA 1 Đồng thời AA'= BB'= CC'= DD'= (2; 5; -7) Mà AA' = (2;5;-7) và A(l;0;l) XA.-XA =2 Nên A’(3;5;-6) ZA'-ZA = -7 Tương tự như trên ta tính được: BẼT’ = (2; 5;-7) => B'(4;6;-5) DD’ = (2; 5;-7) nên D'(3; 4;-6) Bài 4. Tính: ã.b với ã = (3;0;-6),b = (2;-4;0) c.d với c = (l;-5;2),d = (4;3;-5) Giải Ta có: a.b = 3.2 + 0(-4) + (-6).0 = 6 Ta có: c.d = 1.4 + (-5).3 + 2.(-5) = -2 Bài 5. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau đây: X2 + y2 + z2 - 8x - 2y + 1 = 0 3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 8y + 15z -3 = 0 Giải Ta có: X2 + y2 + z2 - 8x - 2y + 1 = 0 (x - 4)2 + (y - l)2 + (z - 0)2 - 16 - 1 + 1 = 0 (x - 4)2 + (y - l)2 + (z - 0)2 = 16 Vậy mặt cầu có tâm 1(4; 1; 0) và bán kính r = 4. Ta có: 3x2 + 3y2 + 3z2 - 6x + 8y +15z -3 = 0 X2 +y2 + z2-2x + -^y + 5z-l = 0 3 ( . X 2 / _ X 2 „ , 4Y , f 5^1 . 16 25 y+4 + Z+- -1-_-1 = 0 3J V 2j 94 |2 361192 " 36 - 62 19 và bán kính R=-ý- 6 ( 4 5 Vậy mặt cầu có tâm I 1;---;-— 13 2 Bài 6. Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây: Có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3) Đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3, -3, 1) Giải Gọi I là tâm của mặt cầu. Ta có I là trung điểm của đoạn AB. Vậy 1(3; -1; 5). Mặc khác R = = 4V4 + I6 + I6 = 3 2 / Vậy phương trình mặt cầu là: (x - 3)2 + (y + l)2 + (z - 5)2 = 9 Bán kính mặt cầu là: R = |cÃ| = ự22 +12 = V5 Vậy phương trình mặt cầu là: (x - 3)2 + (y + 3)2 + (z - l)2 = 5
Với Các dạng bài tập Hệ tọa độ trong không gian chọn lọc, có đáp án Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 100 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Hệ tọa độ trong không gian từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.  Tìm tọa độ của vecto, của điểm1. Tọa độ của vecto a) Định nghĩa Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của vecto u→ đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước u→=(x;y;z)⇔u→=xi→+yj→+zk→ b) Tính chất Trong không gian Oxyz, cho hai vecto a→ =(a1;a2;a3 ) và b→ =(b1;b2;b3 ); k∈R + + + + + + 2. Tọa độ của điểm a) Định nghĩa M(x;y;z)⇔OM→= xi→+yj→+zk→(x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ) b) Tính chất Cho A(x A; y A; z A );B(x B; y B; z B ) + AB→ =(xA-xB;yA-yB;zA-zB ) + + Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: + + Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: + + Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: + Bài 1:Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto a→ =-3i→ +5j→ +2k→ ; b→ =(3;2; -1); c→ =3j→ -2k→ ; d→ =(5; -3;2) a) Tìm tọa độ của các vecto a→ - 2b→ + c→ ; 3b→ -2c→ +d→ b) Tìm tọa độ của vecto 2a→ -b→ +1/3c→ c) Phân tích vecto d→ theo 3 vecto a→ ; b→ ; c→ Hướng dẫn: a) a→ =(-3;5;2); 2b→ =(6;4; -2); c→ =(0;3; -2) ⇒ a→- 2 b→+ c→=(-9;4; 2) 3 b→=(9;6; -3); 2 c→=(0;6; -4); d→=(5; -3;2) ⇒3 b→-2 c→+ d→=(14; -3;7) b) c) giả sử d→=ma→+nb→+pc→ Bài 2:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; -3;1);B(2;5;1) và vecto OC→=-3 i→+2 j→+5 k→ a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. b) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA, BE và OA = 2BE. c) Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 AB→+2 AM→=3 CM→ Hướng dẫn: a) ⇒BC→; AC→ không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng Gọi D (x; y; z) ⇒AD→=(x-1;y+3;z-1) ABCD là hình bình hành ⇔AD→=BC→ b) ⇒OA→; OB→ không cùng phương hay O, A, B không thẳng hàng. Gọi E (x; y; z) ⇒EB→=(2-x;5-y;1-z) Theo đề bài, tứ giác OABE là hình thang có hai đáy OA, BE và OA = 2BE. ⇒OA→=2EB→ c) Gọi M (x; y; z). Ta có: AB→=(1;8;0)⇒3AB→=(3;24;0) AM→=(x-1;y+3;z-1)⇒2AM→=(2x-2;2y+6;2z-2) CM→=(x+3;y-2;z-5)⇒3CM→=(3x+9;3y-6;3z-15) 3AB→+2AM→=3CM→ Vậy M(-8; 36; 13) Công thức tính Tích vô hướng của hai vecto trong không gian+ Tích vô hướng của hai vecto: a→.b→=a1.b1+ a2.b2+ a3.b3 + a→⊥b→⇔a1.b1+ a2.b2+ a3.b3=0 + a→2=a12+a22+a32 Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto a→=(1;2;1), b→=(3;-1;2), c→=(4; -1; -3),d→=(3; -3; -5),u→=(1;m;2),m∈R. a) Tính a→.b→; b→(a→-2c→) b) So sánh a→.(b→.c→) và (a→.b→ ) c→ c) Tính các góc (a→,b→ ), ( a→+b→,3a→- 2c→ ) d) Tìm m để u→⊥(b→+d→) e) Tìm m để (u→,a→ )=600 Hướng dẫn: a) a→ =(1;2;1),b→ =(3;-1;2) ⇒a→ .b→ =1.3+2.(-1)+1.2=3. c→ =(4; -1; -3)⇒2c→ =(8; -2; -6)⇒ a→ -2c→ =(-7;4;7) ⇒b→ (a→ -2c→ )=3.(-7)-1.4+2.7=-11 b) b→ .c→ =3.4+(-1).(-1)+2.(-3)=7⇒a→ .(b→ .c→ )=(7;14;7) a→ .b→ =3⇒(a→ .b→ ) c→ =(12; -3; -9) Vậy a→ .(b→ .c→ )≠(a→ .b→ ) c→ c) Ta có: ⇒(a→.b→ )≈710 + a→+ b→=(4;1;3),3a→- 2c→=(-5;8;9) ⇒cos( a→+b→,3a→- 2c→ ) ⇒( a→ +b→ ,3a→ - 2c→ )≈770 d) b→ +d→ =(6; -4; -3); u→ =(1;m;2) u ⃗⊥(b→ +d ⃗ )⇔u→ .(b→ +d→ )=0⇔6-4m-6=0⇔m=0 e) (u→ ,a→ )=600⇔cos(u→ ,a→ )=1/2 Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a→,b→ sao cho (a→,b→ )=1200, |a→ |=2; |b→ |=3. Tính |a→+ b→ | và |a→-2b→ | Hướng dẫn: Áp dụng công thức: a→ .b→ =|a→ |.|b→ |.cos(a→ ,b→ ) Ta có: |a→ + b→ |2=(a→ + b→ )2=a→ 2+2a→ .b→ +b→ 2 =|a→ |2+|b→ |2+2|a→ |.|b→ |.cos(a→ ,b→ )=4+9+2.2.3.((-1)/2)=7 ⇒|a→ + b→ |=√7 Tương tự: |a→ -2b→ |2 =|a→ |2+4|b→ |2-4|a→ |.|b→ |.cos(a→ ,b→ )=4+36-4.2.3.((-1)/2)=52 ⇒|a→ -2b→ |=2√(13) Chứng minh hai vecto cùng phương, không cùng phươnga→cùng phương với b→ (b→ ≠ 0→ )⇔ a→=k b→ (k∈R) Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các vecto a→=(3;2;5), b→ =(3m+2;3;6-n). Tìm m, n để a→ , b→ cùng phương, Hướng dẫn: Ta có: a→=(3;2;5), b→=(3m+2;3;6-n). a→ , b→ cùng phương Bài 2: Trong không gian hệ trục Oxyz, cho các điểm A (1; 2; 3), B(2; 1; 1), C (0; 2; 4) a) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oyz sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng. Hướng dẫn: a) Ta có: AB→=(1; -1; -2), AC→=(-1;0;1) b) M∈(Oyz)⇒M(0;y;z) AM→ =(-1;y-2;z-3), AB→=(1; -1; -2) A, B, M thẳng hàng ⇔ AM→, AB→ cùng phương ⇔y=3;z=5 Vậy M (0; 3; 5) Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ giác ABCD có A(2; -1; 5), B(5; -5; 7), C(11; -1; 6), D(5; 7; 2) . Tứ giác ABCD là hình gì? Hướng dẫn: AB→=(3; -4;2) DC→=(6; -8;4) ⇒ DC→=2 AB→ hay DC // AB ⇒ Tứ giác ABCD là hình thang có đáy AB và CD |
