Chuyên đề các TRƯỜNG hợp TAM GIÁC BẰNG NHAU
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (211.01 KB, 12 trang ) Chuyên đề - Các trường hợp bằng nhau của tam giác B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho góc nhọn xOy, lấy điểm A thuộc Ox, điểm B thuộc Oy sao cho OA = OB. Vẽ AC vuông góc với Oy (C∈Oy), BD vuông góc với Ox (D∈Ox). a) Chứng minh: AC = BD b) Gọi I là giao điểm AC và BD. Chứng tỏ rằng OI là tia phân giác của góc xOy. Giải: a) Xét tam giác ACO và tam giác BDO, ta có: ACO^=BDO^=90o OA = OB, AOB^ chung Vậy ΔACO=ΔBDO suy ra: AC = BD b) ΔACO=ΔBDO nên OC = OD Xét tam giác DIO và tam giác CIO có: ODI^=OCI^=90o, OD = OC, OI cạnh chung Nên: ΔICO=ΔIDO (cạnh huyền - cạnh góc vuông), từ đó suy ra: O1^=O2^ hay OI là tia phân giác của góc xOy. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AH vuông góc với BC (H∈BC).Vẽ BD vuông góc và bằng AB, vẽ CE vuông góc và bằng AC. Vẽ DI, EK vuông góc với đường thẳng BC như hình sau: Chứng minh rằng: a) BI = AH b) BI = CK c) DI + EK = BC Giải: a) Ta có: DBI^=BAH^ (cùng phụ với ABH^ mà DB = AB; DIB^=AHB^=90o nên ΔDBI=ΔBAH (cạnh huyền - góc nhọn) suy ra: BI = AH b) Tương tự ta có: ΔAHC=ΔCKE suy ra: CK = AH Do đó: BI = CK (vì cùng bằng AH) c) ΔDBI=ΔBAH suy ra DI = BH ΔAHC=ΔCKE suy ra: EK = CH Từ đó suy ra: DI + EK = BH + CH = BC Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A, góc A nhọn. Lấy điểm D trên AC và điểm E trên AB sao cho BD vuông góc với AC và CE vuông góc với AB. BD cắt CE tại H. Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc BAC. Giải: Ta có BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB nên: ADB^=AEC^=900 Tam giác ABC cân tại A nên AB=AC. Suy ra hai tam giác ADB và AEC vuông, có góc A chung và AB=AC nên: ΔADB=ΔAEC⇒AD=AE. Hai tam giác vuông EAH và DAH có AH là cạnh chung, AE=AD nên: ΔEAH=ΔADH⇒EAH^=DAH^ Suy ra AH là tia phân giác của góc BAC. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M là trung điểm của BC, E là điểm nằm giữa B và C nhưng không trùng với M. Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc AE). Tam giác MHK có đặc điểm gì? Vì sao? Giải: Ta có: ABH^=CAK^(=900−HAB^) ⇒ΔHAB=ΔKCA (ch.gn) ⇒BH=AK. Lại có: ΔAMB=ΔAMC (c.c.c)⇒AMB^=AMC^=900 Suy ra AM vuông góc với BC ⇒MBH^=MAK^(=900−AEB^). Tam giác AMB vuông tại M và có: ABM^=450⇒MA=MB. ⇒ΔMBH=ΔMAK (c.g.c) ⇒HMB^=KMA^,MH=MK (1) ⇒KMH^=KMA^−HMA^=HMB^−HMA^=AMB^=900. Từ (1) và (2) suy ra tam giác MKH vuông cân tại M. (2) Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ A kẻ AH⊥BC. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Kẻ EK⊥AC,(K∈AC). Chứng minh AK = AH. Giải: tam giác AEB cân tại B,suy ra: EAB^=AEB^. Lại có: AEK^=EAB^ (do cùng phụ với CAE^ ). ⇒AEK^=AEB^ ⇒△AEK=△AEH (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒AK=AH . Ví dụ 6: Cho tam giác ABC cân tại A, có A^<900. Vẽ BD⊥AC,CE⊥AB,AK⊥BC. Chứng minh AK, BD, CE cùng đi qua một điểm. Giải: Gọi giao điểm của BD và CE là H. Theo ví dụ 1, ta có AH là tia phân giác của góc BAC. Dễ thấy: △ABK=△ACK (cạnh huyền- cạnh góc vuông). ⇒BAK^=CAK^ hay AK là tia phân giác góc BAC. ⇒AH trùng với AK hay A,K,H thằng hàng. Vậy, BD,CE,AK cùng đi qua một điểm. C. Kiểm tra chuyên đề: Làm bài tại đây. Chuyên đề - Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông (Nâng cao) A. Kiến thức cơ bản Mời em xem lại Chuyên đề - Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông (Cơ bản) B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Qua A kẻ đường thẳng d cắt BC. Vẽ BM, CN cùng vuông góc với d. Chứng minh rằng: ΔBAM=ΔACN. Giải: Ta có: A1^+A2^=90o vàB1^+A2^=90o nên B1^+A1^ Xét tam giác BAM và tam giác ACN có: AMB^=CNA^=90o;B1^=A1^;AB=AC Nên ΔAMB=ΔCNA (cạnh huyền - góc nhọn) Ví dụ 2: Gọi M là trung điểm cảu cạnh BC của tam giác ABC. Vẽ BI, CK vuông góc với đường thẳng AM. Chứng minh BI=CK Giải: Xét tam giác BMI và tam giác CMK, ta có: BIM^=CKM^=90o;M1^=M2^;BM=CM Suy ra: ΔBMI=ΔCMK (cạnh huyền - góc nhọn) Vậy BI = CK Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của các tia BC và CB tương ứng lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M là trung điểm của BC, Từ B và C kẻ BH vuông góc với AD, CK vuông góc với AE ( H thuộc AD, K thuộc AE). Chứng minh rằng ba đường thẳng BH, CK, AM đồng quy. Giải: Tam giác ABC cân tại A nên : ABC^=ACB^⇒ABD^=ACE^ ΔABD=ΔACE (c.g.c)⇒AD=AE, ΔAMD=ΔAME (c.c.c)⇒MAD^=MAE^. do đó AM là tia phân giác của góc DAE. (1) Gọi O là giao điểm của BH và CK. ΔAOH=ΔAOK (ch.cgv)⇒OAK^=OAH^ Suy ra AO là tia phân giác của góc HAK hay AO là tia phân giác của góc DAE. Từ (1) và (2) suy ra AM trùng với AO. Vậy ba đường thẳng BH, CK, AM đồng quy tại O. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Ở miền ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABD, ACF có AB = BD, CA=CF. a) Chứng minh D,A,F thẳng hàng. b) Từ D và F hạ các đường vuông góc DD', FF'xuống đường thẳng BC. Chứng minh DD′+FF′=BC. Giải: (2) tam giác DBA, ACF vuông tại B và C nên có: DAB^=CAF^=450 ⇒DAF^=DAB^+BAC^+CAF^=450+900+450=1800. ⇒D,A,F thẳng hàng. b) Từ A vẽ AH⊥BC. Xét hai tam giác vuông DD'B và BHA có: BD = AB; D′BD^=BAH^. ⇒△DBD′=△BAH (cạnh huyền, góc nhọn). ⇒DD′=BH.(1) Tương tự, có: △FCF′=△HAC (cạnh huyền, góc nhọn).suy ra: FF' = HC.(2) Từ (1) và (2) có: DD' + FF' = BH+ CH= BC. (đpcm) Ví dụ 5: Cho đoạn thẳng AB. Trên AB lấy một điểm M và trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tam giác đều AMC và BMD. Gọi E,F,I,K là trung điểm của các đoạn thẳng CM, CB, DM, DA. a) Chứng minh EF // KI và EI = KF. b) Chứng minh KF=CD2. Giải: a) Trong tam giác CMB có: E, F là trung điểm của CM,CB nên EF // MB. Trong tam giác DMA có K,I là trung điểm AD, MD nên KI // MA. =>EF//KI (do cùng song song với AB). Gọi H là trung điểm của CD. Trong tam giác CDM có E,H là trung điểm của CM, CD nên EH // MD. Trong tam giác CDA có H,K là trung điểm của CD, DA nên HK // AC. Mà MD // AC nên theo tiên đề Ơ-clit, ba điểm H,K,E thẳng hàng. Tương tự, ta chứng minh được H,F,I thẳng hàng. Lại có: HF=BD2,EH=MD2 Mà BD=MD,⇒HF=EH. Tương tự có HK=HI. ⇒△HKF=△HIE. ⇒KF=EI. b) Ta có: EI là đường trung bình của tam giác CDM nên EI=CD2. Mà theo phần a, có KF=EI⇒KF=CD2 C. Kiểm tra chuyên đề: Làm bài tại đây. Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC BẰNG NHAU 1. Các trường hợp bằng nhau của tam giác a) Trường hợp 1 : cạnh – cạnh – cạnh Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằngnhau. b) Trường hợp 2 : cạnh – góc – cạnh Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tamgiác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. c) Trường hợp 3 : góc – cạnh – góc Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tamgiác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. 2. Ứng dụng Chúng ta thường vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để : - Chứng minh : hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau; hai đường thẳng vuông góc ; hai đường thẳng song song; ba điểm thẳng hàng ; - Tính : các độ dài đoạn thẳng ; tính số đo góc ; tính chu vi ; diện tích ; - So sánh : các độ dài đoạn thẳng ; so sánh các góc ; Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC; M là trung điểm BC; N là 1 điểm trong tam giác sao cho NB=NC. Chứng minh: ∆ NMB = ∆ NMC. Bài 2. Cho DABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc BAC (E thuộc BC). Chứng minh rằng: DABE = DACE Bài 3. Cho tam giác ABC có góc A = 400 , AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của tam giác AMB và tam giác AMC. Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = AC. D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = AE. a. Chứng minh . b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của . c. Giả sử . Tính các góc còn lại của tam giác DAE. Bài 5. Cho tam giác ABC có . Vẽ AD ^ AB (D, C nằm khác phía đối với AB) và AD = AB. Vẽ AE ^ AC (E, B nằm khác phía đối với AC) và AE = AC. Biết DE = BC. Tính Bài 6. Cho DABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc (E thuộc BC). Chứng minh rằng: a. DABE = DACE b. AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Bài 7. Cho DABC có AB < AC. Kẻ tia phân giác AD của ( D thuộc BC). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Chứng minh rằng: a. DBDF = DEDC. b. BF = EC. c. F, D, E thẳng hàng. d. AD ^ FC Bài 8. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox, lấy 2 điểm A và C. Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho OA = OB ; OC = OD. (A nằm giữa O và C; B nằm giữa O và D). a. Chứng minh DOAD = DOBC b. So sánh 2 góc và . Bài 9. Cho DABC vuông ở A. TRên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. a. Chứng minh DABC = DABD b. Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh DMBD = D MBC. Bài 10. Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên Ox, lấy điểm A, trên Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trên tia Oz, lấy điểm I bất kì. Chứng minh: a. D AOI = D BOI. b. AB ^ OI. Bài 11. Cho DABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm E sao cho ME = MA. a. Chứng minh AC // BE. b. Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳng hàng. |
