Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c, đây là phương trình có ai ẩn số là x và y mà các bạn đã được học ở toán lớp 9.
Bài viết này được đăng tại freetuts.net, không được copy dưới mọi hình thức.
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = c, trong đó a, b và c là các số đã biết (điều kiện là a # 0 hoặc b # 0).
Khi giải bài toán này thì bạn phải kiểm tra điều kiện trước nhé, vì nếu cả hai số a và b đều bằng 0 thì phương trình này vô nghĩa, vi phạm định nghĩa của bài toán.
Nếu phương trình bậc nhất một ẩn có một nghiệm duy nhất thì phương trình hai ẩn sẽ có vô số nghiệm, và tập hợp nghiệm được biểu diễn bằng đường thẳng ax + by = c, ký hiệu là d.
Bài viết này được đăng tại [free tuts .net]
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Nghiệm của phương trình này rơi vào ba trường hợp như sau.
Trường hợp 1: Nếu a # 0 và b # 0 thì công thức nghiệm là.
Lúc này đường thẳng d sẽ cắt hai trục tọa độ ox và oy.
Trường hợp 2: Nếu a = 0 và b # 0 thì công thức nghiệm là:
Lúc này đường thẳng d sẽ song song với trục 0x.
Trường hợp 3: Nếu a # 0 và b = 0 thì công thức nghiệm là:
Lúc này đường thẳng d sẽ song song với trục 0y.
20:38:3211/10/2021
Ở lớp 8 các em đã học phương trình bậc nhất một ẩn. Trong thực tế, còn có các tình huống dẫn đến phương trình có nhiều hơn một ẩn như phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vậy phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? có dạng thế nào? khi nào phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm, vô nghiệm và có bao nhiêu nghiệm? là những câu hỏi sẽ được chúng ta giải đáp trong bài viết này.
1. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
• Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng: ax + by = c (1)
- Trong đó a, b và c là các số đã biết (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0).
* Ví dụ 1: Các phương trình sau là phương trình bậc nhất hai ẩn:
3x - 2y = 1; 2x + 5y = 0;
0x + 3y = 6; 3x + 0y = 9;
* Ví dụ 2: Cặp số (2; 3) là nghiệm của phương trình 2x - y = 1 vì 2.2 - 3 = 1. (Với cách này, ta luôn hiểu rằng x = 2 và y = 3.
> Chú ý: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của phương trình (1) được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm (x0; y0) dược biểu diễn bởi điểm có tọa độ (x0; y0).
* Câu hỏi 1 trang 5 SGK Toán 9 Tập 2: a) Kiểm tra xem các cặp số (1; 1) và (0,5; 0) có là nghiệm của phương trình 2x – y = 1 hay không?
b) Tìm thêm một nghiệm khác của phương trình 2x – y = 1.
> Lời giải:
a) Cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 2x – y = 1
vì 2.1 – 1 = 1
Cặp số (0,5; 0) là nghiệm của phương trình 2x – y = 1
vì 2.0,5 – 0 = 1
b) Chọn x = 2 ta có: 2.2 – y = 1 ⇔ y = 3
Vậy cặp số (2; 3) là một nghiệm của phương trình 2x – y = 1.
* Câu hỏi 2 trang 5 SGK Toán 9 Tập 2: Nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình 2x – y = 1.
> Lời giải:
- Chọn x = x0 (x0 ∈ R) ta có: 2x0 - y = 1 ⇔ y = 2x0 -1
Nên mọi cặp số dạng (x0; 2x0 -1) với x0 ∈ R tùy ý đều là nghiệm của phương trình 2x - y = 1.
⇒ Phương trình 2x – y = 1 có vô số nghiệm.
2. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
• Một nghiệm của phương trình (1) là một cặp số (x0, y0) sao cho ax0 + by0 = c.
• Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, ký hiệu là (d).
- Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:
hoặc
Khi đó đường thẳng (d) cắt cả hai trục tọa độ.
- Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì công thức nghiệm là:
khi đó (d)//Ox
- Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì công thức nghiệm là:
khi đó (d)//Oy
* Câu hỏi 3 trang 5 SGK Toán 9 Tập 2: Điền vào bảng sau và viết ra sáu nghiệm của phương trình (2): y = 2x - 1
| x | -1 | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 2,5 |
| y = 2x - 1 |
> Lời giải:
- Ta có bảng giá trị sau:
| x | -1 | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 2,5 |
| y = 2x - 1 | -3 | -1 | 0 | 1 | 3 | 4 |
Vậy 6 nghiệm của phương trình là: (-1; -3), (0;-1), (0,5; 0), (1;1), (2; 3), (2,5; 4).
Đến đây các em hoàn toàn có thể trả lời các câu hỏi như:
Phương trình bậc nhất hai ẩn là gì? có dạng thế nào? Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng: ax + by = c, (với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0).
Phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm khi nào? có bao nhiêu nghiệm? Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.
Như vậy, phương trình bậc nhất hai ẩn KHÔNG thể vô nghiệm, nhưng HỆ hai phương trình bậc nhất hai ẩn thì có thể vô nghiệm là bài viết chúng ta sẽ tìm hiểu trong bài viết tới.
Trên đây KhoiA.Vn đã giới thiệu với các em về Phương trình bậc nhất hai ẩn. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, chúc các em thành công.
1. Các kiến thức cần nhớ
Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
+) Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ax + by = c$
Trong đó $a,b,c$ là những số cho trước $a \ne $$0$ hoặc $b \ne 0$ .
- Nếu các số thực ${x_0},\,{y_0}$ thỏa mãn $ax + by = c$ thì cặp số $({x_0},\,{y_0})$ được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$.
- Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , mỗi nghiệm $({x_0},\,{y_0})$ của phương trình $ax + by = c$ được biểu diễn bới điểm có tọa độ $({x_0},\,{y_0})$.
Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ luôn có vô số nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng $d:ax + by = c.$
+) Nếu $a \ne 0$ và $b = 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{c}{a}\\y \in R\end{array} \right.$
và đường thẳng $d$ song song hoặc trùng với trục tung.
+) Nếu $a = 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$
và đường thẳng $d$ song song hoặc trùng với trục hoành.
+) Nếu $a \ne 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$
và đường thẳng $d$ là đồ thị hàm số $y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phương pháp:
Nếu cặp số thực $({x_0},\,{y_0})$thỏa mãn $ax + by = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$.
Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ.
Phương pháp:
Xét phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$.
1. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn $x$ theo $y$ ( hoặc $y$ theo $x$) rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát.
2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình $ax + by = c$.
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng $ax + by = c$ thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này:
1. Nếu \(a \ne 0\) và \(b = 0\) thì phương trình đường thẳng $d: ax + by = c$ có dạng $d:x = \dfrac{c}{a}$. Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Oy$ .
2. Nếu \(a = 0\) và \(b \ne 0\) thì phương trình đường thẳng $d: ax + by = c$ có dạng $d:y = \dfrac{c}{b}$. Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Ox$ .
3. Đường thẳng $d:ax + by = c$ đi qua điểm $M({x_0},\,{y_0})$ khi và chỉ khi $a{x_0} + b{y_0} = c$.
Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp:
Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$, ta làm như sau:
Cách 1:
Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩnBước 2: Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn $x$ ) theo ẩn kia.Bước 3: Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của $x$ Bước 4: Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của $x$ bằng một số nguyên \(t\), ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và \(t\)
- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.
Cách 2:
Bước 1. Tìm một nghiệm nguyên $({x_0},\,{y_0})$ của phương trình.
Bước 2. Đưa phương trình về dạng $a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0$ từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.