Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng lớp 9

Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có các phương pháp sau .....

Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có các phương pháp sau .....

Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

I . Phương pháp chứng minh :

    Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

Phương pháp 1 : Sử dụng tính chất góc bẹt

+ ) Chứng minh $\widehat{ABC}$ = $180{}^\circ$

=>A, B, C thẳng hàng .

Phương pháp 2 : Sử dụng tiên đề Ơclit

     Chứng minh hai đoạn thẳng, tạo thành từ 3 điểm đã cho, cùng song song với một đường thẳng nào đó.

     Chẳng hạn chứng minh :

       AM//xy và BM//xy => A, M, B thẳng hàng ( tiên đề Ơclit ).

Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất của hai đường thẳng vuông góc

     Chẳng hạn chứng minh :

    Chứng minh : + Tia OA và OB cùng là tia phân giác của $\widehat{xOy}$

                             + Tia OB là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$

=>A , O , B thẳng hàng ­­

       Chứng minh H , I , K cùng thuộc đường trung trực của AB

=>H , I , K thẳng hàng

           Chứng minh : +) I là trọng tâm của ∆ ABC

                                     +) AD là trung tuyến của ∆ ABC

=>A , I , D thẳng hàng

+ ) Tương tự đối với ba đường cao , phân giác , trung trực trong tam giác.

II . Bài tập áp dụng :

Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA ( tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC ) . Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng .

                                        Giải

                  AB = CD  ( đối đỉnh )

                $\widehat{MAB}=\widehat{MCD}=90{}^\circ $

                 MA = MC ( M là trung điểm AC )

=>$\Delta AMB$= $\Delta CMD$ (c.g.c)

=>$\widehat{AMB}$=$\widehat{CMD}$ ( hai góc tương ứng )

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{BMC}=180{}^\circ $ ( Kề bù )     

nên $\widehat{BMC}+\widehat{CMD}=180{}^\circ $

      Vậy ba điểm B, M, D thẳng hàng

Bài 2 : Cho tam giác ABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên các tia BM, CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.

                          Giải

       BM = DM

      \[\widehat{BMC}=\widehat{DMA}\]  ( đối đỉnh )

       AM = CM

=>\[\Delta BMC=\Delta DMA\,\,(c.g.c)\]

=>\[\widehat{ACB}=\widehat{DAC}\] mà hai góc ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)

Tương tự ta có : \[\Delta EAN=\Delta BNC\,\,\,(c.g.c)\]  => \[\widehat{EAN}=\widehat{NBC}\]mà hai góc ở vị trí so le trong nên AE // BC (2)

Từ (1),(2) ta có : Điểm A nằm ngoài BC , theo tiên đề Ơ-clit ta có một và chỉ 1 đường thẳng song song với BC qua A => Ba điểm E, A, D song song.

Bài 3 : Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Vẽ AH vuông góc BC ( H \[\in \]BC). Trên đoạn DE lấy điểm K sao cho BH = DK. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng .

   Hướng dẫn giải :

+) Chứng minh \[\Delta ABH=\Delta ADK\,\,(c.g.c)\]

=>AK // BC

Mà AH \[\bot \]BC nên ta có ba điểm K, A, H thẳng hàng .

III. Bài tập tự luyện :

Bài 1 : Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng .

Bài 2 : Cho ba tam giác cân ABC, DBC và EBC có chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Bài 3 : Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Trên AM lấy điểm P, Q sao cho AQ = PQ = PM. Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm B, P, E thẳng hàng.

Bài 4 : Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường cao BH và CK cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh A, I, M thẳng hàng.

Bài 5 : Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng .

Bài 6 : Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC ( H và K thuộc BC). Gọi M là trung điểm HK. Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.

Bài 7 : Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng .

Bài 8 : Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.

Bài viết gợi ý: