Hướng dẫn Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung đầy đủ, chi tiết nhất, bám sát nội dung SGK Toán 9, giúp các em ôn tập tốt hơn. Show
Mục lục nội dungCâu hỏi: Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung?Kiến thức vận dụng để trả lời câu hỏi1. Định nghĩa tiếp tuyến2. Tính chất tiếp tuyến của đường tròn3. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến4. Dây cung5. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung6. Các dạng toán thường gặp liên quan đến tiếp tuyến và dây cungCâu hỏi: Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung?Trả lời: Chứng minh trực tiếp (Hình a) => OA vuông góc Ax. Vậy Ax là tiếp tuyến của (O) tại A. Chứng minh bằng phản chứng (Hình b) Giả sử Ax không phải là tiếp tuyến của (O) tại A. Tức là Ax là một cát tuyến của (O). Kiến thức vận dụng để trả lời câu hỏi1. Định nghĩa tiếp tuyếnTiếp tuyếncủa mộtđường congtại một điểm bất kỳ thuộc đường cong là mộtđường thẳngchỉ "chạm" vào đường cong tại điểm đó.Leibnizđịnh nghĩa tiếp tuyến như mộtđường thẳngnối một cặp điểm gần nhau vô hạn trên đường cong.Chính xác hơn, một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường congy=f(x)tại điểmx=ctrên đường cong nếu đường thẳng đó đi qua điểm(c,f(c))trên đường cong và có độ dốcf'(c)vớif'làđạo hàmcủaf. Một định nghĩa tương tự áp dụng cho các đường cong không gian và các đường cong trongkhông gian Eucliden-chiều. Khi tiếp tuyến đi qua điểm giao của đường tiếp tuyến và đường cong trên, được gọi là tiếp điểm, đường tiếp tuyến "đi theo hướng" của đường cong, và do đó là đường thẳng xấp xỉ tốt nhất với đường cong tại điểm tiếp xúc đó.
Tương tự như vậy, mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cong tại một điểm nhất định là mặt phẳng "chỉ chạm vào" mặt cong tại điểm đó. Khái niệm tiếp tuyến là một trong những khái niệm cơ bản nhất trong hình học vi phân và đã được tổng quát hóa rộng rãi. 2. Tính chất tiếp tuyến của đường trònTính chất của tiếp tuyến Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. Trong hình trên a là tiếp tuyến của đường tròn(O). ⇒ a⊥ OH⇒tạiH(với H là tiếp điểm). Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến. - Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm. Nghĩa là cho đường tròn(O),B,C∈(O). Tiếp tuyến của(O)tạiB,Ccắt nhau tạiA Khi đó -AB=AC - TiaOClà phân giác gócBOC - TiaAOlà phân giác gócBAC 3. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến– Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. – Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. – Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. 4. Dây cung-Dây cungcủa một đường tròn (đôi khi chỉ được nói ngắn gọn làdây) là một đoạn thẳng mà cả hai đầu mút của nó đều nằm trên đường tròn. -Mộtcát tuyếncó thể được định nghĩa là đường thẳng chứa một dây cung. -Các dây cung của một đường tròn có một số tính chất sau đây: + Hai dây cung cách đều tâm nếu và chỉ nếu chúng có độ dài bằng nhau. +Đường trung trực của dây thì đi qua tâm. +Nếu hai đường thẳng chứa hai dây cung AB và CD của một đường tròn (hai cát tuyến) cắt nhau tại P, thì ta có hệ thức PA·PB = PC·PD (tính chất phương tích của một điểm). +Nếu hai góc thuộc cùng một đường tròn chắn hai dây cung bằng nhau hoặc cùng 1 dây cung thì 2 góc đó bằng nhau. 5. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung*Định nghĩa Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và một cạnh là tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn đó. Như vậy, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cần thỏa mãn các điều kiện sau: - Đỉnh nằm trên đường tròn. - Một cạnh chứa tiếp tuyến của đường tròn. - Cạnh còn lại chứa dây cung của đường tròn. * Định lý: Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo củacung bị chắn. * Hệ quả. + Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. +Định lý bổ sung:Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp tuyến của đường tròn. 6. Các dạng toán thường gặp liên quan đến tiếp tuyến và dây cungDạng 1: Chứng minh các góc bằng nhau, các tam giác đồng dạng, các hệ thức về cạnh Phương pháp: Ta sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung hoặc hệ quả của hai góc nội tiếp: " Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau." Dạng 2: Chứng minh các đường thẳng vuông góc, song song. Chứng minh một tia là tiếp tuyến của đường tròn. Tính độ dài bán kính, độ dài đoạn thẳng Phương pháp: Sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung hoặc hệ quả của hai góc nội tiếp. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lý Pytago. Xem thêm: >>> Bài tập về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung trong đường tròn là một trong những góc đặc biệt là thường bắt gặp trong những bài toán khó lớp 9. Để có thể nắm vững được kiến thức và các mẹo nâng cao điểm Toán của loại góc đặc biệt này cũng như các dạng bài tập thường gặp. Hãy cùng https://toppy.vn/ tìm hiểu chi tiết qua bài giảng ngay sau đây. I. Lý thuyết của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung1. Định nghĩa góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cungGóc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung được định nghĩa như sau:
 Lý thuyết của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung 2. Định lí:Góc giữa tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng một nửa số đo cung bị chắn. 3. Hệ quả:Góc được tạo bởi dây cung và tia tiếp tuyến trong 1 đường tròn và góc nội tiếp mà cùng chắn 1 cung sẽ có số đo bằng nhau. II. Các dạng bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:Qua bài giảng lý thuyết về toán 9 bài 4 góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, các em cần hoàn thành được 1 số mục tiêu mà bài giảng đưa ra như:
1. Bài tập tự luậnBài tập 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính R, từ điểm nằm ngoài đường tròn M, vẽ 2 tiếp tuyến lần lượt là MA và MB của đường tròn tâm O và cắt tại điểm A, B. Qua điểm A vẽ một đường thẳng song song với tiếp tuyến MB và cắt đường tròn tại điểm C. Nối điểm C với M và cắt đường tròn tâm O tại điểm D. Nối điểm A với D và cắt tiếp tuyến MB tại điểm E. Chứng minh:
Hướng dẫn giải: Bài tập tự luận toán 9 bài 4 góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
Vậy ΔABE và ΔBDE là 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp góc góc. Ta có AC // MB ⇒ Góc ACM = Góc CMB (2 góc so le trong) Mà ta có ACM = MAE (2 góc nội tiếp và là góc nằm giữa dây cung và tia tiếp tuyến cùng chắn cung AD) ⇒ Góc CMB = Góc MAE Xét ΔMEA và ΔDEM ta có:
Vậy ΔMEA và ΔDEM là 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp góc góc.
Vậy EB = EM ⇒ E là trung điểm của đường tiếp tuyến MB. 2. Bài tập sách giáo khoa:Trong chương trình toán 9 góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì đây là kiến thức vô cùng quan trọng theo sát các em về sau. Chính vì vậy dưới đây là một số bài toán về kiến thức này trong sách giáo khoa để các bạn ôn luyện được hiệu quả. Bài tập 1 (Bài 28/SGK trang 79 Toán 9, Tập 2)Cho 2 đường tròn tâm (O), (O’) và cắt nhau tại 2 điểm lần lượt là A và B. Tiếp tuyến từ điểm A của đường tròn tâm (O) tại điểm P. Tia PB sẽ cắt đường tròn tâm (O’) tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng AQ là đường thẳng song song tiếp tuyến tại điểm P của đường tròn tâm (O) dựa vào các định lý của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. Bài tập 2 (Bài 29/SGK trang 79 Toán 9, Tập 2)Cho 2 đường tròn tâm (O), (O’) và cắt nhau tại 2 điểm lần lượt là A và B. Tiếp tuyến từ điểm A của đường tròn tâm (O’) cắt đường tròn tâm (O) tại điểm C và đường tròn tâm (O) cắt đường tròn tâm (O’) tại điểm D. Chứng minh góc CBA = góc DBA Bài tập sách giáo khoa toán 9 góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung của đường tròn Bài tập 3 (Bài 30/SGK trang 79 Toán 9, Tập 2)Chứng minh về định lý đảo đối với định lý về góc được tạo bởi dây cung và tia tiếp tuyến. Nếu như góc BAx bằng nửa số đo cung AB và đây là cung nằm bên trong của góc đó thì cạnh Ax sẽ là tia tiếp tuyến đường tròn. (Gợi ý có thể chứng minh bằng phương pháp phản chứng hoặc phương pháp trực tiếp của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) Bài giảng trên đã cung cấp kiến thức về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cũng như các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết. Hy vọng đây sẽ là những kiến thức bổ ích dành cho các bạn học sinh ôn luyện được hiệu quả. Nếu có nhu cầu tìm kiếm thêm những kiến thức toán lớp 9 hoặc có bất kỳ câu hỏi liên quan hãy liên hệ với https://toppy.vn/ để được giải đáp nhanh nhất có thể. Xem thêm: Giải pháp toàn diện giúp con đạt điểm 9-10 dễ dàng cùng ToppyVới mục tiêu lấy học sinh làm trung tâm, Toppy chú trọng việc xây dựng cho học sinh một lộ trình học tập cá nhân, giúp học sinh nắm vững căn bản và tiếp cận kiến thức nâng cao nhờ hệ thống nhắc học, thư viện bài tập và đề thi chuẩn khung năng lực từ 9 lên 10. Kho học liệu khổng lồ Kho video bài giảng, nội dung minh hoạ sinh động, dễ hiểu, gắn kết học sinh vào hoạt động tự học. Thư viên bài tập, đề thi phong phú, bài tập tự luyện phân cấp nhiều trình độ.Tự luyện – tự chữa bài giúp tăng hiệu quả và rút ngắn thời gian học. Kết hợp phòng thi ảo (Mock Test) có giám thị thật để chuẩn bị sẵn sàng và tháo gỡ nỗi lo về bài thi IELTS. Học online cùng Toppy Nền tảng học tập thông minh, không giới hạn, cam kết hiệu quả Chỉ cần điện thoại hoặc máy tính/laptop là bạn có thể học bất cứ lúc nào, bất cứ nơi đâu. 100% học viên trải nghiệm tự học cùng TOPPY đều đạt kết quả như mong muốn. Các kỹ năng cần tập trung đều được cải thiện đạt hiệu quả cao. Học lại miễn phí tới khi đạt! Tự động thiết lập lộ trình học tập tối ưu nhất Lộ trình học tập cá nhân hóa cho mỗi học viên dựa trên bài kiểm tra đầu vào, hành vi học tập, kết quả luyện tập (tốc độ, điểm số) trên từng đơn vị kiến thức; từ đó tập trung vào các kỹ năng còn yếu và những phần kiến thức học viên chưa nắm vững. Trợ lý ảo và Cố vấn học tập Online đồng hành hỗ trợ xuyên suốt quá trình học tập Kết hợp với ứng dụng AI nhắc học, đánh giá học tập thông minh, chi tiết và đội ngũ hỗ trợ thắc mắc 24/7, giúp kèm cặp và động viên học sinh trong suốt quá trình học, tạo sự yên tâm giao phó cho phụ huynh. |
