Vì \(DC\) là cạnh của hình vuông \(ABCD\) đã cho nên độ dài của \(DC\) không đổi, tức là \(\dfrac{1}{{D{I^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}} = \dfrac{1}{{D{C^2}}}\) không đổi khi \(I\) thay đổi trên cạnh \(AB.\) Đề bài Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng: a) Tam giác DIL là một tam giác cân b) Tổng \(\dfrac{I}{{D{I^2}}} + \dfrac{I}{{D{K^2}}}\) không dổi khi I thay đổi trên cạnh AB. Phương pháp giải - Xem chi tiết - Vẽ hình theo các giả thiết đã cho. - Áp dụng hệ thức : \(\dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}\) Lời giải chi tiết  a) Hai tam giác vuông DAI và DCL có \(DA = DC\) (là hai cạnh của hình vuông \(ABCD\));\(\widehat {ADI} = \widehat {CDL}\) (cùng phụ với góc \(\widehat {CDI}\)) nên chúng bằng nhau. Suy ra \(DI = DL\) Tam giác \(DIL\) có hai cạnh bên bằng nhau nên nó là một tam giác cân. b) Theo câu a) ta có : \(\dfrac{1}{{D{I^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}} = \dfrac{1}{{D{L^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}}\) (1) Mặt khác, tam giác vuông \(DKL\) có \(DC\) là đường cao ứng với cạnh huyền nên \(\dfrac{1}{{D{L^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}} = \dfrac{1}{{D{C^2}}}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{1}{{D{I^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}} = \dfrac{1}{{D{C^2}}}\) Vì \(DC\) là cạnh của hình vuông \(ABCD\) đã cho nên độ dài của \(DC\) không đổi, tức là \(\dfrac{1}{{D{I^2}}} + \dfrac{1}{{D{K^2}}} = \dfrac{1}{{D{C^2}}}\) không đổi khi \(I\) thay đổi trên cạnh \(AB.\)
|
