Giá trị sản lượng mà các ngành cung cấp cho ngành mở

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HỒ CHÍ MINHTỐN DÀNH CHO KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊCHƯƠNG II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH - ỨNGDỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾGiảng viên : Thầy Nguyễn Thanh VânTác giả: TỔ 31. Lê Cao Thịnh2. Nguyễn Thị Minh Thy3. Nguyễn Trọng Tín4. Đặng Nữ Huyền Trang5. Nguyễn Khánh Trâm6. Đặng Lê Huyền Trân7. Nguyễn Gia Bảo Trân8. Mã Quảng Trấn9. Nguyễn Trần Thanh Trúc10. Nguyễn Phạm Nhã Tuệ11. Hồ Minh Cát Tường12. Nguyễn Lê Thanh Uyên13. Trương Mỹ Uyên14. Võ Thị Tường Vân15. Trương Khả Vy16. Văn Thị Tường Vy17. Đào Thị Hồng Nhung1 I. TRẮC NGHIỆM:Câu1:ax by cbx cy acx ay bCho hệ phương trình với a,b,c là các tham số thựcGọi A, A là ma trận hệ số và ma trận mở rộngA. RankA=3B.A  a 3  b3  c 3  3abcC. Nếu hệ có đúng một nghiệm thìA 0D. Nếu hệ có nghiệm thì a 3  b3  c 3 3abcGiải:a) Rank(A) =3. Sai vì:a bA = b c khơng thể có hạng bằng 3c a( )b) Ta có:a b c´ = b c a => det( A´ ) = 3abc – c3 – a3 – b3Ac a b| |Vậy b saic) Nếu hệ trên có đúng một nghiệm thì | A´ | ≠ 0Vậy Rank( A´ ) = 3 mà theo định lí Cronecker Capelli, ta có:Rank(A) ¿ Rank( A´ ) thì hệ phương trình trên vơ nghiệmVậy c sai=> Chọn D.x +2 y +2 z=3(2x+m−3 ) y+ 7 z=−m+9Câu 2: Cho hệ phương trình− x + ( m+3 ) y +mz=−1{2 Tìm m để hệ đã cho có vơ số nghiệm.A. m = -1B. m = 1C. m = -1; m = 1D. Cả 3 câu đều saiGiải:1 −2 23´Ta có A = 2 m− 3 7− m+9− 1 m+3 m −1()→1 −2 23( −2 ) d 1 + d 2 2 m+ 13 − m+3d1+ d3− 1m+1 m+2 −1(→1− 22 3d 2 + d 3 2 m+1 3 −m+3−1 0 m− 1m −1())Để hệ phương trình có vơ số nghiệm ↔r(A) = r( A´ ¿= 2 < số ẩn (=3)↔m–1=0↔m=1=> Chọn B.Câu 3: Cho hệ phương trình:x  2y  z  5x  2y  mz  mmx  2y  2z  mA.Hệ ln có nghiệm với mọi mB.Tồn tại m để hệ vơ nghiệmC.Hệ ln có đúng một nghiệm với mọi mD.Tồn tại m để hệ có vô số nghiệm.. Kết luận nào sau đây đúng?Giải1 2 1 5 −d 1+d 2 1215A = 1 2 m m − md 1+ d 3 00m− 1 m− 5→m 2 2m0 2 −2 m 2− m m− 5(|)(| )3 1215(d 2 , d 3) 0 2 −2 m 2− m m− 5→00m− 1 m− 5| )(Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất <=> m ≠ 1Nếu m= 1 :1 2 1 5ATa có: = 0 0 1 − 40 0 0 −4( |)=> R(A) = 2 < R( A )= 3=> Hệ phương trình vơ nghiệm=> Chọn B.Câu 4  :  Gọi s là số nghiệm của hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình x1  x 2  x 3  x 4  x 5  0 2x1  3x 2  4x 3  5x 4  6x 5  0 4x  5x  6x  7x  8x  02345 1.A. s = 1B. s = 2C. s = 3D. s = 4GiảiTa có :´ =A(1 1 1 1 1 01 1 1 1 1 0(−2d1)+d22 3 4 5 6 00 1 2 3 4 0→4 5 6 7 8 04 5 6 7 8 0)()1 1 1 1 1 0(− 4 d 1)+ d 3 0 1 2 3 4 0→0 1 2 3 4 0(())1 1 1 1 1 0(−1)d 2+ d 3 0 1 2 3 4 0→0 0 0 0 0 0→ rank A = rank A´ = 2 < n ( n =5)→ Hệ phương trình vơ định có 3 hệ nghiệm cơ bản phụ thuộc vào 3 tham số4 {x + x + x + x + x =0Từ HPT (1) => x 1+2 x2 + 33 x +4 4 x5 =02345{x =x +2 x + 3 x2345<=> x =−2x−3x−4x52345 Vậy hệ nghiệm cơ bản là : (1;-2;1;0;0), (2;-3;0;1;0), (3;-4;0;0;1)=> Chọn C.Câu 5: Gọi s là số nghiệm của hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trìnhx 1 +4 x2 +2 x 3+ x 4=02 x 1 +7 x 2+3 x 3 +4 x 4 =0. Ta có s lớn nhất khix 1 +5 x2 +3 x 3 − x 4=0x 1 +2 x 2 +m x 3 +5 x 4=0{B. m  0A. m  1C. m  0D. m  1Giải1´=2A11(4 2 17 3 45 3 −12 m 51 42 1 00−1−12 0→0 00 0 00 0m 0 0(01 4210 → 0 −11200 11−200 − 2 m −2 4)(0000))Để số nghiệm của hệ nghiệm cơ bản lớn nhất thì r ( A´ ) đạt min¿=¿ m=0=> Chọn C. x  y  2z  3t  0Câu 6: Cho hệ phương trình tuyến tính (I) : 2x  2y  5z  8t  0 . Hệ vectơ nào sauđây là một hệ nghiệm cơ bản của hệ (I)A. u1  (1, 0, 2,1), u 2  (1,1, 1, 0)B. u1  (1, 0, 2,1), u 2  (2, 2, 0, 0), u 3  (0,1, 2,1)C. u1  (1, 0, 2,1), u 2  (0,1, 2,1)D. u  (1, 0, 2,1)6 Giảit− yx=t − y=> { z=− 2t{2 xx ++2y +2y+ 5z+z +83t =0t=0 => {2 xx +2+5 z=−3z=− 8t −2 yTa có :=> Hệ nghiệm tổng quát (t – y ; y ; -2t ; t)=> Chọn A 0, 3 0,1 0, 2 A   0, 2 0, 4 0,1  0, 3 0, 2 0, 3 Câu 7: Trong mơ hình input, output mở biết ma trận đầu vàoGiả sử sản lượng của ba ngành lần lượt là 80, 100 và 60 . Phát biểu nào sau đây làđúng ?A. Tổng giá trị nguyên liê ̣u mà ngành 1 đã sử dụng là 40B. Giá trị nguyên liê ̣u mà ngành 2 cung cấp cho ngành 3 là 10C. Giá trị sản lượng mà các ngành cung cấp cho ngành mở là 40,50,28D. Các phát biểu trên đều sai.GiảiTổng giá trị nguyên liệu mà ngành 1 sử dụng:0,3.80 + 0,1.100 + 0,2.60 = 46=> Câu A saiGiá trị nguyên liệu mà ngành 2 cung cấp cho ngành 3 là:a23 . x3 = 0,1.60 = 6=> Câu B saiThay x1, x2, x3 lần lượt bằng 80, 100, 60 vào hệ phương trình:{x 1=0,3 x1 +0,1 x 2+ 0,2 x 3 +d 1x2 =0,2 x 1 +0,4 x 2 +0,1 x 3 +d 2x3 =0,3 x1 +0,2 x 2+ 0,3 x 3 +d 3d 1=34=> d 2=38d 3=− 2{=> Câu C sai7 => Chọn D.II. TỰ LUẬN:Bài 01 : Giải và biện luận hệ phương trình:x  y  2z  0ax  y  2z  1x  y  az  2Giải1 1 2 01 1 2 01120´A= a 1 2 1 c 1 ↔ c 2 1 a 2 1 d 2 →− d 1+ d 2 0 a −101→1 +d 3 01 1 a 21 1 a 2 d 3 → −d0a−22→() ()()* Nếu a =1 hoặc a = 2, thì:´ )=3r ( A )=2< r ( A=> Hệ phương trình vơ nghiệm.{a ≠1* Nếu a ≠2 , r ( A )=r ( A´ )=3=> Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhấtD= |A| = −(a −1)(a −2)D 1=0 1 2112− a1( 2+4 +4 −a ) ==1 1 2=− ( a − 1 )( a − 2 )−(a −1)(a −2)−( a− 1)( a− 2) a −12 1 aD 2=1 0 2116 −5 a( a+4 a −2 −4 )=a 1 2=−(a −1)(a −2)− ( a −1 ) ( a −2 )( a −1)(a −2)1 2 aD 3=1 1 0112 −2 a2( 2+1 −1− 2 a )==a 1 1=−(a −1)(a −2)− ( a −1 ) ( a− 2 )−(a −1)(a −2) a −21 1 2| || || |Vậy nếu a = 1 hoặc a = 2 thì hệ phương trình vơ nghiệmnếu{aa ≠1≠2 , thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất., làBài 02 : Cho hệ phương trình:8{1a−16 −5 ay=(a − 1)( a− 2)2z=a −2x= ìï 2x + 3y - z = mïïï - 3x - 2y + mz = - 1íïïïï x - y + 2z = 2ỵTìm m để hệ phương trình vơ số nghiệm.Giải:Xét ma trận hệ số mở rộng:23 −1 m´A = − 3 − 2 m −11 −1 2 2(1 −1220 −5 m+6 5-2d1 + d3 05− 5 m− 43d1 + d2())1 −1 2 2− 3 − 2 m −123 −1 md1 ↔ d2(())1 −12d2 + d3 20 −5 m+6 50 0 m+1 m+ 1Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm<=> r(A) = r( A´ ) = 2 ( < 3 )<=> m + 1 = 0<=> m = -1Bài03: Trong mơ hình Input – Output mở, cho ma trận hệ số đầu vào 0,1 0, 2 0,1 A   0, 2 0, 2 0,1  0,3 0,1 0, 2 Giảia) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận ( I - A ), với I là ma trận đơn vị cấp 3.9 1 0 00,1 0,2 0,10,9 − 0,2 − 0,1Ta có : ( I - A ) = 0 1 0 − 0,2 0,2 0,1 = − 0,2 0,8 − 0,10 0 10,3 0,1 0,2− 0,3 − 0,1 0,8()(630503190→ ( I - A )-1 =503260503170503690503150503)()100503110503680503( )b) Tìm sản lượng của 3 ngành, biết yêu cầu của ngành mở đối với 3 ngành làD = ( 68,86,29).Gọi X là véc tơ biểu thị giá trị sản lượng của 3 ngành.Ta có: X = ( I - A )-1 . D630503190=> X = 50326050317050369050315050310050368110. 8650329680503( )()120( )=> X = 150100x1 =120Giá trị sản lượng 3 ngành là : x2 =150 ( đơn vị tiền )x3 =100{Bài 04: Xét mơ hình Input-Output mở gồm 3 ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào 0,1 0, 2 0, 2A  0, 2 0, 2 0,30, 4 0,1 0, 2a)Tìm tổng nguyên liệu đầu vào của ba ngành để sản xuất ra được 10 đơn vịđầu ra của từng ngành10 b)Tìm sản lượng ngành 1, biết rằng ngành 3 phải cung cấp cho ngành 1 vớilượng nguyên liệu giá trị 70 (đvt).c) Nếu biết sản lượng của ngành 3 là 100, thì ngành 1 phải cung cấp cho ngành 3là bao nhiêu?Giảia) Tổng nguyên liệu của 3 ngành để sản xuất được 10 đơn vị đầu ra của từng ngành:Tổng nguyên liệu ngành 1: 10. (0,1 +0,2+0,2) = 5 (đơn vị tiền)Tổng nguyên liệu ngành 2: 10. (0,2 +0,2+0,3) = 7 (đơn vị tiền)Tổng nguyên liệu ngành 3: 10. (0,4 +0,1+0,2) = 7 (đơn vị tiền)b) Tìm sản lượng ngành 1, biết rằng ngành 3 phải cung cấp cho ngành 1 với lượngnguyên liệu giá trị 70 (đvt).Ta có: a 31. x 1= 70=> 0,4 . x 1= 70=> x 1 = 175c) Nếu biết sản lượng của ngành 3 là 100, thì ngành 1 phải cung cấp cho ngành 3 làbao nhiêu?Ngành 1 phải cung cấp cho ngành 3 là:a 31. x 3= 0,2.100 = 20 (đơn vị tiền)III. SÁCH BÀI TẬP:Bài 11: Cho hệ phương trình:Tìm m để hệ có vơ số nghiệm và tìm nghiệm tổng qt trong trường hợp đó.11 Giải{x + y +2 z =0Bài 13: Cho hệ phương trình tuyến tính ax+ y +2 z=1 (I).x + y +az =2Khi đó, hệ (I) là hệ Cramer khi và chỉ khiA. a ≠ 1B. a ≠ 2C. a = 1 hoặc a = 2D. a ≠ 1 và a ≠ 2Giải:Ta có:112D = a 1 2 = (a - 2)(a - 1)11a| |{a ≠2Hệ phương trình (I) là hệ Cramer ↔ D ≠ 0 ↔ a ≠1=> Chọn D.2 x +3 y=5Bài 14: Cho hệ phương trình tuyến tính x+2 y=3 (I).2a x+3 ay =4{Khi đó, hệ (I) có đúng một nghiệm khi và chỉ khi:A. a = 1B. a = −412 C. a = 1 hoặc a = −4D. a ≠ 1 và a ≠ −4Giải:{2 x +3 y=52 3A = (1 2) với | A|=1x=|5 3|=13 2=>2 5y=|=11 3|Ta có: x +2 y=3{Để hệ phương trình (I) có đúng một nghiệm duy nhất thì:a 2 x+ 3 ay=4 (với x = y=1) <=> a 2+3 a − 4=0<=> a = 1 hoặc a = -4=> Chọn C.Bài 15 : Cho hệ phương trình tuyến tính:x+ 2 y +mz=3+ m2 x +my − 3 z =m−12 x − my+2 mz=−2{(I)Cho biết x=1, y=1, z=1 thỏa hệ (I). Chọn mệnh đề đúng:A. m=-4 và hệ (I) có vơ số nghiệmB. m=-4 và hệ (I) có nghiệm duy nhấtC. m=-2 và hệ (I) có vơ số nghiệmD. m=-4 và hệ (I) có nghiệm duy nhấtGiải:1 2m 3+m d 2=− 2 d 1+ d 2 12m3+ m´A = 2 m − 3 m−1 d =− 2 d + d 0 m −4 −3 −2 m −m− 7313→2 − m 2 m −20 −m − 40−2 m− 8(| )(| )13 1m23+ mc 3 ↔c 2 0 −3 − 2m m− 4 − m− 7→00− m− 4 −2 m− 8(| )* Nếu m≠-4 thì r(A) = r( A´ ) = 3=> Hệ phương trình có nghiệm duy nhất* Nếu m= -4 thì r(A) = r( A´ ) = 2 (¿ 3)=> Hệ phương trình vơ số nghiệm=> Chọn ABài 18: Trong mơ hình Input – Output Mở Leontief, biết ma trận đầu vào như sau:a) Nói ý nghĩa kinh tế của hệ số a21 = 0,3.b) Biết sản lượng của ngành 2 là 100, tính giá trị của lượng nguyên liệu mà cácngành cung cấp cho nó.c) Tìm ma trận nghịch đảo của ( I3 - A ).d) Tìm mức sản lượng của ba ngành, nếu ngành mở yêu cầu ba ngành trên phảicung cấp cho nó những lượng sản phẩm trị giá tương ứng ( 39,49,16 ).e) Nếu yêu cầu xuất khẩu dự trữ thay đổi đối với các ngành lần lượt là∆ D=(3 , −2,0) .Hãy tính mức thay đổi sản lượng của các ngành.Giải:a) Ý nghĩa kinh tế của hệ số a21 = 0,3 là : cần một lượng hàng hóa thứ 2 ( nguyên liệuthứ 2 ) trị giá 0,3 ( đơn vị tiền ) để sản xuất một lượng hàng hóa thứ 1 trị giá 1 ( đơnvị tiền )b) Khi sản lượng của ngàng 2 là 100, Giá trị của lượng nguyên liệu mà các ngànhcung cấp cho nó lần lượt là :Ngành 1:a12 . x2 = 0,2 . 100 = 20 ( đơn vị tiền )Ngành 2:a22. x2 = 0,1 . 100 = 10 ( đơn vị tiền )14 Ngành 3:a32 . x2 = 0,3 . 100 = 30 ( đơn vị tiền )1 0 00,1 0,2 0,3c) Ta có: I3 - A = 0 1 0 - 0,3 0,1 0,10 0 10,2 0,3 0,2()()0,9 − 0,2 − 0,3−= 0,3 0,9 − 0,1− 0,2 − 0,3 − 0,8()|I 3 − A| = 0,44834524465=> ( I 3 − A )-1 = 12213524412524416512215524414524445122375244( )d) Gọi X là vecto biểu thị giá trị sản lượng của 3 ngành34524465Ta có: X = ( I 3 − A )-1 . D = 122135244=12524416512215524414524445122375244( )().394916()547561567061471561x1 ≈ 89,754Giá trị sản lượng 3 ngành là : x 2 ≈ 92,951 ( đơn vị tiền )x 3 ≈ 77,295{e) Gọi ∆ X là vecto biểu thị mức thay đổi sản lượng của 3 ngành34524465∆ X = ( I 3 − A )-1 . ∆ D =12213524412524416512215524414524445122375244( ).3−20()15 =785244−13512295244()x 1 ≈ 3,17Mức thay đổi sản lượng của 3 ngành là : x2 ≈ −1,107 ( đơn vị tiền )x 3 ≈ 0,389{Câu 20: Xét mơ hình Input – Output mở Leontief gồm ba ngành với ma trận hệ sốđầu vào là0,3 0,1 0,2A= 0,2 m 0,1 =( a ij )3 × 30,3 0,2 0,3()a)Giải thích ý nghĩa kinh tế của hệ số a23 . Từ đó tính số tiền mà ngành 2 phảiđóng góp cho ngành 3 khi giá trị đầu ra của ngành 3 là 200 (đơn vị tiền).+ Ý nghĩa kinh tế của hệ số a23 : Cần 1 lượng hàng hóa thứ 2 ( nguyên liệu thứ 2) trịgiá 0,1 (đơn vị tiền) để sản xuất một lượng hàng hóa thứ 3 trị giá 1 (đơn vị tiền)+ Ngành 2 phải cung cấp cho ngành 3:a23 . x3 = 0,1 . 200 = 20 ( đơn vị tiền )b) Giải thích ý nghĩa kinh tế của hệ số a03. Từ đó suy ra ngành mở phải đónggóp bao nhiêu cho ngành 3 khi giá trị sản lượng của ngành 3 là 1000 (đơn vịtiền).a03= 1- (a13+a23+a33)= 0,4+Ý nghĩa kinh tế của hệ số a03: ngành mở đóng góp 0,4 ( đơn vị tiền) cho ngành 3 đểngành 3 sản xuất 1 lượng hàng trị giá 1 (đơn vị tiền)+Ngành mở phải đóng góp cho ngành 3:0,4. 1000= 400 ( đơn vị tiền)c) Hãy tìm giá trị của m, biết rằng ngành mở phải đóng góp 150 (đơn vị tiền)cho ngành 2 khi giá trị sản lượng của ngành 2 là 500 (đơn vị tiền).Ta có: a02= 1-(a12 + a22+ a32)= 1- (0,1 + m + 0,2 )= 0,7 – m16 Theo đề bài, ta có:a02 .500 = 150<= > (0,7 – m) . 500 =150<=> 0,7 – m = 0,3<=> m = 0,4.d) Với m = 0,4 hãy tìm giá trị sản lượng của ba ngành nếu biết yêu cầu củangành mở đối với ba ngành lần lượt là 66 , 124, 100.0,7 − 0,1 − 0,2I – A = − 0,2 0,6 − 0,1− 0,3 − 0,2 0,7()Det ( I – A) = 0,219.400219170=> ( I – A) -1 = 219220219110219430219170219130219110219400219( )Gọi X là vecto biểu thị giá trị sản lượng 3 ngànhX = ( I – A )-1 . D400219170= 21922021911021943021917021913021966110. 124219100400219( )()( )176807325180= 732520073x 1 ≈ 242,192Vậy sản lượng 3 ngành x 2 ≈ 344,932x3 ≈ 345,205{( đơn vị tiền )17 18