Tứ giác nội tiếp là gì? Cách chứng minh và dấu hiệu nhận biết cực dễ
van le thi ngoc
26/07/2021
Tứ giác nội tiếp - Phương pháp - Bài tập (có lời giải chi tiết)Cập nhật lúc: 15:32 13-02-2017 Mục tin: LỚP 9 Show
I. Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn1)Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó Ví dụ: Cho một điểm O cố định và tứ giác ABCD. Nếu học sinh chứng minh được bốn điểm A, B, C, D cách đều điểm O với khoảng cách bằng R, tức OA = OB = OC = OD = R thì điểm O chính là tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D. Hay nói cách khác, tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. 2)Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180° Cho tứ giác ABCD Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếpnếugóc A + góc C = 180° hoặc gócB + gócD =180° Phương pháp này được xuất phát từ chính định nghĩa của tứ giác nội tiếp. Nội dung của phương pháp này như sau: “Nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp” Hệ quả của nội dung này là: Cho tứ giác ABCD: + NếuBAD=BCD= 90độthì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BD + Nếu tổng hai góc kề bùEAD=BCDthì tứ giác ABCD nội tiếp 3)Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau Cho tứ giác ABCD Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp⇔ góc DAC = góc DBC cùng chắn cung DC Phương pháp này áp dụng khi đề bài cho tứ giác ABCD và những dữ kiện gợi ý tính được rằngDAC=DBC= 90độ. Từ đó, học sinh có thể kết luận tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. 4) Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn Cho tứ giác ABCD Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp⇔góc A + góc C = gócB +gócD. Đây là trường hợp đặc biệt của cách thứ 2. 5)Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn Cho tứ giác ABCD Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nếu góc ngoài đỉnh A bằng góc C, hoặc góc ngoài đỉnh B bằng góc D. Ở phương pháp này, học sinh chú ý phải nhìn đúng hình đúng góc, nếu không sẽ bị tình trạng chứng minh sai nhưng kết quả đúng và ảnh hưởng tới những câu tiếp theo. Cụ thể, khi đề bài cho tứ giác ABCD và chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A bằng góc C của tứ giác (góc A và góc C đối đỉnh) thì có thể kết luận tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. 6)Chứng minh bằng phương pháp phản chứng Với cách này, các em chứng minh tứ giác là các hình đặc biệt như hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành. Cách chứng minh tứ giác nội tiếp cực hay, chi tiết
Trang trước
Trang sau
Tải xuống Đối với chứng minh tứ giác nội tiếp, ta sử dụng các dấu hiệu nhận biết sau: + Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o. + Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. + Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. + Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α. + Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình sau: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân. Đối với bài toán tính góc, ta sử dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp để tính toán. Ví dụ 1 : Tính số đo các góc của tứ giác ABCD  Hướng dẫn giải Do ABCD là tứ giác nội tiếp nên Vì Ta có: ⇒ Vậy Ví dụ 2 : Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). Trên BC lấy điểm M, vẽ đường thẳng vuông góc với OM tại M, cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Chứng minh các tứ giác EBOM và DCMO nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm các đường tròn đó. Hướng dẫn giải – Chứng minh tứ giác EBOM nội tiếp Có OM ⊥ ME (gt) nên góc OB ⊥ BE (BE là tiếp tuyến của (O)) nên góc ⇒ Tứ giác EBOM nội tiếp trong đường tròn đường kính OE. – Chứng minh tứ giác DCMO nội tiếp Có OM ⊥ DM (gt) nên góc CD ⊥ OC (CĐ là tiếp tuyến của (O)) nên góc Nên M, C là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn OD dưới một góc 90o ⇒ Tứ giác DCMO nội tiếp trong đường tròn đường kính OD. Ví dụ 3 : Qua điểm B nằm ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến BC và BD với đường tròn (O), (C, D là các tiếp điểm). Từ B vẽ cát tuyến BMN (M nằm giữa B và N, tia BN nằm giữa hai tia BC và BO), gọi H là giao điểm của BO và CD. a. Chứng minh BM.BN = BH.BO. b. Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp. Hướng dẫn giải a. Ta có: BC = BD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OC = OD (bán kính đường tròn (O)) BO là đường trung trực của CD ⇒ BO ⊥ CD (1) Xét ΔBMC và ΔBCN có: ⇒ ΔBMC ∼ ΔBCN (g – g) ⇒ Do (1) ta có △BCO vuông tại C, đường cao CH: ⇒ BC2 = BH.BO (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (3) Từ (2) và (3) ⇒ BM.BN = BH.BO. b. Ta có: BM.BN = BH.BO (chứng minh trên) ⇒ ΔBMO và ΔBHN có:
⇒ ΔBMO ∼ ΔBHN (c – g – c) ⇒ ⇒ Tứ giác OHMN nội tiếp (hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh). Câu 1 : Cho hình vẽ sau, biết Hướng dẫn giải Đáp án D Ta có: Ta lại có : Lại có Vậy Câu 2 : Phát biểu nào sau đây sai ? A. Tứ giác nội tiếp có 4 đỉnh cùng nằm trên cùng một đường tròn B. Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. C. Trong một tứ giác nội tiếp tổng hai góc bất kì bằng 180o D. Hinh chữ nhật luôn nội tiếp đường tròn. Hướng dẫn giải Đáp án C Trong tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối mới bằng 180o . Câu 3 : Số đo góc A trong hình vẽ Hướng dẫn giải Đáp án D Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Mà Câu 4 : Các hình nào sau đây nội tiếp đường tròn? A. Hình thang, hình chữ nhật B. Hình thang cân, hình bình hành C. Hình thoi, hình vuông D. Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông Hướng dẫn giải Đáp án D Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông là các hình nội tiếp đường tròn. Câu 5 : Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn đường kính BC cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tia AH cắt BC tại F. Số tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ là: A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 Hướng dẫn giải Đáp án B Các tứ giác nội tiếp ADHE, BDHF, FHEC, BDEC, AEFB, ADFC. Vậy có 6 tứ giác nội tiếp. Câu 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH nội tiếp đường tròn (O;R) gọi I và K theo thứ tự là điểm đối xứng của H qua hai cạnh AB và AC. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Tứ giác AHBI nội tiếp đường tròn đường kính AB B. Tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn đường kính AC C. Ba điểm I, A, K thẳng hàng D. A, B, C đều đúng. Hướng dẫn giải Đáp án D Ta có AH ⊥ BC Và Xét tứ giác AIBH, có: ⇒ Tứ giác AIBH nội tiếp đường tròn đường kính AB Xét tứ giác AKCH, có: ⇒ Tứ giác AKCH nội tiếp đường tròn đường kính AC Ta lại có: Mà Suy ra ba điểm I, A, K thẳng hàng. Do đó, cả A, B, C đều đúng. Câu 7 : Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O;R). Độ dài cạnh hình vuông bằng: Hướng dẫn giải Đáp án A Đặt cạnh góc vuông là x Ta có hình vuông ABCD nội tiếp (O; R) Nên O là giao điểm của hai đường chéo, và OA = OB = OC = OD = R. Kẻ OH vuông góc với BC. Tam giác OBC vuông cân tại O, có OH ⊥ BC ⇒ H là trung điểm của BC Xét tam giác OHB vuông tại H, có : OB2 = OH2 + BH2 Vậy cạnh hình vuông có độ dài là Câu 8 : Hình nào sau đây không nội tiếp đường tròn? A. Hình vuông B. Hình chữ nhật C. Hình thoi D. Hình thang cân Hướng dẫn giải Đáp án C Hình vuông, hình chữ nhật và hình thang cân là các hình nội tiếp đường tròn. Hình thoi là hình không nội tiếp đường tròn. Câu 9 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính BD. Các đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Biết rằng AB = BC = 7,5cm và A. 11cm B. 12cm C. 14cm D. 15cm Hướng dẫn giải Đáp án D Do tứ giác ABCD nội tiếp (O) nên: Mà Ta có
Mà Ta có : ⇒ tam giác ABD vuông tại A Câu 10 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn. Kéo dài AB về phía B một đoạn BE. Biết A.66 B.92 C.70 D.88 Hướng dẫn giải Đáp án B Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên: Mà: Tải xuống Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước
Trang sau
Mục lục
Lý thuyết: Tứ giác nội tiếpBản để in Tứ giác nội tiếpMục lục 1. Định nghĩa [edit] 2. Định lí [edit] 3. Định lí đảo [edit] 4. Dấu hiệu nhận biết [edit] Định nghĩa [edit]Một tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). Ví dụ: Tứ giác \(ABCD\) ở hình a) được là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(O\) vì cả bốn đỉnh \(A\ B,\ C\) và \(D\) đều nằm trên đường tròn \((O).\) Tứ giác \(MNPE\) ở hình b) không phải là tứ giác nội tiếp vì có một đỉnh \(E\) không nằm trên đường tròn. Như vậy, chỉ cần ít nhất một đỉnh của tức giác không thuộc đường tròn thì tứ giác không phải là tứ giác nội tiếp đường tròn đó. Chú ý: - Đường tròn \((O)\) được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABCD.\) - Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng luôn xác định được duy nhất một đường tròn nên mọi tam giác đều có đường tròn ngoại tiếp nhưng không phải mọi tứ giác đều có đường tròn ngoại tiếp. Định lí [edit]Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo của hai góc đối bằng \(180^{\circ}.\) Chứng minh: Xét tứ giác \(ABCD\) có bốn đỉnh nằm trên đường tròn \((O).\) Ta cần chứng minh: \(\widehat{A} + \widehat{C} =180^{\circ}\) và \(\widehat{B} + \widehat{D} =180^{\circ}.\) Ta có: +) \(\widehat{A}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\stackrel\frown{BCD}\) \(\Rightarrow \widehat{A} =\dfrac{1}{2} sđ \stackrel\frown{BCD}.\) +) \(\widehat{C}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\stackrel\frown{BAD}\) \(\Rightarrow \widehat{C} =\dfrac{1}{2} sđ \stackrel\frown{BAD}.\) Do đó: \(\widehat{A} + \widehat{C} =\dfrac{1}{2} sđ \stackrel\frown{BCD}+ \dfrac{1}{2} sđ \stackrel\frown{BAD}\) \(\Leftrightarrow \widehat{A} + \widehat{C}= \dfrac{1}{2} (sđ \stackrel\frown{BCD}+ sđ \stackrel\frown{BAD} )\) \(\Leftrightarrow \widehat{A} + \widehat{C}=\dfrac{1}{2} . 360^{\circ}\) \(\Leftrightarrow \widehat{A} + \widehat{C}=180^{\circ}.\ \square\) Lập luận tương tự, ta cũng có: \(\widehat{B} + \widehat{D}=180^{\circ}.\ \square\) Định lí đảo [edit]Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng \(180^{\circ}\) thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. Chứng minh: Xét tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat{B} + \widehat{D} =180^{\circ}.\) Ta cần chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đường tròn. Ta đã biết: Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng luôn xác định được duy nhất một đường tròn. Vì \(A,\ B,\ C\) là ba điểm phân biệt không thẳng hàng nên ta có thể vẽ được đường tròn tâm \(O\) qua ba điểm \(A,\ B,\ C.\) Khi đó dây \(AC\) chia đường tròn thành hai cung \(AnC\) và \(AmC.\) Lại có, mọi điểm nằm trên cung \(AmC\) đều nhìn cạnh \(AC\) một góc bằng \(180^{\circ}- \widehat{B}.\) Theo giả thiết, \(\widehat{B} + \widehat{D} =180^{\circ}\) nên \(\widehat{D} =180^{\circ} - \widehat{B}.\) Do đó điểm \(D\) nằm trên cung \(AmC.\) Vậy tứ giác \(ABCD\) có cả bốn đỉnh cùng nằm trên đường tròn \((O).\ \square\) Dấu hiệu nhận biết [edit]Các tứ giác có một trong các đặc điểm sau đây đều là tứ giác nội tiếp: 1. Tứ giác là hình thang cân, hình chữ nhật hoặc hình vuông. Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Vì \(OA=OB=OC=OD\) nên tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn.
Vì \(\widehat{A} + \widehat{C} =180^{\circ}\) nên tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn.
Tứ giác \(ABCD\) có hai góc \(\widehat{A_1}, \widehat{B_1}\) cùng nhìn cạnh \(DC\) và\(\widehat{A_1}= \widehat{B_1}\) nên \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.
Tứ giác \(ABCD\) có góc ngoài \(\widehat{D_1} =\widehat{B}\) nên \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp. |
