DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức Z thoả mãn \((1 – 3i)z\) là số thuần ảo và \(z^2=(1+i)|z|-2(1-i)\)?
A.\(4\).
B. \(2\).
C. \(3\).
D. \(0\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(z = a + bi\) với \(a,b \in \mathbb{R}\).
+ Ta có \((1 – 3i)z = \left( {1 – 3i} \right)\left( {a + bi} \right) = \left( {a + 3b} \right) + \left( {b – 3{\rm{a}}} \right)i\).
Do đó \((1 – 3i)z\) là số thuần ảo \( \Leftrightarrow a + 3b = 0 \Leftrightarrow a = – 3b\left( 1 \right)\)
+ Ta có \(z^2=(1+i)|z|-2(1-i)\) \( \Leftrightarrow z^2=|z|+i|z|-2+2i => z^2=|z|-2+(|z|+2)i \)
Lấy môđun hai vế, ta được \(\left| {{z^2}} \right| = \sqrt {{{\left( {\left| z \right| – 2} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| + 2} \right)}^2}} \)
Do \(|z|^2=|z^2|\) nên khi đặt \(t=|z|^3\) ta được \({t^2} = \sqrt {{{\left( {t – 2} \right)}^2} + {{\left( {t + 2} \right)}^2}} \)
\( \Leftrightarrow {t^4} = {t^2} – 4t + 4 + {t^2} + 4t + 4 \Leftrightarrow {t^4} – 2{t^2} – 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} = – 2\\{t^2} = 4\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left| z \right| = 2 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 4\left( 2 \right)\).
Từ,ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a = – 3b\\{a^2} + {b^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{{3\sqrt {10} }}{5}\\b = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{3\sqrt {10} }}{5}\\b = \frac{{ – \sqrt {10} }}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = – \frac{{3\sqrt {10} }}{5} + \frac{{\sqrt {10} }}{5}.i\\z = \frac{{3\sqrt {10} }}{5} – \frac{{\sqrt {10} }}{5}.i\end{array} \right.\).
Thử lại, với \(z = – \frac{{3\sqrt {10} }}{5} + \frac{{\sqrt {10} }}{5}.i\) thì \({z^2} = \frac{2}{5}\left( {8 – 6i} \right)\) và \(\left| z \right| = 2\).
Khi đó \(\left( {1 + i} \right)\left| z \right| – 2\left( {1 – i} \right) = 2\left( {1 + i} \right) – 2\left( {1 – i} \right) = 4i\) không thỏa mãn.
Với \(z = \frac{{3\sqrt {10} }}{5} – \frac{{\sqrt {10} }}{5}.i\) thì \({z^2} = \frac{2}{5}\left( {8 – 6i} \right)\) và \(\left| z \right| = 2\).
Khi đó \(\left( {1 + i} \right)\left| z \right| – 2\left( {1 – i} \right) = 2\left( {1 + i} \right) – 2\left( {1 – i} \right) = 4i\) không thỏa mãn.
Vậy không có số phức nào thỏa mãn bài toán.
Mã câu hỏi: 152316
Loại bài: Bài tập
Chủ đề :
Môn học: Toán Học
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z-2i \right|\le \left| z-4i \right|\) và \(\left| z-3-3i \right|=1\).
- Trong tập các số phức, cho phương trình \({{z}^{2}}-6z+m=0\), \(m\in \mathbb{R}\) \(\left( 1 \right)\). Gọi \({{m}_{0}}\) là một giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) thỏa mãn \({{z}_{1}}.\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}.\overline{{{z}_{2}}}\). Hỏi trong khoảng \(\left( 0;\,20 \right)\) có bao nhiêu giá trị \({{m}_{0}}\in \mathbb{N}\)?
- Gọi số phức \(z=a+bi\), \(\left( a,b\,\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z-1 \right|=1\) và \(\left( 1+i \right)\left( \overline{z}-1 \right)\) có phần thực bằng \(1\) đồng thời \(z\) không là số thực. Khi đó \(a.b\) bằng :
- Cho số phức z thoả mãn\(\frac{1+i}{z}\) là số thực và \(\left| z-2 \right|=m\) với \(m\in \mathbb{R}\). Gọi \({{m}_{0}}\) là một giá trị của m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:
- Trong tập hợp các số phức, gọi \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}-z+\frac{2017}{4}=0\), với \({{z}_{2}}\) có thành phần ảo dương. Cho số phức z thoả mãn \(\left| z-{{z}_{1}} \right|=1\). Giá trị nhỏ nhất của \(P=\left| z-{{z}_{2}} \right|\) là
- Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi \(m\in S\) có đúng một số phức thỏa mãn \(\left| z-m \right|=6\) và \(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S
- Cho các số phức z thỏa mãn \(\left| z-i \right|=5\). Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w=iz+1-i\) là đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
- Cho số phức thỏa \(\left| z \right|=3\). Biết rằng tập hợp số phức \(w=\overline{z}+i\) là một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn đó.
- Cho số phức \(z=a+bi\) \(\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(z+2+i-\left| z \right|\left( 1+i \right)=0\) và \(\left| z \right|>1\). Tính \(P=a+b\).
- Đường nào dưới đây là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện \(\left| z-i \right|=\left| z+i \right|\)?
- Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right|=\left| z+\bar{z} \right|=1\)?
- Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(2\left| z-1 \right|=\left| z+\bar{z}+2 \right|\) trên mặt phẳng tọa độ là một
- Tìm giá trị lớn nhất của \(P=\left| {{z}^{2}}-z \right|+\left| {{z}^{2}}+z+1 \right|\) với z là số phức thỏa mãn \(\left| z \right|=1\).
- Cho số phức z và w thỏa mãn \(z+w=3+4i\) và \(\left| z-w \right|=9\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=\left| z \right|+\left| w \right|\).
- Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \({{z}_{1}}=-1+i\), \({{z}_{2}}=1+2i\), \({{z}_{3}}=2-i\), \({{z}_{4}}=-3i\). Gọi S là diện tích tứ giác \(ABCD\). Tính S
- Cho số phức z thoả mãn \(\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\). Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}\). Tính môđun của số phức \(w=M+mi\).
- Cho số phức z, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z; iz và \(z+iz\) tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18. Mô đun của số phức z bằng
- Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=2\). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w=3-2i+\left( 2-i \right)z\) là một đường tròn. Bán kính R của đường tròn đó bằng ?
- Cho số phức z thỏa mãn \(4\left| z+i \right|+3\left| z-i \right|=10\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\) bằng:
- Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \({{z}_{1}}=1+i\), \({{z}_{2}}=8+i\), \({{z}_{3}}=1-3i\). Khẳng định nào sau đây đúng?
- Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| \frac{z-1}{z-i} \right|=\left| \frac{z-3i}{z+i} \right|=1\)?
- Số phức \(z=a+bi\) ( với a, b là số nguyên) thỏa mãn \(\left( 1-3i \right)z\) là số thực và \(\left| \overline{z}-2+5i \right|=1\). Khi đó a+b là
- Cho hai số phức \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5,\,\,\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\) là
- Cho số phức \(w=x+yi\), \(\left( x\,,\,y\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {{w}^{2}}+4 \right|=2\left| w \right|\). Đặt \(P=8\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)+12\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
- Cho số phức \(z=a+bi\) \(\left( a,\text{ }b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(z+1+3i-\left| z \right|i=0\). Tính \(S=a+3b\).
Thu gọn $z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2}$ ta được:
Trong các kết luận sau, kết luận nào sai:
Tìm số phức liên hợp của số phức $z = 3 + 2i$.
Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là \(1 + 2i?\)
Phương trình: $8{z^2} - 4z + 1 = 0$ có nghiệm là:
Với hai số phức bất kì ${z_1},{z_2}$ , khẳng định nào sau đây đúng:
LIVESTREAM 2K4 ÔN THI THPT QUỐC GIA 2022
ÔN TẬP HỌC KÌ 2 - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 03 - 2k5 Lý thầy Sĩ
Toán
ÔN TẬP HỌC KÌ 2 ĐỀ MINH HỌA SỐ 2 - 2k5 - Livestream HÓA cô THU
Hóa học
CHỮA ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KỲ 2 THPT NHÂN CHÍNH HN - 2K6 TOÁN THẦY THẾ ANH
Toán
ÔN THI VÀO 10 - CHỮA ĐỀ CHỌN LỌC 01 - 2k7 - Livestream TOÁN thầy QUANG HUY
Toán
CHỮA ĐỀ THI CUỐI HỌC KÌ II - 2K5 - Livestream HÓA cô HUYỀN
Hóa học
ĐỀ MINH HỌA CUỐI KÌ 2 HAY NHẤT - 2k5 - Livestream HÓA cô THU
Hóa học
Xem thêm ...