Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng cực hay, chi tiết
Show
Trang trước Trang sau Quảng cáo
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm. Về dạng này điểm chung thứ nhất thường dễ tìm. Điểm chung còn lại các bạn phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba và chúng không song song. Giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai. Chú ý: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Tìm mệnh đề sai? A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên. B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO. C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI. D. Đường thẳng SO nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt. Lời giải Xét các phương án: + Phương án A: Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên là: (SAB); (SBC); (SCD) và (SAD). Do đó A đúng. + Phương án B: Ta có: Do đó B đúng + Tương tự, ta có SI = (SAD) ∩ (SBC). Do đó C đúng. + Đường thẳng SO không nhìn thấy nên được biểu diễn bằng nét đứt. Do đó D sai. Chọn D. Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD). A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD. B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD. C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC. D. Đáp án khác Quảng cáo
Lời giải + Ta có : S ∈ (SAC) ∩ (SBD)(1) + Trong mp(ABCD) gọi giao điểm của AC và BD là O. ( bạn đọc tự vẽ hình) - Vì + Từ (1) và (2) suy ra SO = (SAC) ∩ (SBD) Chọn A Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD) A. SO trong đó O là giao điểm của AC và BD B. SI trong đó I là giao điểm của AB và CD C. SE trong đó E là giao điểm của AD và BC D. Đáp án khác Lời giải + Ta có: S ∈ (SAB) ∩ (SCD)(1) + Trong mp(ABCD) gọi giao điểm của AB và CD là I. (bạn đọc tự vẽ hình) Vì + Từ (1) và (2) suy ra SI = (SAB) ∩ (SCD) Chọn B Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB) là: A. AN trong đó N là trung điểm CD B. AM trong đó M là trung điểm của AB. C. AH trong đó H là hình chiếu của A lên BG. D. AK trong đó K là hình chiếu của C lên BD. Lời giải + Ta có: A ∈ (ABG) ∩ (ACD)(1) + Gọi N là giao điểm của BG và CD. Khi đó N là trung điểm CD. Từ (1) và (2) suy ra: NA = (ABG) ∩ (ACD) Chọn A. Ví dụ 5: Cho điểm A không nằm trên mp(α) - chứa tam giác BCD . Lấy E; F là các điểm lần lượt nằm trên cạnh AB; AC. Khi EF và BC cắt nhau tại I; thì I không là điểm chung của 2 mặt phẳng nào sau đây ? A. (BCD) và (DEF) B. (BCD) và (ABC) C. (BCD) và (AEF) D. (BCD) và (ABD) Quảng cáo
Lời giải + Do I là giao điểm của EF và BC nên I ∈ BC; I ∈ (BCD).(1) + Hơn nữa I ∈ EF mà  Từ (1) và (2) suy ra: Chọn D Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Giao tuyến của 2 mặt phẳng (MBD) và (ABN) là: A. Đường thẳng MN B. Đường thẳng AM C. Đường thẳng BG (G là trọng tâm tam giác ACD) D. Đường thẳng AH ( H là trực tâm tam giác ACD) Lời giải + Ta có: B ∈ (MBD) ∩ (ABN).(1) + Vì M; N lần lượt là trung điểm của AC và CD nên suy ra AN và DM là hai trung tuyến của tam giác ACD. Gọi giao điểm của AN và DM là G. Khi đó: G là trọng tâm tam giác ACD Từ (1) và ( 2) suy ra: BG = (ABN) ∩ (MBD) Chọn C Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD ( AB// CD). Khẳng định nào sau đây sai? A. Hình chóp S.ABCD có mặt bên B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO (O là giao điểm của AC và BD) C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI (I là giao điểm của AD và BC) D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD Lời giải Chọn D + Hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAB), (SBC); (SCD) và (SAD) nên A đúng. + S và O là hai điểm chung của (SAC) và (SBD) nên B đúng. + S và I là hai điểm chung của (SAD) và (SBC) nên C đúng. + Giao tuyến của (SAB) và (SAD) là SA, rõ ràng SA không thể là đường trung bình của hình thang ABCD. Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD và M là một điểm trên đoạn AO. Gọi I và J là hai điểm trên cạnh BC; BD. Giả sử IJ cắt CD tại K, BO cắt IJ tại E và cắt CD tại H, ME cắt AH tại F. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MIJ) và (ACD) là đường thẳng: A. KMB. AKC. MFD. KF Lời giải Chọn D. + Do K là giao điểm của IJ và CD nên: K ∈ (MIJ) ∩ (ACD)(1) + Ta có F là giao điểm của ME và AH Mà AH ⊂ (ACD), ME ⊂ (MIJ) nên F ∈ (MIJ) ∩ (ACD) (2) Từ (1) và (2) có (MIJ) ∩ (ACD) = KF Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trung điểm của SD, J là điểm trên SC và không trùng trung điểm SC. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABCD) và (AIJ) là: A. AK với K là giao điểm IJ và BC B. AH với H là giao điểm IJ và AB C. AG với G là giao điểm IJ và AD D. AF với F là giao điểm IJ và CD
Lời giải Chọn D. + A là điểm chung thứ nhất của (ABCD) và (AIJ) + IJ và CD cắt nhau tại F, còn IJ không cắt BC; AD; AB Nên F là điểm chung thứ hai của (ABCD) và (AIJ) Vậy giao tuyến của (ABCD) và (AIJ) là AF Câu 1: Cho tứ diện S.ABC. Lấy điểm E; F lần lượt trên đoạn SA; SB và điểm G trọng tâm tam giác ABC . Tìm giao tuyến của mp(EFG) và mp(SBC) A. FM trong đó M là giao điểm của AB và EG. B. FN trong đó N là giao điểm của AB và EF. C. FT trong đó T là giao điểm của EG và SB. D. Đáp án khác
+ Trong mp(SAB); gọi H là giao điểm của EF và AB. + Trong mp(ABC); gọi HG cắt AC; BC lần lượt tại I và J. + Ta có: Và Từ (1) và (2) suy ra: JF = (EFG) ∩ (SBC) Chọn D Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M; N lần lượt là trung điểm AD và BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là: A. SD B. SO C. SG (G là trung điểm của AB) D. SF (F là trung điểm của MD)
+ Ta có: S ∈ (SMN) ∩ (SAC)(1) + Trong mặt phẳng (ABCD) có: AM = NC = 1/2 AD và AM // NC ⇒ Tứ giác AM CN là hình bình hành. Mà O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của MN (tính chất hình bình hành) + Ta có: Từ (1) và (2) suy ra: SO = (SAC) ∩ (SMN) Chọn B Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SA và SB; gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây sai? A. Tứ giác IJCD là hình thang B. Giao tuyến của (SAB) và (IBC) là IB. C. Giao tuyến của (SBD) và (JCD) là JD. D. Giao tuyến của (IAC) và (JBD) là AO.
+ Ta có IJ là đường trung bình của tam giác SAB ⇒ IJ // AB Mà AB // CD ( vì ABCD là hình chữ nhật) ⇒ IJ // CD ⇒ Tứ giác IJCD là hình thang. Do đó A đúng. + Ta có: I ∈ (SAB) ∩ (IBC) Và B ∈ (SAB) ∩ (IBC) ⇒ IB = ( SAB) ∩ (IBC) Do đó B đúng + Ta có: J ∈ (SBD) ∩ (JBD) Và D ∈ (SBD) ∩ (JBD) ⇒ JD = (SBD) ∩ (JBD) Do đó C đúng + Trong mặt phẳng (IJCD) , gọi M là giao điểm của IC và JD Khi đó: giao tuyến của (IAC) và (JBD) là MO Do đó D sai Chọn D Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AD // BC). Gọi M là trung điểm CD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (MSB) và (SAC) là: A. SI (I là giao điểm của AC và BM) B. SJ (J là giao điểm của AM và BD) C. SO (O là giao điểm của AC và BD) D. SP (P là giao điểm của AB và CD)
+ Ta có: S là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)(1) + Ta có: Từ (1) và (2) suy ra: SI = (SBM) ∩ (SAC) Chọn A Câu 5: Cho 4 điểm A; B; C; D không đồng phẳng. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (KAD) là A. IKB. BC C. AKD. DK
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) là IK Chọn A Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy hình thang (AB // CD). Gọi I là giao điểm của AC và BD. Trên cạnh SB; lấy điểm M. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ADM) và (SAC). A. SI B. AE với E là giao điểm của DM và SI C. DM D. DE với E là giao điểm của DM và SI
+ Ta có: A ∈ (ADM) ∩ (SAC)(1) + Trong mặt phẳng (SBD), gọi E là giao điểm của SI và DM . Ta có: E ∈ SI ⊂ (SAC) nên E ∈ (SAC) E ∈ DM ⊂ (ADM) nên E ∈ (ADM) Do đó E ∈ (ADM) ∩ (SAC) (2) Từ (1) và (2) suy ra: EA = (ADM) ∩ (SAC) Chọn B Câu 7: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J là 2 điểm lần lượt trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. Gọi H; K lần lượt là giao điểm của IJ với CD; MH và AC. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (ACD) và (IJM): A. KI B. KJ C. MI D. MH
+ Trong mặt phẳng (BCD); ta có IJ cắt CD tại H nên H ∈ (ACD) + 3 điểm H; I và J thẳng hàng suy ra bốn điểm M; I; J; H đồng phẳng ⇒ Trong mặt phẳng (IJH), MH cắt IJ tại H và MH ⊂ (IJM)(1) + Mặt khác: Từ (1) và (2) suy ra: MH = (ACD) ∩ (IJM) Chọn D Câu 8: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD, I là điểm trên đoạn thẳng AG, BI cắt mặt phẳng (ACD) tại J. Khẳng định nào sau đây sai? A. AM = (ACD) ∩ (ABG) B. A; J; M thẳng hàng C. J là trung điểm AM D DJ = (ACD) ∩ (BDJ)
Chọn C vậy A đúng + ba điểm A; J và M cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt (ACD) và (ABG) nên A; J; M thẳng hàng, vậy B đúng. + Vì I là điểm tùy ý trên AG nên J không phải lúc nào cũng là trung điểm của AM. Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD; AD//BC. Gọi I là giao điểm của AB và CD, M là trung điểm SC. DM cắt mặt phẳng (SAB) tại J . Khẳng định nào sau đây sai? A. S, I; J thẳng hàng B. DM ⊂ mp(SCI) C. JM ⊂ mp(SAB) D. SI = (SAB) ∩ (SCD)
Chọn C + Ba điểm S; I và J thẳng hàng vì ba điểm cùng thuộc hai mp (SAB) và (SCD) nên A đúng Khi đó; giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là SI ⇒ D đúng + M ∈ SC ⇒ M ∈ (SCI) nên DM ⊂ mp(SCI), vậy B đúng + M ∉ (SAB) nên JM ⊄ mp(SAB). Vậy C sai Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và một số bài tập áp dụng có lời giải chi tiết.Cập nhật lúc: 15:00 03-08-2017 Mục tin: LỚP 11 Hướng dẫn cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳngXem thêm
Chúng ta thừa nhận một kết quả sau của hình học không gian:
Do đó, phương pháp chung để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt là ta chỉ ra hai điểm chung của chúng, và đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến cần tìm. BÀI VIẾT LIÊN QUAN
BÀI VIẾT LIÊN QUAN
Dạng toán 1. Cách xác định giao tuyến hai mặt phẳngPhương pháp: Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) ta đi tìm hai điểm chung I; J của mp(α) và mp(β).
Phương pháp tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng và bài tập vận dụng
Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng là dạng toán trọng tâm trong chương trình Toán lớp 11. Để làm được dạng toán này, các bạn cần có phương pháp giải cụ thể. Vậy phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng là gì?
|
