Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ với $a\ne 0$ có đồ thị gọi là đường cong $(C)$ và $$y’=f'(x)=3ax^2+2bx+c$$ Show Nhận thấy $y’$ là một tam thức bậc hai có $$\Delta’_{y’}=b^2-3ac.$$ Do đó. có hai khả năng sau:
Thật vậy, giả sử phương trình \(f'(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thì ta có $f'(x_1) = f'(x_2)=0$ và toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có dạng \(A(x_1; f(x_1))\), \(B(x_2; f(x_2))\). Thực hiện phép chia \(f(x)\) cho \(f'(x)\) và giả sử ta được thương \(q(x)\) và dư là \(r(x)\) ($r(x)$ có dạng $kx+m$) tức là \[f(x)=q(x)\cdot f'(x)+r(x).\] Suy ra, $$f(x_1)=q(x_1)\cdot f'(x_1)+r(x_1)=r(x_1),$$ vì $f'(x_1)=0$. Hay toạ điểm $A$ là $(x_1,r(x_1))$. Tương tự tính được toạ độ điểm $B$ là $(x_2,r(x_2))$. Như vậy toạ độ hai điểm \(A, B\) đều thỏa mãn phương trình \(y=r(x)=kx+m\) hay đường thẳng \(y=kx+m\) chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba đã cho. 2. Ví dụ minh hoạĐề bài. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^3-2x^2-x+1\). Hướng dẫn. Ta có \(f'(x)=3x^2-4x-1\). Thực hiện phép chia đa thức \(f(x)\) cho \(f'(x)\) ta được thương là \(\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}\) và dư là \(-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\). Suy ra phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(y=-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\).
Xem thêm: Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng
Câu hỏiNhận biết
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) có phương trình là:
A. B. \(y = \dfrac{1}{2}x + 1\). C. \(y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}\) D.
Tải trọn bộ tài liệu tự học tại đây
Giải chi tiết: Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\). + Với \(x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow A\left( {0;1} \right)\). + Với \(x = 2 \Rightarrow y = - 3 \Rightarrow B\left( {2; - 3} \right)\). Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có dạng \(\left( d \right):\,\,y = ax + b\). + \(A\left( {0;1} \right) \in d \Rightarrow 1 = 0.a + b \Leftrightarrow b = 1\). + \(B\left( {2; - 3} \right) \in d \Rightarrow - 3 = 2.a + b \Leftrightarrow - 3 = 2a + 1 \Leftrightarrow a = - 2\). Vậy phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là \(y = - 2x + 1\). Chọn D
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Đường thẳng qua hai điểm cực trị, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.  Nội dung bài viết Đường thẳng qua hai điểm cực trị: Dạng toán 5. Đường thẳng qua hai điểm cực trị. Phương pháp giải Bài toán: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số 3 2 y ax bx cx d: Sử dụng một trong các cách sau: 2 2 2 3 9 9 c b bc g x x d a a 18 3 y y a y. Dùng phép chia đa thức: đề chia đạo lấy dư. Bài toán: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số 2 ax bx c y dx e: Sử dụng tính chất: Nếu 0 x là điểm cực trị của hàm số hữu tỷ u x y v x thì giá trị cực trị tương ứng của hàm số là (đạo tử chia đạo mẫu). Ví dụ 01. Đồ thị của hàm số 3 2 y x x 3 9 1 có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB. Lời giải Chọn C 2 y x x 3 6 9 2 1 6 0 3 6 9 0 3 26 x y y x x. Ta có A B nên Chọn 1. Phương trình đường thẳng 0 là: 8 1 1 6 0 8 2 0 x y x y. Thay tọa độ các điểm P M N Q vào phương trình đường thẳng AB ta có điểm N 1 10 thuộc đường thẳng. Ví dụ 02. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d y m x m 3 1 3 vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Lời giải Chọn B Xét hàm số 3 2 y x x 3 1 Có : 2 y x x 3 6. Do đó đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này có phương trình là y x 2 1. Để d vuông góc với thì 3 1 2 1 m 1 6 m. Vậy giá trị cần tìm của m là 1 6 m. Ví dụ 03. Tìm tổng tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2 y x m x m m x 3 1 6 1 2 song song đường thẳng y x 4. Lời giải Chọn A Ta có 2 y x m x m m 6 6 1 6 1 2 1 2 x m y x m. Để hàm số có hai cực trị thì m m 1 2 1 3 m. Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là 3 2 A m m 3 2 B m m 1 2 20 24 9 1. Do đó 3 AB m m 1 3 3 1. Do đó AB có vectơ pháp tuyến là 2 n m 3 1 1. Do đó 2 3 2 AB m x y m m 2 3 2 y m x m m 3 1 2 3. Để đường thẳng AB song song với đường thẳng y x 4 thì. Ví dụ 04. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 2 2 3 2 1 x x. Lời giải Chọn B Cách 1: Tập xác định 1 2 D. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là M 1 2 và N 2 1. Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của ĐTHS là: y x 1. Cách 2: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng: 2 2 3 2 2 1 2 2 1 x x y y x. Cách 1: +) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số theo quy tắc 1 : Quy tắc 1: - Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. - Bước 2: Tính $f'\left( x \right)$, tìm các điểm tại đó $f'\left( x \right) = 0$ hoặc không xác định. - Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận. + Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số. + Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số. +) Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm $A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}}\right)$ (với ${x_1} \ne {x_2};{y_1} \ne {y_2}$) là :$\dfrac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}}$ Cách 2: Muốn tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số ta lấy \(y\) chia cho \(y’\) và lấy phần dư. Cách 3: Sử dụng MTCT cho hàm bậc 3 (Chỉ sử dụng khi đã được học chương số phức) Bước 1: Tính y' và y'' Bước 2: Bấm máy và sử dụng chức năng CALC Mode 2 và nhập: $y-\dfrac{y'.y''}{18a}$ Trong đó a là hệ số của $x^3$ Bấm tiếp: CALC + SHIFT+ "$i$" "=" Với $i$ là đơn vị ảo (số phức) trên máy tính. Bước 3: Kết luận Kết quả nhận được có dạng $ a+bi $ thì phương trình đường thẳng cần tìm là $y=bx+a$
Xin chào tất cả các bạn, hôm nay mình sẽ tiếp tục hướng dẫn cho các bạn cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Xét về bản chất thì bài viết này là sự kết hợp giữa bài viết cách tìm cực trị của hàm số đa thức và bài viết cách viết phương trình đường thẳng nằm trên mặt phẳng mà mình đã chia sẻ trước đó. Vậy nên, nội dung chính của bài viết này chính là phần nội dung kết hợp của hai bài viết trên. Tuy nhiên trong bài viết này mình sẽ giới thiệu thêm …
Okay, bắt đầu thôi nào… Trường hợp #1. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc baỞ đây mình chọn hướng dẫn riêng cho hàm số bậc ba $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ với $a \neq 0$ là vì hàm số này rất thường gặp trong các đề kiểm tra, hoặc đề thi. Ngoài viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba thì đề bài còn có thể yêu cầu bạn:
Cách 1. Sử dụng kiến thức Toán họcVí dụ 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số $f(x)=2x^3-15x^2+36x$ Lời giải: Vì $f(x)=2x^3-15x^2+36x$ là hàm đa thức bậc ba, vậy nên tập xác định của nó là R. $f’(x)=6(x^2-5x+6)$ $f’(x)=0 \Leftrightarrow 6(x^2-5x+6)=0 \Leftrightarrow 6(x-2)(x-3)=0$ Suy ra $x=2$ và $x=3$ là nghiệm của phương trình $f’(x)=0$ Suy ra hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là A=(2; 28) và B=(3; 27) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B là $\frac{x-2}{3-2}=\frac{y-28}{27-28}$ hay $\frac{x-2}{1}=\frac{y-28}{-1}$ hay $x+y-30=0$ Vậy => phương trình đường thẳng cần tìm là $x+y-30=0$
Nhận xét: Cách 2. Sử dụng công thức đặc biệtNếu may mắn phương trình đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba thì bạn có thể áp dụng công thức đặc biệt bên dưới để viết nhanh hơn. +) Công thức đặc biệt Nếu hàm số bậc ba $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có hai điểm cực trị thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị sẽ là: $y=-\frac{2}{9a}(b^2-3ac)x+d-\frac{bc}{9a}$ Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số $f(x)=2x^3-15x^2+36x$ Lời giải: Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng $y=-\frac{2}{9a}(b^2-3ac)x+d-\frac{bc}{9a}$ hay $y=-\frac{2}{9.2}((-15)^2-3.2.36)x+0-\frac{(-15).36}{9.2}$ hay $y=-x+30$ Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y=-x+30$ +) Sử dụng máy tính CASIO để giải Bước 1. Lần lượt gán các giá trị 2, -15, 36, 0 vào các biến nhớ A, B, C, D <xem cách gán giá trị trong bài viết này nếu bạn chưa biết. Trong phần 2.2 của Cách #2> Bước 2. Nhập đa biểu thức:
Bước 3. Nhấn phím = => tiếp tục nhấn phím = phát nữa. Cách 3. Sử dụng máy tính CASIOVí dụ 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số $f(x)=2x^3-15x^2+36x$
Chú ý: Các bước thực hiện: Bước 1. Chọn phương thức tính toán Equation / Func Bước 2. Chọn Polynomial Bước 3. Chọn bậc của đa thức (vì bậc của đa thức là ba nên chúng ta sẽ nhấn phím số 3) Bước 4. Nhập các hệ số … Bước 5. Nhấn phím = = > nhấn phím = => nhấn phím = Bước 6. Nhấn phím = => nhấn phím Bước 7. Nhấn phím = => nhấn phím Bước 8. Nhấn phím = => nhấn phím Bước 9. Nhấn phím = => nhấn phím Bước 10. Nhấn phím OPNT => chọn Simul Equation Bước 11. Chọn số phương trình của hệ (vì hệ phương trình ở đây là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn nên chúng ta sẽ nhấn phím số 2). Bước 12. Nhập các hệ số của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{ll}Ax+y&=B\\Cx+y&=D\end{array}\right.$ Bước 13. Nhấn phím = => nhấn tiếp phím = Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y=-x+30$
Lời bình …
Trường hợp #2. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số phân thứcHàm số phân thức được nhắc đến ở đây chính xác là hàm số $f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{b’x+c’}$ Nếu hàm số $f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{b’x+c’}$ có hai điểm cực trị thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị này là $y=\frac{2ax+b}{b’}$ Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số $f(x)=\frac{-x^2+3x+2}{2x+3}$ Lời giải: Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng $y=\frac{2ax+b}{b’}$ hay $y=\frac{2(-1)x+3}{2}$ hay $y=-x+\frac{3}{2}$ Trường hợp #3. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bất kỳTrường hợp này là trường hợp tổng quát nhất, hàm số ở đây có thể là hàm đa thức, phân thức, lượng giác, số mũ, Logarit, … Cách giải chung cho trường hợp này là sử dụng Cách 1 của Trường hợp 1 nhé các bạn ! Lời kếtOkay, đó là những cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị mà mình muốn chia sẻ với các bạn trong bài viết này. Nói tóm lại là: Khi được yêu cầu viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị thì đầu tiên, bạn hãy quan sát hàm số có rơi vào Trường hợp 1 hoặc Trường hợp 2 hay không Nếu có thì bạn hãy áp dụng Cách 2 của Trường hợp 1, hoặc là công thức tính nhanh của Trường hợp 2 để tiết kiệm thời gian và công sức giải bài tập nhé. Nếu không may rơi vào Trường hợp 3, hoặc bạn không nhớ công thức tính nhanh thì bạn hãy áp dụng Cách 1 của Trường hợp 1 ha. Bởi như mình đã nói bên trên, cách này tuy là tốn khá nhiều thời gian nhưng đây là cách tổng quát nhất, giải được mọi trường hợp cho mọi hàm số. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo ! Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com Note: Bài viết này hữu ích với bạn chứ? Đừng quên đánh giá bài viết, like và chia sẻ cho bạn bè và người thân của bạn nhé ! |
