\(\displaystyle \eqalign{& \,\,\,\,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MG'} \cr& + \,\,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NG'} \cr& \,\,\,\,\,\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CP} + \overrightarrow {PG'} \cr} \) Đề bài Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.ABC\) có độ dài cạnh bên bằng \(a\). Trên các cạnh bên \(AA,BB,CC\) ta lấy tương ứng các điểm \(M, N, P\) sao cho \(AM + BN + CP = a\) Chứng minh rằng mặt phẳng \((MNP)\) luôn luôn đi qua một điểm cố định. Phương pháp giải - Xem chi tiết Gọi \(G'\) là trọng tâm tam giác \(MNP\) và chúng minh \(G'\) cố định. Lời giải chi tiết  Gọi Gvà Glần lượt là trọng tâm của tam giác ABCvà tam giác MNP. Ta có: \(\displaystyle \eqalign{ Cộng từng vế với vế ta có: \(\displaystyle 3\overrightarrow {GG'} = \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) \) \(\displaystyle + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} } \right) \) \(\displaystyle + \left( {\overrightarrow {MG'} + \overrightarrow {NG'} + \overrightarrow {PG'} } \right)\) Vì Glà trọng tâm của tam giác ABCnên \(\displaystyle \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)và Glà trọng tâm của tam giác MNP nên \(\displaystyle \overrightarrow {MG'} + \overrightarrow {NG'} + \overrightarrow {PG'} = \overrightarrow 0 \). Do đó:\(\displaystyle 3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} \) Hay\(\displaystyle \overrightarrow {GG'} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CP} } \right) \) \(\displaystyle = {1 \over 3}\overrightarrow {AA'} \) Vì điểm Gcố định và \(\displaystyle {1 \over 3}\overrightarrow {AA'} \)là vectơ không đổi nên Glà điểm cố định. Vậy mặt phẳng (MNP) luôn luôn đi qua điểm Gcố định.
|
