- $\int {{x^5}{\text{d}}x} = 5{x^4} + C$. B. $\int {{x^5}{\text{d}}x} = {x^6} + C$. C. $\int {{x^5}{\text{d}}x} = \frac{1}{6}{x^6} + C$. D. $\int {{x^5}{\text{d}}x} = \frac{{{x^5}}}{{\ln 5}} + C$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $\int {{x^5}{\text{d}}x} = \frac{1}{6}{x^6} + C$, với $C$ là hằng số.
Câu 3: Nếu $\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\text{d}}x} = 6$ thì $\int\limits_1^4 {2f\left( x \right){\text{d}}x} $ bằng
- $3$. B. $4$. C. $12$. D. $8$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $\int\limits_1^4 {2f\left( x \right){\text{d}}x} = 2 \cdot \int\limits_1^4 {f\left( x \right){\text{d}}x} = 2 \cdot 6 = 12$.
Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _2}\left( {3x} \right) > {\log _2}5$
- $\left( {\frac{5}{3}; + \infty } \right)$. B. $\left( {0;\frac{5}{3}} \right)$. C. $\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)$. D. $\left( {0;\frac{3}{5}} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${\log _2}\left( {3x} \right) > {\log _2}5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ 3x > 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x > \frac{5}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x > \frac{5}{3}$.
Câu 5: Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${\log _7}\left( {7a} \right)$ là:
- $1 – {\log _7}a$. B. $1 + {\log _7}a$. C. $1 + a$. D. $a$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${\log _7}\left( {7a} \right) = 1 + {\log _7}a$
Câu 6: Cho khối chóp có diện tích đáy $B = 9{a^2}$ và chiều cao $h = 2a$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
- $3{a^3}$. B. $6{a^3}$. C. $18{a^3}$. D. $24{a^3}$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.9{a^2}.2a = 6{a^3}$.
Câu 7: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $F\left( x \right)$là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ và $F\left( 1 \right) = 3,F\left( 3 \right) = 6$. Tích phân $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} $ bằng
- $9$. B. $ – 3$. C. $3$. D. $2$.
Lời giải
Chọn C
$\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = F\left( 3 \right) – F\left( 1 \right) = 6 – 3 = 3$.
Câu 8: Diện tích đáy của khối lăng trụ có thể tích $V$ và chiều cao $h$ bằng.
- $\frac{V}{h}$. B. $\frac{{3V}}{h}$. C. $\frac{V}{{3h}}$. D. $V.h$.
Lời giải
Chọn A
Thể tích của khối lăng trụ $V = B.h \Rightarrow B = \frac{V}{h}$ với $B$ là diện tích đáy.
Câu 9: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = {x^3},\,\forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$. B. $\left( { – \infty ;1} \right)$. C. $\left( {0; + \infty } \right)$. D. $\left( { – \infty ;0} \right)$.
Lời giải
Chọn D
Hàm số đã cho nghịch biến $ \Leftrightarrow {x^3} \leqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant 0$.
Câu 10: Đạo hàm của hàm số $y = {\log _3}\left( {x + 1} \right)$ là
- $y’ = \frac{1}{{\ln 3}}$. B. $y’ = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\ln 3}}$. C. $y’ = \frac{1}{{x + 1}}$. D. $y’ = \frac{{x = 1}}{{\ln 3}}$.
Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức ${\left( {{{\log }_a}u} \right)^\prime } = \frac{{u’}}{{u\ln a}}$. Ta có
$y’ = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{\left( {x + 1} \right)\ln 3}} = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\ln 3}}$.
Câu 11: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau mà các chữ số được lấy từ tập hợp $\left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}$?
- $18$. B. $216$. C. $20$. D. $120$.
Lời giải
Chọn D
Số các chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử.
Vậy có $A_6^3 = 120$ số.
Câu 12: Cho hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$, $\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)$ có đồ thị là đường cong như hình bên.
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
- $x = 1$. B. $x = – 2$. C. $x = – 1$. D. $x = 2$.
Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị ta thấy điểm cực tiểu của hàm số đã cho là $x = 1$.
Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình ${2^x} \geqslant 8$ là
- $\left[ { – 3; + \infty } \right)$. B. $\left[ {3; + \infty } \right)$. C. $\left( {3; + \infty } \right)$. D. $\left( { – 3; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn B
Bất phương trình ${2^x} \geqslant 8 \Leftrightarrow {2^x} \geqslant {2^3} \Leftrightarrow x \geqslant 3$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {3; + \infty } \right)$.
Câu 14: Hàm số nào dưới đây có đồ thị là đường cong trong hình bên?
- $y = – {x^3} + 3{x^2} + 1$. B. $y = {x^4} – 2{x^2} + 1$. C. $y = {x^3} – 3{x^2}$. D. $y = – {x^4} + 2{x^2}$.
Lời giải
Chọn D
Quan sát đồ thị của hàm số thấy đồ thị trên là đồ thị của hàm số trùng phương và $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = – \infty $ suy ra hệ số $a < 0$. Vậy nên chọn đáp án D.
Câu 15: Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là
- $x = – 1$. B. $x = – 3$. C. $x = 3$. D. $x = 1$.
Lời giải
Chọn D
Quan sát bảng biến thiên ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = + \infty $.
Do đó đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$.
Câu 16: Với $a$ là số thực dương tùy ý, biểu thức ${a^{\frac{5}{3}}}.\,{a^{\frac{1}{3}}}$ bằng
- ${a^5}$. B. ${a^{\frac{5}{9}}}$. C. ${a^{\frac{4}{3}}}$. D. ${a^2}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có ${a^{\frac{5}{3}}}.\,{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}}} = {a^2}$.
Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $\sqrt 3 a$. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho bằng
- $\sqrt 2 a$. B. $2a$. C. $\sqrt {10} a$. D. $4a$.
Lời giải
Chọn B
Độ dài đường sinh bằng $l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\sqrt 3 a} \right)}^2}} = 2a$.
Câu 18: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $a$ và chiều cao $3a$. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
- $8\pi {a^2}$. B. $7\pi {a^2}$. C. $6\pi {a^2}$. D. $14\pi {a^2}$.
Lời giải
Chọn C
Ta có diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là $S = 2\pi rh = 2\pi a.3a = 6\pi {a^2}$.
Câu 19: Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( { – 2;3;1} \right)$ trên trục $Ox$ có toạ độ là
- $\left( {0;0;1} \right)$. B. $\left( { – 2;0;0} \right)$. C. $\left( {0;3;1} \right)$. D. $\left( {0;3;0} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( { – 2;3;1} \right)$ trên trục $Ox$ có toạ độ là $\left( { – 2;0;0} \right)$.
Câu 20: Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $\left( P \right):\frac{x}{3} + \frac{y}{5} + \frac{z}{2} = 1$ cắt trục $Oy$ tại điểm có tọa độ là
- $\left( {0;5;0} \right)$. B. $\left( {0;3;0} \right)$. C. $\left( {0; – 1;0} \right)$. D. $\left( {0;2;0} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng $\left( P \right):\frac{x}{3} + \frac{y}{5} + \frac{z}{2} = 1$ cắt trục $Oy$, suy ra $\left\{ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ y = 5 \hfill \\ z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$, nên giao điểm có tọa độ là $\left( {0;5;0} \right)$.
Câu 21: Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
- $ – i$. B. $2$. C. $1 – i$. D. $1 + i$.
Lời giải
Chọn A
Số thuần ảo là $ – i$.
Câu 22: Số điểm giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^2} + 2x$ và trục hoành là
- $3$. B. $2$. C. $1$. D. $0$.
Lời giải
Chọn B
Xét phương trình: ${x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = – 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Số điểm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là $2$.
Câu 23: Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;0; – 1} \right)$ và có bán kính $R = \sqrt 2 $. Phương trình của $\left( S \right)$ là
- ${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \sqrt 2 $. B. ${\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 2$.
- ${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2$. D. ${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = \sqrt 2 $.
Lời giải
Chọn C
Theo bài ra ta có: $\left\{ \begin{gathered} I\left( {1;0; – 1} \right) \hfill \\ R = \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Do đó mặt cầu $\left( S \right)$có phương trình là: ${\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2$.
Câu 24: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x + 2)(x – 1)$, $\forall x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
- $2$. B. $0$. C. $3$. D. $1$.
Lời giải
Chọn A
Xét phương trình $f'(x) = 0$
$ \Leftrightarrow f'(x) = (x + 2)(x – 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + 2 = 0 \hfill \\ x – 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = – 2 \hfill \\ x = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Ta có bảng xét dấu
Từ bảng xét dấu ta có số điểm cực trị của hàm số đã cho là $2$.
Câu 25: Cho số phức ${z_1} = 2 + 3i$ và ${z_2} = i$. Số phức ${z_1}{z_2}$ bằng
- $ – 3 + 2i$. B. $2 + 4i$. C. $2 – 3i$. D. $3 – 2i$.
Lời giải
Chọn A
Ta có ${z_1}{z_2} = \left( {2 + 3i} \right)i = 2i + 3{i^2} = – 3 + 2i$
Câu 26: Cho hàm số $f\left( x \right) = 1 + 2\cos 2x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
- $\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = x + 2\sin 2x + C$. B. $\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = x + \sin 2x + C$.
- $\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = x – \sin 2x + C$. D. $\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = x – 2\sin 2x + C$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = \int {\left( {1 + 2\cos 2x} \right){\text{d}}x} = \int {1{\text{d}}x{\text{ }}} {\text{ + 2}}\int {\cos 2x{\text{d}}x} = x + \sin 2x + C$
Câu 27: Trong không gian ${\text{Ox}}yz$, phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( { – 3;\, – 1;\,2} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {4;3; – 2} \right)$ là
- $\frac{{x – 4}}{{ – 3}} = \frac{{y – 3}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{2}$. B. $\frac{{x – 3}}{4} = \frac{{y – 1}}{3} = \frac{{z + 2}}{{ – 2}}$.
- $\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z – 2}}{{ – 2}}$. D. $\frac{{x + 4}}{{ – 3}} = \frac{{y + 3}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{2}$.
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( { – 3;\, – 1;\,2} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {4;3; – 2} \right)$ có phương trình chính tắc là $\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z – 2}}{{ – 2}}$.
Câu 28: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 2$ và ${u_2} = 8$. Công bội của cấp số nhân bằng
- $4$. B. $ – 6$. C. $\frac{1}{4}$. D. $6$.
Lời giải
Chọn A
Công bội của cấp số nhân là $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{8}{2} = 4$.
Câu 29: Đường gấp khúc $ABC$ trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ { – 1;4} \right]$.
Tích phân $\int\limits_{ – 1}^4 {f\left( x \right)dx} $ bằng
- $\frac{7}{2}$. B. $\frac{9}{2}$. C. $3$. D. $4$.
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng đi qua $AB$ có phương trình $y = 1$.
Đường thẳng đi qua $BC$ có phương trình $y = – x + 3$.
Do đó $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} 1\,\,khi\,\,x \in \left[ { – 1;2} \right] \hfill \\ – x + 3\,\,khi\,\,x \in \left[ {2;4} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Vậy $\int\limits_{ – 1}^4 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ – 1}^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ – 1}^2 {1dx} + \int\limits_2^4 {\left( { – x + 3} \right)dx} = 3$.
(*) Cách 2:
$\int\limits_{ – 1}^4 {f\left( x \right)dx} = {S_{ABED}} + {S_{BEI}} – {S_{ICJ}} = {S_{ABED}} = 3 \times 1 = 3$.
Câu 30: Hàm số $y = {x^4} – 2{x^2}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- $\left( {1; + \infty } \right)$. B. $\left( { – \infty ; – 1} \right)$. C. $\left( { – 1;0} \right)$. D. $\left( { – \infty ;1} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $y’ = 4{x^3} – 4x$, $y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = – 1 \hfill \\ x = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Bảng biến thiên
Hàm số $y = {x^4} – 2{x^2}$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$
Câu 31: Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$. Góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ bằng
- $30^\circ $. B. $45^\circ $. C. $60^\circ $. D. $90^\circ $.
Lời giải
Chọn C
Ta có $CD{\text{ // }}AB$ nên $\left( {\widehat {SB,CD}} \right) = \left( {\widehat {SB,AB}} \right) = \widehat {SBA}$.
Vì tam giác $SAB$ là tam giác đều có tất cả cách cạnh đều bằng $a$ nên $\widehat {SBA} = 60^\circ $.
Vậy góc giữa hai đưởng thẳng $SB$ và $CD$ bằng $60^\circ $.
Câu 32: Trong không gian $Oxyz$, cho điển $A\left( {1; – 1;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + 3y + z – 5 = 0$. Đưởng thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( P \right)$ có phương trình là
- $\left\{ \begin{gathered} x = 2 + t \hfill \\ y = 3 – t \hfill \\ z = 1 + t \hfill \\ \end{gathered} \right.$. B. $\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2t \hfill \\ y = – 1 + 3t \hfill \\ z = 1 + t \hfill \\ \end{gathered} \right.$. C. $\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2t \hfill \\ y = – 1 + 3t \hfill \\ z = – 1 + t \hfill \\ \end{gathered} \right.$. D. $\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2t \hfill \\ y = – 1 – 3t \hfill \\ z = 1 + t \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Lời giải
Chọn B
Đường thẳng đi qua $A\left( {1; – 1;1} \right)$ và vuông góc với $\left( P \right):2x + 3y + z – 5 = 0$ nhận vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow n = \left( {2;3;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là $\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2t \hfill \\ y = – 1 + 3t \hfill \\ z = 1 + t \hfill \\ \end{gathered} \right.$, $t \in \mathbb{R}$.
Câu 33: Cho hàm số bậc bốn $y = f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$, phương trình $2f\left( x \right) = m$ có 4 nghiệm thực phân biệt?
- $4$. B. $16$. C. $17$. D. $8$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $2f\left( x \right) = m$$ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{m}{2}$.
Dựa vào đồ thị, phương trình trên có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $ – 4 < \frac{m}{2} < 5 \Leftrightarrow – 8 < m < 10$.
Suy ra, các giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $ – 7\,;\, – 6\,;\, \ldots \,;\, – 1\,;\,0\,;\,1\,;\, \ldots \,;\,9.$
Có tất cả $17$ số $m$ thỏa mãn.
Câu 34: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ và $B\left( { – 1;0;5} \right)$. Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là?
- ${x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 3$. B. ${x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 12$.
- ${x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 3$. D. ${x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 12$.
Lời giải
Chọn A
Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm là trung điểm $I\left( {0;1;4} \right)$ của $AB$ và bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { – 1 – 1} \right)}^2} + {{\left( {0 – 2} \right)}^2} + {{\left( {5 – 3} \right)}^2}} }}{2} = \sqrt 3 $, có phương trình là ${x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 3$.
Câu 35: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB = 1,BC = 2;AA’ = 3$ (tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách giữa hai đường $AB’$ và $BC’$ bằng?
- $\frac{6}{7}$. B. $\frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}$. C. $\frac{7}{6}$. D. $\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}$.
Lời giải
Chọn A
Ta có
$\begin{gathered} BC’//AD’ \Rightarrow d\left( {AB’,BC’} \right) = d\left( {BC’,\left( {AB’D’} \right)} \right) = d\left( {C’;\left( {AB’D’} \right)} \right) \hfill \\ \= \frac{{C’O’}}{{A’O’}}d\left( {A’,\left( {AB’D’} \right)} \right) = d\left( {A’,\left( {AB’D’} \right)} \right) \hfill \\ \end{gathered} $.
Lại có $A’B’,A’A,A’D$ đôi một vuông góc với nhau tại $A’,d\left( {A’,\left( {AB’D’} \right)} \right) = h$ thì $\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A’B{‘^2}}} + \frac{1}{{A’D{‘^2}}} + \frac{1}{{AA{‘^2}}} \Rightarrow h = \frac{6}{7}$.
Câu 36: Tập xác định của hàm số $f\left( x \right) = {\log _5}\left( {30 – {x^2}} \right)$ chứa bao nhiêu số nguyên?
- $11$. B. $5$. C. $6$. D. $10$.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện $30 – {x^2} > 0 \Leftrightarrow {x^2} < 30 \Leftrightarrow – \sqrt {30} < x < \sqrt {30} $.
Do $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { – 5; – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4;5} \right\}$. Vậy Chọn A
Câu 37: Cho số phức $z$ thỏa mãn $z – 2\overline z = 1 + 6i$. Môđun $z$ bằng
- $5$. B. $\sqrt 3 $. C. $\sqrt 5 $. D. $3$.
Lời giải
Chọn C
Đặt $z = x + yi{\text{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$.
Theo giả thiết ta có $x + yi – {\text{2}}\left( {x – yi} \right) = 1 + 6i \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = – 1 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Do đó $z = – 1 + 2i$.
Vậy $\left| z \right| = \sqrt 5 $.
Câu 38: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$, xác suất để chọn được số có tổng hai chữ số bằng $8$ là
- $\frac{4}{{81}}$. B. $\frac{1}{9}$. C. $\frac{7}{{81}}$. D. $\frac{8}{{81}}$.
Lời giải
Chọn C
Gọi $\overline {ab} $ là số tự nhiên có hai chữ số khác nhau.
Chọn $a$ có $9$cách.
Chọn $b$ có $9$ cách.
Do đó có $9.9 = 81$ số có hai chữ số khác nhau.
Gọi $A$ là biến cố: “Chọn được số có tổng hai chữ số bằng $8$”.
Khi đó $A = \left\{ {80,71,62,53,35,26,17} \right\}$
Vậy $P\left( A \right) = \frac{7}{{81}}$.
Câu 39: Cho hàm số bậc hai $y = f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm như trong hình bên dưới.
Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và $d$ có diện tích $S = \frac{{32}}{3}$. Tích phân $\int\limits_1^5 {\left( {2x – 5} \right)f’\left( x \right)} dx$ bằng:
- $\frac{{104}}{3}$. B. $\frac{{76}}{3}$. C. $\frac{{22}}{3}$. D. $\frac{{188}}{3}$.
Lời giải
Chọn B
Đặt $\left\{ \begin{gathered} u = 2x – 5 \hfill \\ {\text{d}}v = f’\left( x \right){\text{d}}x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {\text{d}}u = 2{\text{d}}x \hfill \\ v = f\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Ta có: $\int\limits_1^5 {\left( {2x – 5} \right)f’\left( x \right)} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{d}}x = \left. {\left[ {\left( {2x – 5} \right)f\left( x \right)} \right]} \right|_1^5 – 2\int\limits_1^5 {f\left( x \right)} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{d}}x$
$ = 5f\left( 5 \right) + 3f\left( 1 \right) – 2\left[ {\frac{{\left( {3 + 7} \right).4}}{2} – \frac{{32}}{3}} \right] = \frac{{76}}{3}$.
Câu 40: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$, hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – mx + \frac{2}{3}$ có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng $\left( {0;6} \right)$?
- $24$. B. $25$. C. $26$. D. $23$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: $y’ = {x^2} – 2x – m = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} – 2x = m\,\,\,\,\left( * \right)$.
BBT cho hàm số $f\left( x \right)$
Hàm số có đúng một điểm cực trị thuộc khoảng $\left( {0;6} \right)$ khi $0 \leqslant m < 24$.
Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {0;1;2;…;23} \right\}$. Vậy có tất cả 24 giá trị nguyên của $m$.
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị số nguyên $x$ thỏa mãn $\left( {{3^x} – 27} \right)\left( {\log _3^2x – 7{{\log }_3}x + 10} \right) < 0$
- $242$. B. $235$. C. $233$. D. $238$.
Lời giải
Chọn B
Đặt $f\left( x \right) = \left( {{3^x} – 27} \right)\left( {\log _3^2x – 7{{\log }_3}x + 10} \right)$. ĐK: $x > 0$.
$f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {3^x} = 27 \hfill \\ {\log _3}x = 2 \hfill \\ {\log _3}x = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ x = 9 \hfill \\ x = 243 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình $S = \left( {0;3} \right) \cup \left( {9;243} \right)$.
Vậy $x \in \left\{ {1;2;10;11;…;242} \right\}$.
Câu 42: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {1;0; – 2} \right)$ nhận $\overrightarrow u = \left( {1;a;4 – a} \right)$ (với $a \in \mathbb{R}$) làm vectơ chỉ phương. Biết rằng $d$ cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của $\left( S \right)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi ${a^2}$ thuộc khoảng nào dưới đây?
- $\left( {8;\frac{{17}}{2}} \right)$. B. $\left( {25;\frac{{51}}{2}} \right)$. C. $\left( {\frac{{23}}{2};12} \right)$. D. $\left( {\frac{3}{2};2} \right)$.
Lời giải
Chọn C
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1; – 2; – 1} \right)$ bán kính $R = 2$
Gọi $C,D$ là các giao điểm của $d$ với mặt cầu. Từ giả thiết bài ra suy ra $\Delta ICD$ vuông cân tại $I$, có $IC = ID = 2 \Rightarrow d\left( {I;d} \right) = IH = \frac{1}{2}CD = \frac{{2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 $.
Ta lại có $d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{a^2} – 16a + 69} }}{{\sqrt {2{a^2} – 8a + 17} }} = \sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow {a^2} – 16a + 69 = 4{a^2} – 16a + 34 \Leftrightarrow 3{a^2} = 35 \Leftrightarrow {a^2} = \frac{{35}}{3} \in \left( {\frac{{23}}{2};12} \right)$.
Câu 43: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh bằng $2$. Xét hình nón $\left( N \right)$ có đáy nằm trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và mặt xung quanh đi qua bốn điểm $A’;B’;C’;D’$. Khi bán kính đáy của $\left( N \right)$ bằng $2\sqrt 2 $, diện tích xung quanh của $\left( N \right)$ bằng
- $8\sqrt 2 \pi $. B. $8\sqrt 3 \pi $. C. $8\sqrt 6 \pi $. D. $4\sqrt 2 \pi $.
Lời giải
Chọn B
Theo đề ra, ta có: $MN = 4\sqrt 2 = 2R$$ \Rightarrow AC = 2\sqrt 2 $.
Mặt khắc: $\frac{{SO’}}{{SO}} = \frac{{O’A’}}{{OM}}$$ \Leftrightarrow \frac{{SO – 2}}{{SO}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow SO = 4 = h$.
Lại có: $l = \sqrt {{h^2} + {R^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = 2\sqrt 6 $.
Vậy ${S_{xq}} = \pi Rl = 8\pi \sqrt 3 $.
Câu 44: Gọi $S$ là tập hợp các số phức $z = a + bi{\text{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn $\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z – \overline z } \right| = 4$ và $ab > 0.$ Xét ${z_1}$ và ${z_2}$ thuộc $S$ sao cho $\frac{{{z_1} – {z_2}}}{{1 + i}}$ là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2} – 2i} \right|$ bằng
- $2\sqrt 2 $. B. $2$. C. $2\sqrt 5 $. D. $2 + 2\sqrt 2 $.
Lời giải
Chọn A
Đầu tiên ta có $z = a + bi{\text{ }}\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$ thì khi đó$\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z – \overline z } \right| = 4 \Leftrightarrow \left| a \right| + \left| b \right| = 2,{\text{ }}ab > 0.$
Do $\frac{{{z_1} – {z_2}}}{{1 + i}}$ là số thực dương nên khi $M\left( {{z_1}} \right),N\left( {{z_2}} \right)$ thì ta có:
$\overrightarrow {OM} – \overrightarrow {ON} = \overrightarrow {NM} = k\left( {1 + i} \right) = k\overrightarrow {OE} \left( {k \in {\mathbb{R}^ + }} \right)$ với $E\left( {1;1} \right).$
Do $ab > 0$ nên tập hợp các điểm $M,N$ thuộc $S$ biểu diễn như hình vẽ sau:
Gọi $F\left( { – 2; – 2} \right)$ là điểm đối xứng với $O$ qua đoạn thẳng $CD$
Suy ra $P = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2} – 2i} \right| = MO + NA = NO + NA = NF + NA \geqslant FA = 2\sqrt 5 $
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M \equiv {M_0} = AF \cap CD.$ Chọn đáp án $C$.
Câu 45: Trên tập số phức, xét phương trình ${z^2} + az + b = 0$ $\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$. Có bao nhiêu cặp số $\left( {a,b} \right)$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${z_1},\,\,{z_2}$ thỏa mãn $\left| {{z_1} + 1} \right| = 2$ và $\left| {{z_2} – 3 + 2i} \right| = 4$?
- $2$. B. $4$. C. $6$. D. $5$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $\Delta = {a^2} – 4b$.
TH1: ${a^2} – 4b > 0$, phương trình có hai nghiệm thực ${z_1},\,\,{z_2}$. Khi đó
$\left\{ \begin{gathered} \left| {{z_1} + 1} \right| = 2 \hfill \\ \left| {{z_2} – 3 + 2i} \right| = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {z_1} + 1 = \pm 2 \hfill \\ \sqrt {{{\left( {{z_2} – 3} \right)}^2} + 4} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} {z_1} = 1 \hfill \\ {z_1} = – 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ {z_2} = 3 \pm 2\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$, suy ra có 4 cặp $\left( {a,b} \right)$ thỏa mãn.
TH2: ${a^2} – 4b < 0$, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp ${z_1} = x + yi$, ${z_2} = x – yi$. $x,\,\,y \in \mathbb{R}$; $y \ne 0$. Theo giả thiết, ta có: $\left\{ \begin{gathered} \left| {{z_1} + 1} \right| = 2 \hfill \\ \left| {{z_2} – 3 + 2i} \right| = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2}} = 2 \hfill \\ \sqrt {{{\left( {x – 3} \right)}^2} + {{\left( { – y + 2} \right)}^2}} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} + 2x – 3 = 0 \hfill \\ {x^2} + {y^2} – 6x – 4y – 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x + y = 0 \hfill \\ {x^2} + {y^2} + 2x – 3 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = – 1 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{gathered} x = \frac{3}{5} \hfill \\ y = – \frac{6}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Suy ra ${z_1} = – 1 + 2i,\,\,{z_2} = – 1 – 2i$ hoặc ${z_1} = \frac{3}{5} – \frac{6}{5}i$, ${z_2} = \frac{3}{5} + \frac{6}{5}i$; do đó có 2 cặp $\left( {a,b} \right)$ thỏa mãn điều kiện ${a^2} – 4b < 0$ trong trường hợp này.
Vậy có tất cả có 6 cặp $\left( {a,b} \right)$ thỏa yêu cầu bài.
Câu 46: Cho khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có $AC’ = 8$, diện tích của tam giác $A’BC$ bằng 9 và đường thẳng $AC’$ tạo với mặt phẳng $\left( {A’BC} \right)$ một góc $30^\circ $. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
- $6$. B. $18$. C. $6\sqrt 3 $. D. $18\sqrt 3 $.
Lời giải
Chọn B
Gọi $I$ là giao điểm của $AC’$ và $A’C$ nên $I$ là trung điểm của $AC’$.
Dễ thấy ${V_{A.A’BC}} = {V_{C’.A’BC}} = {V_{B.A’B’C’}}$ ⇒ ${V_{ABC.A’B’C’}} = 3{V_{A.A’BC}}$.
Do đường thẳng $AC’$ tạo với mặt phẳng $\left( {A’BC} \right)$ một góc $30^\circ $
⇒$AI$ tạo với mặt phẳng $\left( {A’BC} \right)$ một góc $30^\circ $.
⇒ ${d_{\left( {A,\left( {A’BC} \right)} \right)}} = AI.\sin 30^\circ = \frac{{AC’}}{2}.\sin 30^\circ = 2$.
Vậy ${V_{ABC.A’B’C’}} = 3{V_{A.A’BC}} = 3.\frac{1}{3}.{S_{\Delta A’BC}}.{d_{\left( {A,\left( {A’BC} \right)} \right)}} = 9.2 = 18.$
Câu 47: Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của $y$sao cho ứng với mỗi $y$, tồn tại duy nhất một giá trị $x \in \left[ {\frac{5}{2};\frac{{11}}{2}} \right]$thỏa mãn ${\log _2}\left( {{x^3} – 9{x^2} + 24x + y} \right) = {\log _3}\left( { – {x^2} + 8x – 7} \right)$. Số phần tử của $S$ bằng
- $8$. B. $7$. C. $3$. D. $1$.
Lời giải
Chọn B
Ta có ${x^3} – 9{x^2} + 24x + y = {2^{{{\log }_3}\left( { – {x^2} + 8x – 7} \right)}}$$ \Leftrightarrow y = {2^{{{\log }_3}\left( { – {x^2} + 8x – 7} \right)}} – {x^3} + 9{x^2} – 24x$
Xét hàm số $f\left( x \right) = {2^{{{\log }_3}\left( { – {x^2} + 8x – 7} \right)}} – {x^3} + 9{x^2} – 24x,\forall x \in \left[ {\frac{5}{2};\frac{{11}}{2}} \right]$
$f’\left( x \right) = {2^{{{\log }_3}\left( { – {x^2} + 8x – 7} \right)}}.\ln 2.\frac{{ – 2x + 8}}{{\left( { – {x^2} + 8x – 7} \right)\ln 3}} – 3{x^2} + 18x – 24$
$ = – 3\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right) – \frac{{2\left( {x – 4} \right)}}{{\left( { – {x^2} + 8x – 7} \right)\ln 3}}{.2^{{{\log }_3}\left( { – {x^2} + 8x – 7} \right)}}.\ln 2$
$f’\left( x \right) = \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ – 3\left( {x – 2} \right) – \frac{2}{{\left( { – {x^2} + 8x – 7} \right)\ln 3}}{.2^{{{\log }_3}\left( { – {x^2} + 8x – 7} \right)}}.\ln 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
Ta có:
$ – {x^2} + 8x – 7 > 0,\,\forall x \in \left[ {\frac{5}{2};\frac{{11}}{2}} \right] \Rightarrow – 3\left( {x – 2} \right) – \frac{2}{{\left( { – {x^2} + 8x – 7} \right)\ln 3}}{.2^{{{\log }_3}\left( { – {x^2} + 8x – 7} \right)}}.\ln 2 < 0,\,\,\forall x \in \left[ {\frac{5}{2};\frac{{11}}{2}} \right]$
Bảng biến thiên
Yêu cầu bài toán suy ra $\left[ \begin{gathered} y = – 12 \hfill \\ – 22.788 \leqslant y < 16.038 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Do $y \in \mathbb{Z}$nên ta được tập các giá trị của $y$là $\left\{ { – 22; – 21; – 20; – 19; – 18; – 17; – 12} \right\}.$
Vậy có 7 giá trị thỏa mãn.
Câu 48: Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương trên khoảng $(0; + \infty )$, có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn $f(x)\ln f(x) = x\left( {f(x) – f'(x)} \right),\forall x \in (0; + \infty )$. Biết $f(1) = f(4)$, giá trị $f(2)$ thuộc khoảng nào dưới đây?
- $\left( {1;3} \right)$. B. $\left( {8;10} \right)$. C. $\left( {6;8} \right)$. D. $\left( {13;15} \right)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có $f(x)\ln f(x) = x\left( {f(x) – f'(x)} \right) \Leftrightarrow \ln f(x) = x\left( {1 – \frac{{f'(x)}}{{f(x)}}} \right) \Leftrightarrow \ln f(x) = x\left( {1 – (\ln f(x))’} \right)$
$ \Leftrightarrow (x)’\ln f(x) + x{\left[ {\ln f(x)} \right]\prime } = x \Leftrightarrow {\left[ {x\ln f(x)} \right]\prime } = x$$ \Rightarrow $ $x\ln f(x) = \int x dx = \frac{1}{2}{x^2} + C$.
Cho $x = 1$ ta được $\ln f(1) = \frac{1}{2} + C$.
Cho $x = 4$ ta được $4\ln f(4) = 8 + C$.
Theo đề $f\left( 1 \right) = f\left( 4 \right)$ nên suy ra $2 + 4C = 8 + C \Rightarrow C = 2$ nên $f\left( x \right) = {e^{\frac{x}{2} + \frac{2}{x}}}$.
Vậy $f\left( 2 \right) = {e^2} \approx 7,39$.
Câu 49: Trong không gian $Oxyz$, xét mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {3;7;12} \right)$ và bán kính $R$ thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $R$ sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của $\left( S \right)$ trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua $O$ và góc giữa chúng không nhỏ hơn $60^\circ $?
- $11$. B. $7$. C. $5$. D. $3$.
Lời giải
Chọn C
Để tồn tại tiếp tuyến thì mặt cầu $\left( S \right)$ phải cắt hoặc tiếp xúc mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ nên $R \geqslant 3$.
Gọi $J$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ ta có $J\left( {0;7;12} \right)$ và $IJ = 3$ và $OJ = \sqrt {193} $.
Xét 2 tiếp tuyến đi qua $O$ và tiếp xúc với $\left( C \right)$ tại $K,H$ như hình vẽ.
Từ đề bài ta có $OJ.\sin 60^\circ > r \geqslant OJ.\sin 30^\circ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {193} }}{2} \leqslant r < \sqrt {193} .\frac{{\sqrt 3 }}{2}$, với $r = JK = JH$.
Mà $d\left( {I\,,\,\left( {Oyz} \right)} \right) = IJ = 3$ nên:
$\frac{{193}}{4} + {d^2}\left( {I\,,\,\left( {Oyz} \right)} \right) \leqslant {r^2} + {d^2}\left( {I\,,\,\left( {Oyz} \right)} \right) < \frac{{579}}{4} + {d^2}\left( {I\,,\,\left( {Oyz} \right)} \right)$
$ \Leftrightarrow \frac{{193}}{4} + 9 \leqslant {R^2} < \frac{{579}}{4} + 9 \Leftrightarrow \frac{{229}}{4} \leqslant {R^2} < \frac{{615}}{4}$
$ \Leftrightarrow 7,6 \approx \sqrt {\frac{{229}}{4}} \leqslant R < \sqrt {\frac{{615}}{4}} \approx 12,4$, do $R \in \mathbb{Z} \Rightarrow R \in \left\{ {8;9;10;11;12} \right\}$.
Vậy, có 5 giá trị nguyên thỏa yêu cầu.
Câu 50: Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^4} – 18{x^2} + 4$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$, tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( { – 4;\,1} \right)$ của phương trình $f\left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = m$ bằng $ – 8$?
- $63$. B. $65$. C. $62$. D. $64$.
Lời giải
Chọn A
Đặt $t = {x^2} + 4x + 5$, vì $x \in \left( { – 4;\,1} \right) \Rightarrow \,t \in \left( {1;\,10} \right)$.
Nhận xét: với $1 < t < 5$ ta suy ra có 2 giá trị $x$ có tổng bằng $ – 4$ ( vì ${x_1} + {x_2} = – 4$).
Yêu cầu bài toán tương đương $f\left( t \right) = m$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {1;\,10} \right)$
Nhận xét: $f\left( 1 \right) = f\left( {\sqrt {17} } \right)$ và phương trình $f\left( t \right) = m$ có tối đa 2 nghiệm $t \in \left( {1;\,10} \right)$.
TH1: Nếu $f\left( t \right) = m$ chỉ có 1 nghiệm $t \in \left( {1;\,10} \right)$ thì tổng các nghiệm của phương trình ${x^2} + 4x + 5 = {t_0}$ sẽ là $ – 4$.
TH2: Nếu $f\left( t \right) = m$ có 2 nghiệm phân biệt ${t_1};\,{t_2} \in \left( {1;\,10} \right) \Rightarrow \,{t_1};\,{t_2} \in \left( {1;\,\sqrt {17} } \right)$
Khi đó mỗi phương trình $\left\{ \begin{gathered} {x^2} + 4x + 5 = {t_1} \hfill \\ {x^2} + 4x + 5 = {t_2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( { – 4;\,1} \right)$. Từ đó suy ra tổng các nghiệm là $ – 8$.
Vậy $m \in \left( { – 77;\, – 13} \right)$ và $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { – 76;…; – 14} \right\} \Rightarrow $ có 63 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn.