Ta có \(\widehat {BDA} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABD} + \widehat {BAD}} \right)\). Mặt khác, \(D\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) nên \(DB = DA\), hay tam giác \(DAB\) cân tại \(D\), suy ra \(\widehat B = \widehat {BAD}.\) Do đó Đề bài Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Các đường trung trực của các cạnh \(AB, AC\) cắt nhau tại \(D\). Chứng minh rằng: a) \(B, C, D\) thẳng hàng. b) \(D\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Phương pháp giải - Xem chi tiết a) Chứng minh:\(\widehat {BDA} + \widehat {ADC} = 180^\circ \). b) Chứng minh các tam giác \(DAB\) và \(DAC\) cùng là tam giác cân nên \(BD = DA = DC\). Lời giải chi tiết  Để chứng minh ba điểm \(B,C,D\) thẳng hàng, ta sẽ chứng minh \(\widehat {BDA} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) Ta có \(\widehat {BDA} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABD} + \widehat {BAD}} \right)\). Mặt khác, \(D\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) nên \(DB = DA\), hay tam giác \(DAB\) cân tại \(D\), suy ra \(\widehat B = \widehat {BAD}.\) Do đó \(\widehat {BDA} = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat {BAD}} \right)\) \( = 180^\circ - 2.\widehat {BAD}.\) (1) Tương tự, ta có \(\widehat {ADC} = 180^\circ - 2\widehat {DAC}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {BDA} + \widehat {ADC} = \) \(360^\circ - 2\left( {\widehat {BAD} + \widehat {DAC}} \right)\) \( = 360^\circ - 2.90^\circ = 180^\circ .\) Vậy ba điểm \(B,D,C\) thẳng hàng. b) Do các tam giác \(DAB\) và \(DAC\) cùng là tam giác cân nên \(BD = DA = DC\) (3) Theo câu a, từ (3) suy ra \(D\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Lưu ý: Bài này là bài toán tổng hợp của hai bài [55] và [56].
|
