Để chứng minh một tứ giác là hình vuông, ta sử dụng một trong hai cách sau: Cách 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật có thêm dấu hiệu hai cạnh kề bằng nhau hoặc hai đường chéo vuông góc hoặc một đường chéo là đường phân giác của một góc. Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình thoi có thêm dấu hiệu có một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau. Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao? b) Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao? Hướng dẫn:  Đặt AD = a thì AB = 2a Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD, ta được AE = EB = BC = CF = FA = a. a) Tứ giác ADFE là hinh vuông. Vì tứ giác ADFE có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi. Hình thoi ADFE có $\widehat{A}=90^{\circ}$ nên nó là hình vuông. b) Tứ giác MENF là hình vuông Tương tự câu a) ta có EBCF là hình vuông. Hình vuông ADFE có AF $\perp $ DE Hình vuông EBCF có EC $\perp $ BF Và $\widehat{MEF}=\widehat{NEF}=45^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{MEN}=\widehat{EMF}=\widehat{ENF}=90^{\circ}$ $\Rightarrow $ tứ giác MENF là hình chữ nhật Mà hình chữ nhật MENF có EF lfa đường phân giác của $\widehat{MEN}$ nên nó là hình vuông Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông. Hướng dẫn: Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và AM = BN = CP = DQ = x Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD ta được $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^{\circ}$ MB = NC = PD = QA = a - x $\Rightarrow $ $\Delta $MBN; $\Delta $NCP; $\Delta $PDQ; $\Delta $QAM bằng nhau (cạnh góc vuông - góc nhọn kề) $\Rightarrow $ MN = NP = PQ = QM Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi. $\Delta $BMN = $\Delta $CNP $\Rightarrow \widehat{BMN}=\widehat{CNP}$ Mà $\widehat{BMN}+\widehat{BNM}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{CNP}+\widehat{BNM}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{MNP}=90^{\circ}$ $\Rightarrow $ hình thoi MNPQ có một góc vuông do đó là hình vuông
LÝ THUYẾT VÀ DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH VUÔNG
1. Khái niệm: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau. 2. Tính chất:
3. Dấu hiệu nhận biết: Để chứng minh một tứ giác là h. vuông, các em có thể chứng minh theo một số cách sau đây:
Trên đây là các tính chất của h.vuông . Nhằm giúp nhận biết được một tứ giác như thế nào thì được cho là một h.vuông. Hình xuất hiện rất nhiều trong cuộc sống hằng ngày.Một ô gạch hoa, ô cửa sổ, viên kẹo..vv. Vậy nên rất dễ để hình dung một hình như thế nào được gọi là hình . H.vuông được xem là một tứ giác. Bốn cạnh của h.vuông đều bằng nhau. Một hình chữ nhật cũng có thể là một h vuông. Khi mà số đo hai cạnh kề bằng nhau. Trường hợp thứ hai để một hình chữ nhật xem như h vuông. Hai đường chéo của hình chữ nhật vuông góc với nhau. Thì hình chữ nhật đó được gọi là h vuông. Trường hợp cuối cùng.Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc. Một hình thoi chính là một h vuông. Có thể bạn quan tâm: Chuyên đề tính chất dãy tỉ số bằng nhau Một số bài tập về hình vuôngVới các tính chất trên, khi gặp dạng toán đếm hình đối với bậc tiểu học. Khi nhận biết được thế nào là hình chữ nhật, hình tròn, hình bình hành,hình thoi. Thì việc xác định được số lượng hình là rất đơn giản. Còn với các cấp học khác, việc nắm rõ được tính chất hình. Giúp cho việc chứng minh trong toán hình được dễ dàng hơn.Chẳng hạn: ta không thể chứng minh được hình đó là một hình bình hành khi không nắm rõ được các tính chất của một hình bình hành. Hay trường hợp giải bài tập toán hình. Đã có đầu đủ các giữ kiện để chứng minh đó là hình thang nhưng vì không biết được tính chất của hình nên đành chịu. Vậy nên muốn học tốt phần này, cần nắm rõ tính chất của các hình. Bài 1: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao, đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó. Bài giải sơ lược: Kẻ AH CD ; BK CD. Đặt AH = AB = x HK = x AHD = BKC (cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra : DH = CK = . Vậy HC = HK + CK = x + = Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH Ta có : AH2 = DH . CH hay 5x2 = 100 Giải phương trình trên ta được x = và x = – (loại) Có thể bạn quan tâm: Bậc của đơn thức là gì? Lý thuyết và bài tập vận dụng Vậy : AH = Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC. Giải: Đặt BC = 2x, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x Áp dụng định lí Pitago tính được AC = Từ KBC HAC hay Đưa về phương trình 15,62 + x2 = 6,76x2 Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5 Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm) Tải tài liệu miễn phí ở đây
Tài liệu Cách chứng minh tứ giác là hình vuông hay, chi tiết Toán lớp 8 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về bài học từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vững kiến thức môn Toán lớp 8. A. Phương pháp giải Sử dụng một trong hai cách sau:
B. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho hình sau, tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao? Giải Tứ giác AEDF là hình vuông. Theo hình vẽ thì Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. a) Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao? b) Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao? Giải Đặt AD = a thì AB = 2a Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD, ta được: AE = EB = CF = FD = a. a) Ta có EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD nên EF = a ⇒ AE = EF = DF = AD = a Suy ra tứ giác ADFE có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi. Hình thoi ADFE có b) Tứ giác MENF là hình vuông Chứng minh tương tự câu a) ta cũng có tứ giác EBCF là hình vuông. Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình vuông ADFE và EBCF, ta được: Tứ giác MENF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật. Hình chữ nhật MENF lại có EF là đường phân giác của góc Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông. Giải
Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA (tính chất). Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và AM = BN = CP = DQ = x. Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được:
Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi. Áp dụng tính chất về góc và kết quả hai tam giác bằng nhau vào hai tam giác MBN, NCP ta được: Lại có góc BNC là góc bẹt hay Từ (1) và (2) suy ra Điều này chứng tỏ hình thoi MNPQ có một góc vuông nên nó là hình vuông. C. Bài tập vận dụng Câu 1. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu: A. Hình thoi có một góc vuông. B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau. C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
Từ hình vẽ ta thấy hai đường chéo của tứ giác vuông góc và giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình thoi. Hình thoi này có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình vuông. Đáp án: D. Câu 2. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu: A. Hình thoi có một góc vuông. B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau. C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
Từ hình vẽ ta thấy bốn cạnh của tứ giác này bằng nhau nên tứ giác này là hình thoi. Hình thoi này có một góc vuông nên nó là hình vuông. Đáp án: A. Câu 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Tứ giác EFGH là hình gì? A. Hình chữ nhật. B. Hình thoi. C. Hình bình hành. D. Hình vuông.
Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA (tính chất). Mà AE = BF = CG = DH (gt) nên AB – AE = BC – BF = CD – CG = DA – DH hay DG = CF = EB =AH. nên HG = GF = HE = EF. Vì HG = GF = HE = EF nên tứ giác EFGH là hình thoi. Hình thoi EFGH có Đáp án: D. Câu 4. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác 4 góc đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì? A. Hình chữ nhật. B. Hình thoi. C. Hình bình hành. D. Hình vuông.
Vì ABCD là hình thoi nên Mà OE, OF, OG, OH lần lượt là phân giác Suy ra nên H, O, F thẳng hàng. Tương tự ta có: E, O, G thẳng hàng. Xét Tương tự ta có: Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác EFGH là hình bình hành vì có hai đường chéo EG; HF giao nhau tại trung điểm mỗi đường. Lại xét Suy ra: hình bình hành EFGH có hai đường chéo bằng nhau EG = HF nên EFGH là hình chữ nhật. Lại có: Hình chữ nhật EFGH có: Đáp án: D. Câu 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tứ giác EFGH là hình gì? A. Hình chữ nhật. B. Hình thoi. C. Hình bình hành. D. Hình vuông.
Ta có: ΔABC vuông cân tại A nên Xét tam giác vuông FGC có:
Suy ra ∆FGC là tam giác vuông cân tại Chứng minh tương tự: Xét tam giác vuông EHB có
Suy ra tam giác EBH vuông cân tại H Mà BH = HG = GC(gt) nên FG = EH = HG Lại có: Xét tứ giác EFGH có:
⇒Tứ giác EFGH là hình bình hành. Mà Mặt khác EH = HG (cmt) nên hình chữ nhật EFGH là hình vuông. Đáp án: D. Câu 6. Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CB lấy điểm E, trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho DF = BE. Qua E kẻ Ex//AF, qua F kẻ Fy//AE. Gọi P là giao điểm của Ex và Fy. AEPF là hình gì? A. Hình chữ nhật. B. Hình thoi. C. Hình bình hành. D. Hình vuông.
Xét hai tam giác ABE và ADF có: AB = AD (do ABCD là hình vuông) Mặt khác lại do EP//AF; FP//AE ⇒AEPF là hình bình hành (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ AEPF là hình vuông. Đáp án: D. Câu 7. Cho ΔABC vuông cân tại B. Từ điểm D thuộc cạnh AB vẽ A. Hình chữ nhật. B. Hình thoi. C. Hình bình hành. D. Hình vuông.
Từ giả thiết M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, DF, FC, CA ta suy ra: MN là đường trung bình của ΔADF và PQ là đường trung bình của ΔACF và Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình bình hành. Mặt khác D là giao điểm của hai đường cao AB và FE trong tam giác AFC suy ra CD là đường cao còn lại
Nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. ΔFEC vuông tại E và có Xét hai tam giác ABF và CBD có: BF = BD (cmt)
Do đó MNPQ là hình vuông. Đáp án: D. |
