The Image Conversion Program of Music Notation being Numeric Notation is a character recognition system that accepts input in form of music notation image that produces an output of a DOCX file containing the numeric notation from the input image. Music notation has notation value, ritmic value and written with a music stave. The system consists of four main processes: preprocessing (grayscale and thresholding), notation line segmentation, notation character segmentation, and template matching. Template matching is used to recognize the music notation that obtained after segmentation. The recognition process obtained by comparing the image with the template image that has been inputted before to the database. This system has 100% success rate on segmentation of the character and success rate 38,4843% on the character recognition with template matching. Show
Một biến đổi tuyến tính từ V vào W luôn ánh xạ gốc tọa độ của V tới gốc tọa độ của W. Hơn nữa, nó luôn là ánh xạ từ một không gian con (tuyến tính) vào một không gian con (có thể với số chiều khác nhau); ví dụ, ánh xạ từ một mặt phẳng qua gốc tọa độ trong V vào một mặt phẳng qua gốc tọa độ trong W, hoặc tới một đường thẳng đi qua gốc tọa độ trong W, hoặc chỉ tới điểm gốc tọa độ của W. Ánh xạ tuyến tính có thể được biểu diễn bởi các ma trận, các ví dụ đơn giản là các ma trận của các phép biến đổi tuyến tính quay và phản xạ. Trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, một phép biến đổi tuyến tính là một đồng cấu giữa các mô đun. Trong ngôn ngữ của lý thuyết phạm trù, nó là một cấu xạ trong phạm trù các mô đun trên một vành đã cho. Định nghĩa và các hệ quả đầu tiên[sửa | sửa mã nguồn]Một cách chính thức, nếu và là các không gian vectơ trên cùng một trường , chúng ta nói rằng ánh xạ là một (phép) biến đổi tuyến tính nếu cho bất kỳ hai vectơ và bất kỳ vô hướng , chúng ta có Điều này có ý nghĩa tương đương với khẳng định "bảo toàn tổ hợp tuyến tính", có nghĩa là không quan trọng là ánh xạ được áp dụng trước (vế phải ở các đẳng thức trên) hay sau (vế trái) khi thực hiện các phép toán cộng và nhân vô hướng. Cho bất kỳ các vectơ và các vô hướng bởi tính kết hợp của phép cộng chúng ta có
Ký hiệu các phần tử không của các không gian vectơ và tương ứng là và , ta suy ra Cho và trong phương trình của tính thuần nhất bậc 1:
Thông thường, và có thể xem như là các không gian vectơ trên các trường khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được dùng cho định nghĩa "tuyến tính". Nếu và là các không gian trên trường như xác định ở trên, chúng ta nói về -ánh xạ tuyến tính. Ví dụ, phép lấy liên hợp của một số phức là một -ánh xạ tuyến tính , nhưng nó không phải là -tuyến tính, trong đó các trường và tương ứng là các trường số thực và số phức. Một ánh xạ tuyến tính với trường được xem như là một không gian vectơ 1 chiều trên chính nó được gọi là một phiếm hàm tuyến tính. Các mệnh đề trên đây có thể được tổng quát hóa đối với một mô đun trái bất kỳ trên một vành mà không cần sửa lại, và đối với một mô đun phải bất kỳ nhưng phải đổi thứ tự của phép nhân vô hướng. Các ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]
Ma trận[sửa | sửa mã nguồn]Nếu và là các không gian vectơ hữu hạn chiều và một cơ sở được xác định cho mỗi không gian vectơ, thì mọi ánh xạ tuyến tính từ vào có thể được biểu diễn bởi một ma trận. Điều này hữu ích vì nó cho phép tính toán các ánh xạ một cách cụ thể. Các ma trận chính là các ví dụ của ánh xạ tuyến tính: Nếu là ma trận thực , thì mô tả một ánh xạ tuyến tính (xem không gian Euclid). Cho là một cơ sở của V. Vậy thì mỗi vectơ được xác định duy nhất bởi các hệ số (tọa độ) trong trường :
Nếu là một ánh xạ tuyến tính thì ta có
từ điều này suy ra rằng hàm hoàn toàn được xác định bởi các vectơ . Ta có là một cơ sở của . Vậy thì ta có thể biểu diễn từng vectơ dưới dạng
Vì vậy, biến đổi hoàn toàn được xác định bởi các giá trị . Nếu ta đặt các giá trị này vào một ma trận với kích thước , thì ta có thể sử dụng để tính toán một cách thuận tiện vectơ đầu ra của cho một vectơ bất kỳ trong . Để xây dựng , mỗi cột của là một vectơ
tương ứng với được định nghĩa như trên. Để định nghĩa một cách rõ ràng hơn, đối với một cột tương ứng với ánh xạ thì
trong đó là ma trận của biến đổi . Nói cách khác, ở mỗi cột có một vectơ tương ứng với tọa độ là các phần tử của cột . Một ánh xạ tuyến tính có thể được biểu diễn bởi nhiều ma trận. Điều này là bởi các giá trị của các phần tử trong một ma trận phụ thuộc vào cơ sở được chọn. Ví dụ của ma trận biến đổi tuyến tính[sửa | sửa mã nguồn]Trong không gian hai chiều R2 các ánh xạ tuyến tính được biểu diễn bởi các ma trận thực 2 × 2. Dưới đây là một số ví dụ: Không gian các ánh xạ tuyến tính[sửa | sửa mã nguồn]Ánh xạ hợp của các ánh xạ tuyến tính cũng là ánh xạ tuyến tính: nếu các ánh xạ f: V → W và g: W → Z là tuyến tính, thì ánh xạ hợp cũng vậy. Từ đây suy ra rằng lớp các không gian vectơ trên một trường cho trước K, cùng với các K-ánh xạ tuyến tính là các cấu xạ, tạo thành một phạm trù. Ánh xạ ngược của một ánh xạ tuyến tính nếu tồn tại cũng là tuyến tính. Nếu và là tuyến tính, thì hàm tổng của chúng cũng tuyến tính, được định nghĩa là . Nếu là tuyến tính và là một phần tử của trường bên dưới , thì ánh xạ , định nghĩa bởi cũng là tuyến tính. Vì thế tập hợp gồm các ánh xạ tuyến tính từ vào cũng là một không gian vectơ trên trường , đôi khi ký hiệu là . Hơn nữa, trong trường hợp thì không gian này, ký hiệu , là một đại số kết hợp dưới phép hợp ánh xạ, vì hợp của hai ánh xạ tuyến tính cũng là một ánh xạ tuyến tính, và phép hợp ánh xạ có tính kết hợp. Trường hợp này được nói cụ thể hơn ở dưới. Trong trường hợp hữu hạn chiều, nếu các cơ sở đã được chọn trước thì phép hợp các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép nhân ma trận, phép cộng các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép cộng ma trận, và phép nhân vô hướng các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép nhân ma trận với vô hướng. Tự đồng cấu, tự đẳng cấu[sửa | sửa mã nguồn]Một biến đổi tuyến tính là một tự đồng cấu trên ; tập hợp các tự đồng cấu cùng với phép cộng, phép hợp và phép nhân vô hướng được định nghĩa như trên tạo thành một đại số kết hợp có đơn vị trên trường (và cụ thể hơn là một vành). Phần tử đơn vị phép nhân của đại số này là ánh xạ đồng nhất . Một tự đồng cấu trên mà đồng thời cũng là một đẳng cấu được gọi là một tự đẳng cấu trên . Hợp của hai tự đẳng cấu cũng là một tự đẳng cấu, và tập hợp các tự đẳng cấu trên tạo thành một nhóm gọi là nhóm các tự đẳng cấu trên và được ký hiệu là hay . Vì các tự đẳng cấu cũng chính là các tự đồng cấu có ánh xạ ngược dưới phép hợp ánh xạ nên là nhóm các đơn vị trên vành . Nếu có số chiều hữu hạn , thì đẳng cấu với đại số kết hợp gồm các ma trận vuông với các phần tử trong . Nhóm các tự đẳng cấu trên đẳng cấu với nhóm tuyến tính tổng quát gồm các ma trận khả nghịch với các phần tử trong . Hạt nhân, ảnh và định lý về hạng[sửa | sửa mã nguồn]Nếu biến đổi là tuyến tính, ta định nghĩa hạt nhân của ký hiệu , ảnh của và hạng của như sau:
là một không gian con của và là không gian con của . Công thức sau đây được xem là định lý về số chiều: . Số cũng được gọi là hạng của ký hiệu là , hoặc ; còn số được gọi là số vô hiệu (nullity) của và ký hiệu là hay . Nếu và là hữu hạn chiều, và được biểu diễn bởi ma trận , thì hạng và số vô hiệu của tương ứng bằng hạng và số vô hiệu của ma trận . Phân loại đại số của các biến đổi tuyến tính[sửa | sửa mã nguồn]Không có cách phân loại các biến đổi tuyến tính nào là triệt để. Sau đây là một số phân loại đặc biệt mà không xét bất kỳ cấu trúc bổ sung nào trên không gian vectơ. Cho và là các không gian vectơ trên một trường và cho là một ánh xạ tuyến tính. Định nghĩa: được gọi là biến đổi đơn ánh hay là một đơn cấu không gian vectơ nếu một trong số các điều kiện tương đương sau đây được thỏa mãn:
Định nghĩa: được gọi là biến đổi toàn ánh hay một toàn cấu không gian vectơ nếu một trong các điều kiện tương đương sau đây được thỏa mãn:
Định nghĩa: được gọi là một đẳng cấu nếu nó đồng thời là khả nghịch trái và là khả nghịch phải. Điều này là tương đương với đồng thời là đơn ánh và là toàn ánh (tức là một song ánh) hay đồng thời là một đơn cấu và là một toàn cấu. Cho gọi là một tự đồng cấu, ta có: Chuyển cơ sở[sửa | sửa mã nguồn]Cho một ánh xạ tuyến tính và là một tự đồng cấu có biểu diễn ma trận là A, đối với cùng một cơ sở B của không gian, A biến đổi tọa độ vectơ [u] thành [v] = A[u]. Khi chuyển từ một cơ sở khác sang B ta thực hiện biến đổi [v] = B[v']. Thay vào biểu thức thứ nhất ta được
suy ra
Vì vậy, ma trận của biến đổi ấy trong cơ sở kia là A′ = B−1AB, trong đó B là ma trận của cơ sở đã cho. Hai ma trận A và A' được gọi là hai ma trận đồng dạng. Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]Một ứng dụng cụ thể của ánh xạ tuyến tính là cho các biến đổi hình học, ví dụ như trong đồ họa máy tính, khi các phép di chuyển tịnh tiến, quay và phóng tỉ lệ một đối tượng 2D hoặc 3D được thực hiện nhờ sử dụng một ma trận biến đổi. Các ánh xạ tuyến tính cũng được sử dụng như một cơ chế để mô tả sự thay đổi: như trong giải tích ứng với đạo hàm; hay trong thuyết tương đối, được dùng như một phương tiện để theo dõi các biến đổi cục bộ trong các hệ quy chiếu. Một ứng dụng khác của các biến đổi tuyến tính là trong việc tối ưu hóa trình biên dịch đối với các đoạn mã lồng nhau, và trong việc song song hóa kỹ thuật biên dịch. |
