Thầy Lê Bá Khánh Trình và các học trò hăng say giải toán trong giờ giải lao - Ảnh: TƯỜNG HÂN Bài lược trích của thầy giáo Ngô Minh Đức dưới đây hi vọng sẽ là lời giải thích gần gũi về ý nghĩa và ứng dụng thực tiễn của đạo hàm. Một năm sau ngày ra trường, bạn đi họp lớp và gặp lại đứa bạn ngồi cùng bàn. Quá bất ngờ vì cô bạn trở nên xinh đẹp, tự tin, khiến bạn phải
thốt lên: "Mới có một năm, sao bạn thay đổi nhiều quá vậy?". Câu chuyện đơn giản trên đã ẩn chứa ý tưởng đạo hàm trong đó. Khi một điều gì đó thay đổi, nó có thể thay đổi nhanh hay chậm, đạo hàm sẽ cho ta biết "tốc độ thay đổi" của đại lượng đó. Nhờ ý nghĩa này, đạo hàm trở thành công cụ vô cùng quan trọng, ở bất cứ đâu có sự thay đổi, chúng ta sẽ biết được nó thay đổi như thế nào bằng đạo hàm. Cụ thể, nếu hàm số đang tăng đạo hàm sẽ dương, tăng càng nhanh thì đạo hàm càng lớn. Ngược lại, hàm số đang giảm, đạo hàm sẽ âm và âm càng nhiều khi hàm số giảm càng nhanh. Ở khía cạnh thực tiễn, nếu bạn là nhà kinh tế và muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra những quyết định đầu tư chứng khoán đúng đắn; nếu bạn là nhà hoạch định chiến lược, muốn có thông tin về tốc độ gia tăng dân số ở từng vùng miền; hoặc muốn xác định tốc độ phản ứng hóa học, tính toán tốc độ, gia tốc của chuyển động… Đạo hàm sẽ là thứ mà bạn cần. Rất đơn giản! Đầu tiên bạn cần có hàm số mô tả đại lượng đang quan tâm và sau đó chỉ cần đạo hàm nó. Còn tính đạo hàm như thế nào thì sách giáo khoa đã chỉ dẫn rõ ràng và chi tiết, đơn giản hơn chúng ta có thể nhờ máy tính làm giúp. Đạo hàm còn những ứng dụng tuyệt vời khác. Một trong số đó là tìm xem hàm số sẽ đạt được giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất ở đâu, để từ đó tối ưu hóa các hoạt động khác nhau trong cuộc sống. Khi một hàm số đang tăng (đạo hàm dương) rồi bất chợt chuyển sang giảm (đạo hàm âm), nó đã đi qua vị trí mà tại đó hàm số đạt giá trị cực đại và vị trí này cũng chính là nơi có đạo hàm bằng 0 (có thể có ngoại lệ nhé!). Tương tự cho trường hợp hàm số đạt được giá trị cực tiểu. Từ nhận xét này, bằng cách tìm những chỗ mà đạo hàm bằng 0, người ta có thể biết một đại lượng sẽ đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất ở đâu để từ đó có thể tối ưu hóa nó theo mong muốn của mình. Sử dụng đặc trưng này của đạo hàm, các công ty có thể tính được số sản phẩm nên sản xuất để đạt được lợi nhuận cao nhất. Các kĩ sư sẽ biết phải thiết kế một hộp sữa hay một lon nước ngọt như thế nào, với lượng nguyên liệu có sẵn, để có một hộp sữa chứa được nhiều sữa nhất… Cụ thể, ta cần có hàm số mô tả lợi nhuận theo số lượng sản phẩm hoặc hàm số mô tả thể tích hộp sữa theo kích thước thiết kế. Đạo hàm sẽ giúp ta tìm xem các hàm số này đạt giá trị lớn nhất tại đâu. Đó chính là lựa chọn tối ưu cho nhà sản xuất. Ở các sách giáo khoa nước ngoài, họ luôn nhấn mạnh cho học sinh rằng ý nghĩa quan trọng nhất của đạo hàm là cho biết tốc độ thay đổi (rate of change) của một hàm số. Vậy tại sao chúng ta mất rất nhiều thời gian học phổ thông để tìm hiểu đạo hàm mà vẫn không biết nó có ý nghĩa gì? Phải chăng việc dạy học toán còn quá chú trọng vào mục đích thi cử, chủ yếu dạy học sinh cách tính đạo hàm và ứng dụng để giải nhiều dạng toán theo mẫu. Làm như vậy có khiến cho môn toán mất dần ý nghĩa với học sinh? Một hôm, có một em học sinh chặn tôi lại và bất chợt hỏi: “Thưa Thầy, rốt cuộc thì đạo hàm là gì ạ?” Tôi cảm thấy hơi lúng túng bèn trả lời em học sinh đó một cách vô thưởng vô phạt: “À, trong tiếng hán thì Đạo có nghĩa là con đường, thế nên đạo hàm là khái niệm ám chỉ con đường vận động và biến đổi của hàm số…“. Về nhà nghĩ lại thì thấy trả lời kiểu đó cũng như không trả lời, vậy nên tôi quyết định viết bài này. Nếu phải tóm tắt lại
lịch sử phát triển hơn 200 năm của đạo hàm chỉ trong một câu thì tôi sẽ trích dẫn lời của tác giả Grabiner: “Đạo hàm đầu tiên được sử dụng như công cụ, sau đó mới được phát minh, tiếp nữa là được mở rộng và phát triển, cuối cùng mới được định nghĩa.” Thế nghĩa là thế nào? Nghĩa là trước khi được phát minh ra, người ta đã biết cách sử dụng nó như một công cụ đầy hiệu quả. Để hiểu đầu cua tai nheo thì chúng ta phải quay trở về những năm 1630 để tìm hiểu một phương pháp tìm cực trị mới mẻ
mà Fermat đã nghĩ ra: Đáp án của bài toán này thì người ta đã biết từ trước (tích lớn nhất khi ta chia đoạn thẳng thành 2 phần bằng nhau) nhưng cách làm của Fermat thì lại rất mới. Gọi chiều dài đoạn ban đầu là B, chiều dài đoạn thứ nhất là A thì chiều dài đoạn thứ hai sẽ là:B-A và tích của 2 phần
là:. Xét bài toán đơn giản sau: Từ điểm A nằm ngoài đường thẳng d cho trước, hãy xác định điểm N trên d sao cho độ dài đoạn AN là nhỏ nhất? Bây giờ chúng ta hãy giả vờ khờ khạo không biết điểm N cần tìm ở đâu, lúc này hãy giả sử chúng ta tìm được một điểm M nào đó nằm bên phải thõa mãn yêu cầu đề bài (tức là làm cho đoạn AM nhỏ nhất). Khi đó nói chung luôn có một điểm M’ nằm bên trái để cho AM = AM’ cho nên nếu M là nghiệm của bài toán này thì M’ cũng phải là nghiệm và bài toán sẽ luôn có 2 nghiệm. Nguyên lý Pappus phát biểu rằng, giá trị cực tiểu sẽ đạt được trong trường hợp chỉ có một nghiệm, mà muốn vậy thì . Điều này chỉ xảy ra khi M chính là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống d và đây cũng chính là đáp án của bài toán này. Ví dụ này mặc dù khá tầm thường nhưng nguyên lí của Pappus thì lại rất hữu ích trong nhiều trường hợp tìm cực trị khác nhau. Nào bây giờ hãy trở lại với Fermat: Ông giả sử rằng bài toán trên còn có thêm một đáp số thứ hai nữa (tức là có một cách chia khác để tích hai đoạn lớn nhất), với đáp số thứ hai này chúng ta sẽ gọi đoạn thứ nhất là
Nếu bạn đã học lớp 12 thì chắc đã được nghe đến định lí Fermat về điều kiện cần để hàm số đạt cực trị rồi chứ. Vâng, chính nó đấy! Nhưng vào thời điểm này Fermat chưa biết đạo hàm là gì đâu, dù vậy có một sự kiện lý thú là Fermat đã ứng dụng phương pháp này vào các bài toán vật lí và thu được những kết quả rất phù hợp. Cụ thể ông đã áp dụng trong quang học: Fermat phát biểu một nguyên lý về cách “hành xử” của ánh sáng (nguyên lý tác dụng tối thiểu): “Ánh sáng luôn đi theo con đường nhanh nhất”. Theo nguyên lý này và khảo sát đường đi của ánh sáng ngang qua bề mặt phân cách của hai môi trường trong suốt đồng tính ông đã tìm con đường nhanh nhất của ánh sáng (bằng phương pháp mới ở trên) , chính là con đường tuân theo định luật Snell về khúc xạ (vốn đã tìm ra trước đó bằng thực nghiệm)/ Nếu có thời gian bạn hãy đọc thêm bài viết “Tự nhiên là nhà toán học” của tôi để hiểu thêm nhé. Giai đoạn tiếp theo là thời điểm đạo hàm được phát minh. Đạo hàm ra đời lấy cảm hứng từ hai nguồn động lực chính. Động lực này đến từ nhu cầu phải giải quyết hai bài toán quan trong trong hai lĩnh vực khác nhau. Một đến từ hình học đó là bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong và một đến từ vật lí là bài toán xác định vận tốc tức thời của chất điểm. Cùng tìm hiểu nhé… Nếu các bạn đã học đạo hàm rồi thì sẽ thấy nó được định nghĩa như sau: Đạo hàm của hàm
tại
được xác định bằng giới hạn: Vấn đề là tại sao nó lại được định nghĩa như thế? Tôi sẽ trả lời các bạn bằng cách chỉ ra cách mà người ta tìm ra để xác định được tiếp tuyến của một đường cong. Chắc các bạn cũng biết là để viết phương trình một đường thẳng chúng ta cần xác định được hệ số góc của nó. Kiến thức lớp 7 nói rằng hệ số góc của đường thẳng là tan của góc tạo bởi đường thẳng đó với trục hoành Ox. Chẳng hạn, đối với đường thẳng PQ ở trên thì hệ số góc của nó sẽ là: Bây giờ chẳng hạn ta muốn xác định tiếp tuyến của đường cong tại điểm P. Làm thế nào
để đường thẳng PQ biến thành tiếp tuyến đây, các nhà toán học đã nghĩ ra một phương án thú vị: Họ cho điểm Q tiến dần về điểm P, lúc đó thì rõ ràng đường thẳng PQ từ chỗ cắt đường cong tại 2 điểm P, Q nay sẽ chỉ còn cắt tại một điểm P và thế là “trở thành” tiếp tuyến còn gì :). Mọi người có đồng ý là khi
đồng nghĩa với việc
không nào. Như vậy bằng cách cho
trong công thức tính hệ số góc của đường PQ ở trên chúng ta sẽ thu được hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm. Ngặt nỗi, thời điểm đó người ta chưa phát minh ra lý thuyết về giới hạn (sau
này đó là công lao của Cauchy). Và thế là mọi người bèn bắt chước theo cách mà Fermat đã làm: đầu tiên họ cứ xem h là khác 0 rồi tìm cách rút gọn nó đi ở tử và mẫu, sau đó rồi thì xem h bằng 0 rồi triệt tiêu nó đi… Câu hỏi này đã ám ảnh giới toán học rất lâu, mãi cho tới sau này khi Cauchy xây dựng hoàn chỉnh lý thuyết giới hạn thì bức màn bí ẩn mới được vén lên rõ ràng. Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến: việc chúng ta cần làm là cho h tiến dần về 0 (tiến dần về nghĩa là càng ngày càng gần 0 nhưng không bao giờ bằng 0 nhé) và quan sát xem tỉ số đang tiến dần về giá trị nào. Cái giá trị mà tỉ số này đang “tiến về” chính là thứ chúng ta muốn tìm. Tất nhiên là để tìm giới hạn này cần những kĩ thuật phù hợp, và cách làm của Fermat ở một chừng mực nào đó có thể xem là “xài được”. Newton và Leibniz được lịch sử công nhận là độc lập với nhau phát minh ra giải tích và khái niệm đạo hàm nói riêng. Leibniz xuất phát từ việc giải quyết bài toán tiếp tuyến đã đưa ra khái niệm “vi phân” và xây dựng đạo hàm theo khái niệm này (thật tiếc vì thời lượng bài viết không cho phép tôi nói chi tiết thêm
về cách xây dựng của Leibniz). Trong khi đó Newton phát minh ra đạo hàm trong một hoàn cảnh rất đặc thù: ông phát minh ra giải tích chỉ như sáng tạo ra công cụ thích hợp để phục vụ cho các tính toán trong một lý thuyết vĩ đại mà sau này đã đặt nền móng cho cơ học cổ điển: Thuyết vạn vật hấp dẫn. Vận tốc đặc trưng cho sự thay đổi của quãng đường đi được, gia tốc là đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc theo thời gian vậy thì có gì là khó hiểu không khi trong chương trình vật lí người ta nói với các bạn rằng: vận tốc là đạo hàm của hàm quãng đường theo thời gian, còn gia tốc là đạo hàm của hàm vận tốc. Nhiều bạn chắc còn muốn hỏi thêm vì sao đạo hàm là có được ý nghĩa thú vị này? Thật ra thì không khó hiểu lắm đâu: Chẳng hạn với một hàm số bất kì
: Khi có sự thay đổi xảy ra, cụ thể là:
tăng lên một lượng h tức là trở thành
. Và hàm số sẽ thay đổi tương ứng từ
thành
. Tức là hàm số y đã thay đổi một lượng là
tương ứng với khi biến x tăng một lượng là h. Như vậy tốc độ thay đổi của y theo x sẽ là tỉ số quen thuộc:
. Tất nhiên tỉ số này chỉ mới cho ta biết tốc độ thay đổi trung bình của hàm số khi biến x tăng từ
mà thôi. Việc cho h tiến dần tới 0 sẽ giúp ta xác định được tốc độ biến thiên tức thời ngay tại thời điểm
. Và đó cũng chính là đạo hàm! Còn với mọi người trong chúng ta, nếu bạn là nhà kinh tế và muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra những quyết định đầu tư chứng khoán đúng đắn. Nếu bạn là nhà hoạch định chiến lược và muốn có những thông tin liên quan đến tốc độ gia tăng dân số ở từng vùng miền. Nếu bạn là nhà hóa học và muốn xác định được tốc độ phản ứng hóa học nào đó, hay nhà vật lí muốn tính toán vận tốc, gia tốc của một chuyển động… Đạo hàm sẽ là thứ mà chúng ta cần, rất đơn giản đầu tiên bạn cần có hàm số mô tả đại lượng đang được quan tâm, và sau đó chỉ cần đạo hàm nó. Còn tính đạo hàm như thế nào thì Sgk đã chỉ dẫn rõ ràng và chi tiết. Để
kết thúc câu chuyện tôi sẽ kể cho các bạn nghe về sự thật đằng sau việc công bố công trình vĩ đại của Newton: Newton có một thói quen kì lạ, ông không thích công bố những công trình phát minh của mình mặc dù ông biết rõ sự lớn lao của nó. Một hôm nhà thiên văn học Edmund Halley đến thăm Newton (lúc bấy giờ là viện sĩ nổi tiếng của viện hàn lâm khoa học hoàng gia Anh) để khoe với ông về một công trình tâm đắc của mình. Cụ thể là sau một thời gian miệt mài quan sát thiên văn Halley đã phát hiện ra
được một sao chổi rất đặc biệt và thậm chí còn dự đoán được chu kì quỹ đạo của nó, ông tính được rằng 75 năm sau nó sẽ xuất hiện thêm lần nữa. Trái với sự chờ mong của Halley, Newton không thốt lên những lời trầm trồ khen ngợi, thay vào đó ông tạt cho Halley một gáo nước lạnh ngắt: Newton nói mấy cái phát hiện linh tinh này ông đã tìm ra từ mấy năm trước. Harley vô cùng căm phẫn, cho rằng Newton muốn nuốt trôi công trình của mình nên ông quyết định sẽ “ăn thua đủ” nếu Newton không giải thích rõ
ràng chuyện này. Việc công bố công trình của mình một cách trể nãi đã khiến giới khoa học rơi vào một cuộc tranh luận đáng tiếc. Về thực chất, Newton phát minh ra đạo hàm trước nhưng ông lại công bố sau Leibniz. Mặc dù hai nhà toán học này độc lập với nhau xây dựng nên cơ sở của giải tích, tuy nhiên những người bạn của họ lại cho rằng người này ăn cắp ý tưởng của người kia và thế là có một cuộc cãi vã đầy xấu hổ trong lịch sử toán học… Hình như bài viết đã quá dài rồi phải không? Tôi không chắc có nhiều độc giả đủ kiên nhẫn đọc đến khi tôi viết những dòng cuối cùng này. Dù sao nếu quả thật có ai đó như vậy, tôi thành thật gửi lời cảm ơn vì các bạn đã dành nhiều thời gian cho những chia sẻ của tôi. Chúc mọi người học toán thật thú vị và vui vẻ 🙂 |