CÔNG THỨC TOÁN THI THPT QUỐC GIA 2023 - 2024 được soạn dưới dạng file pdf gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
CÔNG THỨC TOÁN THI THPT QUỐC GIA 2023
1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP, Xác suất
− Số hoán vị! ( 1)( 2)...3.2.1nP n n n n= = − −
− Số chỉnh hợp( ) ( )
! 0
!
k
n
n
A k n
n k
\=
−
− Xác suất( ) ( )
( )
A n A
P A n
\= =
− Số tổ hợp( )
!
! !
k
n
n
C n k k
\= −
2. Cấp số cộng
a/ Định nghĩa:1n nu u d−= +
b/ Số hạng thứ n:1 ( 1)nu u n d= + −
c/ Tổng n số hạng đầu :1 1
( ) [2 ( ) ]
2 2
n n
n n
S u u u n d= + = + −
3. Cấp số nhân
a/ Định nghĩa:1.n nu u q−=
b/ Số hạng thứ n:1
1. n
nu u q −
\=
c/ Tổng của n số hạng đầu tiên:1
1 ( 1)
1
n
n
q
S u q
q
−
\=
−
4. Xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x),
– Lập bảng bảng biến thiên.’ 0y hàm đồng
biến,’ 0y hàm nghịch biến
5. Tìm cực trị của hàm số
– Xét dấu y . đổi dấu từ (+) sang (-) qua x0
Thì x0 là điểm cực đại, đổi (-) sang (+) là cực tiểu
6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
• Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.
• Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
8. Số cực trị hàm( )y f x=
m là số cực trị hàm( ) ( )
y f x C=
n là số giao điểm (không tính điểm tiếp xúc của( )
C
với Ox suy ra( )y f x= cóm n+ cực trị f
7. Hàm có trị tuyệt đối
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số( )y f x= .
+ Giữ nguyên đồ thị( ) ( )
y f x C= phía trên Ox
+ Lấy đối xứng đồ thị của( )
C dưới trục Ox qua Ox
Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số( )
y f x= .
+Bỏ phần bên trái trục tung.
+Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tun
8. Số cực trị hàm( )
f x
m là số cực trị dương của hàm( )
y f x=
suy ra( )
y f x= có2 1m + cực trị
10. Hàm hợp )
' . ( )f u u f u =
9. Sự biến thiên hàm( )y f x= ;( ). '( )f x f x
y y
= .
đồng biến trênK ( )
( )
( ) 0, ; min 0
( ) 0, ; max 0
K
K
f x X K f x
f x X K f x
Chương 2: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT - Hàm số logaritlogay x= (a > 0, a 1)
• Tập xác định: D = (0; +).
• Tập giá trị: T = R.
• a > 1 hàm số đồng biến, 0 < a < 1 nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.( )
1
log lna x x a
=
;( )
log lna
u
u u a
= ;( )
1
ln x x
=( )
ln u
u u
=
4. Hàm sốy x
\=( )
1 ( 0)x x x− =
;( )
1.u u u− =
- Hàm số mũx
y a= (a > 0, a 1).
• Tập xác định: D = R.
• Tập giá trị: T = (0; +).
• a > 1 hàm số đồng biến,
• 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.( )
lnx x
a a a
=
;( )
ln .u u
a a a u
= ;( )
x x
e e
=
;( )
.u u
e e u
= ;
5. LOGARIT
•log ( , 0; 1)a b b a a b a
\= =
•log 1 0;log 1;a a a= =
•log ( ) log loga a abc b c= +
•log log loga a a
b b c
c
= −
•log loga ab b=
6. Phương trình, bất phương trìnhlog ; 0x
aa b x b b= = log b
a x b x a= =; 1
;0 1
u v u v a
a a u v a
0 ; 1
log log
0 ; 0 1
a a
u v a
u v
u v a
•log
log log
a
b
a
c
c b
\= haylog .log loga b ab c c=
•1
log loga
b
b a
\=1
log log ( 0)aa c c=
( ) ( ) ( ) ( ).log ( , 0, 1)f x g x
aa b f x g x b a b a= =
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
1.Định nghĩa
Hàm số F là nguyên hàm của f( ) ( )F x f x = ,( ) ( )f x dx F x C= +
• F(x), G(x) là nguyên hàm của f(x)( ) ( )
G x F x C= +
2. Tính chất của tích phân'( ) ( )f x dx f x C= +
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx =
3. Nguyên hàn cơ bản
•0dx C= •dx x C= +
•1
,
1
x
x dx C
+
\= +
+ •1 lndx x C
x = +
•x x
e dx e C= + •(0 1)
ln
x
x a
a dx C a
a
\= +
•cos sinxdx x C= + •sin cosxdx x C= − +
•2
1 tan
cos dx x C
x = + •2
1 cot
sin dx x C
x = − +
4. Phương pháp tính nguyên hàm
- Phương pháp đổi biến số
- Nguyên hàm từng phầnudv uv vdu= −
Tìm( ) ( )
.
u dv
u x f x dx như sau ) ( )
( ) ( )
u u x du u x dx
dv f x dx v f x dx
= =
= = ( ) ( )
. .u x f x dx v v vdu = −
1.Định nghĩa
• Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −
2. Tính chất của tích phân0
0
( ) 0f x dx =( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx=
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx = ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +
3. Phương pháp tính tích phân
- Phương pháp đổi biến số( )
( )
( ).
b
a
f u x u x dx( ) ( ) ( )u u x du du x u x dx= = =
Đổi cận( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ).
( )
u bb
a u a
x a u u a f u x u x dx f u du
x b u u b
\= = = = =
- Tích phân từng phầnb b
b
a
a a
udv uv vdu= −
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các
đường: – Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.( )
b
a
S f x dx=
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của y = f(x), y = g(x) liên tục trên [a; b].
– Hai đường thẳng x = a, x = b.( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −
Thể tích vật thể
B là phần vật thể giới hạn bởi hai mp, .x a x b= = S(x)
là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
(a x b). Thể tích của B là )
b
a
V S x dx=
• Thể tích của khối tròn xoay:
hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = f(x), trục
hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trục
Ox )
2
b
a
V f x dx
\=
SỐ PHỨC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THUẦN TÚY
1. Khái niệm số phức
• Số phức (dạng đại số) :; ,z a bi a b= +
(a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1)
• z là số thực b = 0
z là thuần ảo (a = 0)
• Hai số phức bằng nhau:'
’ ’ ( , , ', ' )
'
a a
a bi a b i a b a b R
b b
=
+ = + =
2. Biểu diễn hình học : điểm M(a; b)
3. Cộng và trừ số phức( ) ( ) ( ) ( )
’ ’ ’ ’a bi a b i a a b b i+ + + = + + +( ) ( ) ( ) ( )
’ ’ ’ ’a bi a b i a a b b i+ − + = − + −
• Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
•M biểu diễn z,N biểu diễn z' thì'MN z z= −
4. Nhân hai số phức( )( ) ( ) ( )
' ' ’– ’ ’ ’a bi a b i aa bb ab ba i+ + = + +
5. Số phức liên hợp của z = a + bi làz a bi= −1 1
2 2
; ' ' ; . ' . '; z z
z z z z z z z z z z z z
\= = = =
;2 2
.z z a b= +
6. Môđun của số phức : z = a + bi( )
( )
2 2 ; ;z z a b OM M a b= = + =
7. Chia hai số phức )
2 2
( ' ' ). '
' ' ''. '
a bi a b iz z z
z a bz z
+ −
\= = +
8. Phương trình bậc hai az2 + bz + c = 0 (*)2 4b ac = −
•0 2
b
z a
−
= =
•1 20 ;
2 2
b b
z z
a a
− + − −
= = phân biệt
•1 2 1
. .
0 ;
2 2
b i b i
z z z
a a
− + − − − −
= = = phân
biệt
Định lý Viet:1 2 1 2; . ,
b c
z z z z
a a
+ = − =
MINH HỌA CÁC DỰNG GÓC VÀ KC từ chân
đường cao đến mặt bênd'
d Q
P A
Dựng;AH BC AK SH⊥ ⊥( ) ( )( ) ( )( ); ; ;SHA SBC ABC AK d A SBC= =
1. Thể tích khối chóp:1 .
3 ñ
V h S
Cho hình chóp có đáy là tam giác ABC. Các điểm M, N,
P nằm trên cạnh SA, SB, SC. Ta có:
2. Tỷ số thể tích.
.
. .S MNP
S ABC
V SM SN SP
V SA SB SC
\=
3 . Hình lăng trụ
▪ Thể tích:. ñ
V h S .
▪ Hình lăng trụ đứng cạnh bên vuông góc với đáy
Lăng trụ tam giác đều: Là lăng trụ đứng và có hai
đáy là hai tam giác đều bằng nhau.
4. HÌNH NÓN
▪ Thể tích:đ
21 1
. . .
3 3
V h S h r
\= =
▪ Diện tích xung quanh:.xqS rl
\=
▪ Diện tích toàn phần:2 .tp xqS S S rl r
\= + = +đ
4. HÌNH TRỤ
▪ Thể tích khối trụ:2
. .V h S h r
\= =đ .
▪ Diện tích xung quanh:2 . .xqS r h
\=
▪ Diện tích toàn phần:2
2 . 2 .tpS r h r
5. MẶT CẦU
▪ Diện tích mặt cầu:2
4S R
\= .
▪ Thể tích khối cầu:3
4
3
R
V
\= .
6. GÓC (kí hiệu (.....))
▪( )
/ / , / / ; ( ; )a a b b a b a b =
▪( ) ( )
;( ) ; 'a P a a= vớia là hình chiếu của a lên (P)
▪( )
( )
( )
;( ) ;P Q a b= ;( )
; ; ,a P b Q a b ⊥ giao tuyến
của( ) ( )
&P Q
7. GÓC (kí hiệu d(.....))
▪( )
; ;d a b MN MN= là đoạn⊥ chung của;a b
▪( ) ( )
( )
( ) ( )
; ; ; ; / /d a b d a P b P P a=
▪( ) ( )
( )
;( ) ;d a P d A a P= ( )
( ) ( )
( )
;( ) ;( )d P Q d A P Q=
▪( )
;( ) ;d A P AH H= là hình chiếu củaA trên( )
P
▪( ) ( )
;( ) ;( ) ;d A P d B P AB= song song với( )
PB
S
A C
H
TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tích có hướng của hai vectơ )
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1, ; ;a b a b a b a b a b a b a b = − − − với1 2 3( , , )a a a a= ,1 2 3( , , )b b b b=
▪ Diện tích hình bình hành ABCD:, .ABCDS AB AD =
▪ Diện tích tam giác ABC:1 , .
2
ABCS AB AC =
▪ Thể tích khối hộp:. ' ' ' ' [ , ]. ' .ABCD A B C DV AB AD AA= ▪ Thể tích tứ diện:1 , .
6
ABCDV AB AC AD = .
2. Phương trình mặt cầu:
Dạng 1:2 2 2 2
( ) : ( ) ( ) ( )S x a y b z c R− + − + − =2
( ; ; );tâm I a b c R R Dạng 2:2 2 2
( ) : 2 2 2 0S x y z ax by cz d+ + − − − + =2 2 2
( ; ; );tâm I a b c R a b c d
Phương trình2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + − − − + = là phương trình mặt cầu2 2 2 0a b c d + + − .
3. Phương trình mặt phẳng:0 0 0qua ( ; ; )
( ) ( ; ; )
M x y z
P VTPT n a b c= phương trình0 0 0( ) : ( ) ( ) ( ) 0P a x x b y y c z z− + − + − =( ) ( ) ( )( ) : 0 (1;0;0), ( ) : 0 (0;1;0), ( ) : 0 (0;0;1)VTPT VTPT VTPT
Oyz Oxz OxyMp Oyz x n mp Oxz y n mp Oxy z n= ⎯⎯⎯→ = = ⎯⎯⎯→ = = ⎯⎯⎯→ =
4. Phương trình đường thẳng:
Đường thẳngqua ( ; ; )
VTCP ( ; ; )
A A AA x y z
d u a b c= .Phương trình tham số
: ; ;A A Ad x x at y y bt z z ct= + = + = +
Phương trình chính tắc: A A Ax x y y z z
d a b c
− − −
\= = . Lưu ý:a d
b d
⊥
⊥ thìd có VTCP là:,du a b = .
5. Ví trị tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu( )S có tâmI và bán kính R.
▪ Trường hợp 1 )
,( )d I P R ( )P và( )S không có điểm chung.
▪ Trường hợp 2 )
,( )d I P R= ( )P và( )S có
một điểm chung. Khi đó ta nói( )P tiếp xúc( )S
▪ TH3 )
,( )d I P R ( )P cắt( )S theo giao
tuyến là một đường tròn tâm H (là trung điểm
AB), bán kính2 2
r R IH= − với( )
,( ) .IH d I P=
6. KHOẢNG CÁCH,GÓC
1. Góc giữa 2 đường thẳng:
Cho1 2,d d lần lượt có VTCP là1 2,u u .
Ta có )
1 2
1 2
1 2
.
cos , .
u u
d d u u
\=
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng )
.
sin , ( ) .
u n
d P u n
\=
. (u vtcp của d,n vtpt của (P))
3. Góc giữa hai mặt phẳng1 1 1 1
2 2 2 2
( ) : 0
( ) : 0
P a x b y c z d
Q a x b y c z d
+ + + =
+ + + =
.
4. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
(*)
0 0 0( ; ; ); ( ) : 0M x y z mp P ax by cz d+ + + = .
Khi đó )
0 0 0
2 2 2
, ( ) ax by cz d
d M P a b c
+ + +
\= + +
5. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
Bước 1: Chọn điểmA d và một VTCPdu .
Bước 2 )
,
, d
d
u AM
d M d u
\= .
6. Khoảng cách giữa1 2, .d d chéo nhau( )
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
cos ( ), ( ) . .
P Q
P Q
n n a a b b c c
P Q n n a b c a b c
+ +
\= = + + + +
Bước 1 )
( )
1
1
...
...
qua A
d VTCP u = ,( )
( )
2
2
...
...
qua B
d VTCP u = .
Bước 2: Tính ) 1 2
1 2
THẦY CÔ ,CÁC EM TẢI NHÉ! |
