Tính chất 1: Cho hàm số y  f  x  ;y  g x  xác định trên Dàm sô y  f  x  ;y  g x  cùng

đồng biến (nghịch biến )trên D, thì hàm y  f  x  g x cũng đồng biến (nghịch biến )trên D.

Tính chất 2: Cho hàm số y  f  x ;y  g x  xác định trên D. Hàm sô y  f  x  ;y  g x  là các

hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến )trên D, thì hàm y  f  x  .g x cũng đồng biến

(nghịch biến )trên D.

Tính chất 3: Cho hàm số u  u x  xác định mọi x   a b ; vàu x     c d ; . Hàm số y  f u  x

xác định x   a b ; khi đó

+ Hàm số u  u x  đồng biến trên khoảng  a b ; . Khi đó hàm y  f u  x đồng biến mọi

x   a b ; khi và chỉ khi y  f  uđồng biến mọiu   a b ; .

+ Hàm số u  u x  nghịch biến trên khoảng  a b ; . Khi đó hàm y  f u  x nghịch biến mọi

x   a b ; khi và chỉ khi y  f  unghịch biến mọiu   a b ; .

Tính chất 4: Cho hàm số y  f u  x với u  u x  . Khi đó ta có y &

039;  u &

039;  x . f &

039;u x  

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số g  x   f u  x khi biết tính chất của hàm số y  f  x.

Phương pháp :

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x , g   x   u   x  .f u  x.

Bước 2: Tìm nghiệm  

 

 

0

0

0

u x

g x

f u x

  

   

   



. Lập BBT của hàm g  x   f u  x

Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  xliên tục trên có đồ thị như hình vẽ sau

Tìm khoảng đơn điệu hàm số g x   f  5 1  sin x 4 trên khoảng    2 ;2 

Lời giải

Tóm tắt cách giải:

Bước 1: Tìm đạo hàm

5cos

( ). &

039;(5 1 sin 4)

5 1 sin

x

g x f x

x

   



Bước 2: Xét dấug &

039;  x . Ta có    

4 4

&

039; 0 &

039; 0

1 1

x u

f x f u

x u

     

     

   

. Vì vậy ta tìm

nghiệm của phương trìnhf &

039;  u  0 trên   2 ; 2  , rồi lập BBT của y f  u

Lời giải chi tiết :

Ta có :

 

cos 0

5cos

( ). &

039;(5 1 sin 4) ( ) 0 5 1 sin 4 4

5 1 sin

5 1 sin 4 1

cos 0

2

sin 1 0

sin 0 2

2

x

x

g x f x g x x

x

x

x k

x

x L

x x k







 



            

 

   

  

 

 

     

     

 

Do    

3

2 ; 2 &

039; 0 0; ; ; ;

2 2

x g x x

 

   

 

         

 

Ta có bảng biến thiên của hàm g x   f  5 1  sin x 4 

Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  xcó đạo hàm trên và bảnng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau:

Tìm m để hàm số  

3

y  f x  4 x  m nghịch biến trên khoảng   1;1 ?

Lời giải

Tóm tắt cách giải:

Bước 1: Tìm đạo hàm

             

g  x  3 x 2  4 f  x 3  4 x  m ; g  x  0   x 1;1  f  x 3  4 x  m  0   x 1;

Bước 2: Đặt

3

t  x  4 x  m. Tìm khoảng giá trị của t   ; khi x    1;1 bằng phương pháp

lập BBT của hàm  

3

h x  x  4 x  m. Chuyển bài toán tìm điều kiện    

3

f  x  4 x  m  0   x 1;

thành bài toán tìm điều kiện f &

039;   t  0  t  m  5; m  5   m 3

Lời giải chi tiết:

Vẽ parabol 2

####### y   x  x và đồ thị hàm số f   xtrên cùng một hệ trục

####### Dựa vào đồ thị ta thấy   2

0 1 3 1 1 2 1 3 1 1 3 2 3 1 2 3 x t x f t t t t x x t x x                                        .

####### Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  xcó đạo hàm f   x    x  1  ex. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số m trong   2021; 2021 để hàm số    

2

g x  f ln x  mx  4 mx 2 nghịch biến trong  e e ; 2021 .

Lời giải Tóm tắt cách giải.

####### Bước 1: Tìm    

1 g x f ln x 2 mx 4 m x

#######     . Dựa vào công thức y  f &

039;  xta tìm công thức của

####### f   lnx, sau đó đưa hàm y  g &

039;  xvề hàm không chứa hàm hàm hợp.

Bước 2: Tìm điều kiện tham số để    

2021 g  x  0  x e e; thep phương pháp cô lập m Lời giải chi tiết.

####### Ta có       ln

1 1 g x f ln x 2 mx 4 m ln x 1 e x 2 mx 4 m ln x 1 2 mx 4 m x x             

Hàm số nghịch biến trong khoảng  e e ; 2021 khi và chỉ khi ln x  1  mx  4 m  0,  x  e e; 2021 

 

2 ln 1 , ; 2021 2 x m x e e x       .

Xét hàm số    2021 

ln 1, ; 2 x g x x e e x    

####### Ta có  

#######  

#######    

 

2021 2 2 1 1 ln 1 1 ln , ; 2 2 x x x x x g x x e e x x x          

   

2021 g  x  0,  x e e,

BBT Quan sát bảng biến thiên ta có 2 1 2 2 2 2 m m m e e        . Vậy có 2020 giá trị nguyên của tham số m.

####### Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  xlà hàm đa thức có đồ thị hàm số y  f   x như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m , m  Z ,  2021  m 2021 để hàm số

   

2 2 2 8 6 3 g x f x mx x x          

####### đồng biến trên khoảng   3;0

Lời giải Tóm tắt cách giải.

Bước 1: Tìmg   x   2 xf  x 2   4 mx x 2  2 x 3 . Hàm số g  x đồng biến trên khoảng   3;0 suy

####### ra g   x   0,   x  3;0 .

Bước 2: Tìm điều kiện tham số m để

 

 

#######  

2 2 2 2 3 , 3; f x m x x x         . Tìm giá trị lớn nhất  

 

 

2 3;0 2 3 3 max 2 2 3 8 8 f x m  x x          Lời giải chi tiết.

Ta cóg   x  2 xf   x 2   4 mx x 2  2 x 3 .

####### Hàm số g  x đồng biến trên khoảng   3;0 suy ra g   x   0,   x  3;0 .

           

2 xf  x 2  4 mx x 2  2 x  3  0,   x 3;0  f  x 2  2 m  x 2  2 x  3  0,   x 3;

####### A. Hàm số g  x nghịch biến trên    ; 2  B. Hàm số g  x đồng biến trên  2;

####### C. Hàm số g  x nghịch biến trên   1;0  D. Hàm số g  x nghịch biến trên  0; 2

####### Câu 4. Cho hàm số y  f  xliên tục trên có f   2   0. Đồ thị hàm sốy  f &

039;  x như hình vẽ

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số y  f  1  x 2 nghịch biến trên    ; 2 .

B. Hàm số y  f  1  x 2 đồng biến trên    ; 2 .

C. Hàm số y  f  1  x 2 nghịch biến trên   1;0 .

4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là f   2 . Câu 5. Cho hàm số f  ( ) x có bảng xét dấu như sau:

Hàm số  

2 y  f x  2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

####### A.   2;1 . B.  1;3. C.  0;1. D.   2;  1 .

####### Câu 6. Cho hàm số y  f  xcó đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số y  f &

039;  xnhư hình bên.

Hỏi hàm sốg  x  f  x 3  3 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

####### A.  3; B.

1 ; 2       

####### C.  1;3 D.  0; 2

####### Câu 7. Cho hàm số y  f  xcó đồ thị hàm đạo hàm y  f   x như hình vẽ. Hàm số

g  x  f  3  xnghich biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

####### A.   1;0 . B.   ;2 . C.  0; 2. D.  2;6 .

####### Câu 8. Cho hàm số y  f  xcó đạo hàm liên tục trên. Biết hàm số y  f   x có đồ thị như hình

vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyênm   5;5 để hàm số g x    f  x  mnghịch biến trên

####### khoảng  1; 2 . Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

1. 3. B. C. 5. D. 7.

####### Câu 9. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên là f   x    x  1  x 2 . Có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số m thuộc đoạn   10;10 để hàm số  

2

####### y  f x  4 x  m nghịch biến trên khoảng  0; 2?

1. 15. B. 17. C. 16. D. 18.

Câu 10. Cho hàm số f  x có đạo hàm f   x    x  1  x  1  x  4 ;  x .Có bao nhiêu sốnguyên m  2021 để hàm số  

2 1 x g x f m x          

đồng biến trên  2;   .

1. 2018. B. 2019. C. 2020. D. 2021

####### Câu 11. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên là f   x   x  1  x 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số m thuộc đoạn   10;20 để hàm số y  f  x 2  3 x  mđồng biến trên khoảng  0; 2?

1. 18. B. 17. C. 16. D. 20.

####### Câu 12. Cho hàm số y  f  xcó đạo hàm liên tục trên .và có bảng xét dấu như sau

1. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Câu 18. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trong khoảng  0;   và có bảng xét dấu đạo hàm Hàm số     2 g x  f  ln x 1    đồng biến trong khoảng nào sau đây?

A.  

1; e 3 . B. 3 1 1 ; e e       . C.  0;1. D. 2 1 1 ; e e       .

Câu 19. Cho hàm số    

f x   x 4  4  m 2 x  2020

####### và  

g x   x 3  5 x 2  2020 x  2021 . Có bao

####### nhiêu giá trị nguyên dương của m để h x    g  f  x đồng biến trên  2; .

1. 13. B. 12. C. 7. D. 6.

####### Câu 20. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục và f &

039;  x    x  1  ex,có bao nhiêu giá trị nguyên của

####### tham sốm   2021;2021 để hàm số    

2

g x  f ln x  mx  mx 2 nghịch biến trên khoảng  1;e 2 

1. 2020. B. 2021. C. 2022. D. 2019. Câu 21. Cho hàm số y  f x( )liên tục trên R có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

####### Hàm số  

y  3 f 2 x  1  4 x 3  15 x 2  18 x 1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây

####### A.  3;. B.

3 1; 2       . C. 5 ; 2       . D. 5 2; 2       .

####### Câu 22. Cho hàm số f  x có bảng xét dấu của f &

039;  x như sau:

Hàm số   3

1 2 3 5 1 3 x x x x y  f  e  e  e  e  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 3 0; 2      

. B.  1;3 . C.   3;0 . D.   4;  3 .

Câu 23. Cho hàm số y  f x( )có đạo hàm trên và hàm số y  f &

039;( )x có đồ thị như hình vẽ. Hàm

số ( ) 1 ln  2 8 16 

2 x g x f x x           đồng biến trên khoảng nào?

####### A.   1;0 . B.  2;3. C.   1;1 . D.

1 0; 2       . Câu 24. Cho hàm số y  f x ( )liên tục trên R và có dấu đạo hàm f &

039;( )x như sau: Xét hàm số g x ( )  12 f ( x 2 )  2 x 6  15 x 4  24 x 2  2021 . Khẳng định đúng là A. Hàm số g x ( ) đồng biến trên (2; ) C. Hàm sốg x ( ) đạt cực đại tại x  0 B. Hàm sốg x ( ) nghịch biến trên ( 2; 1). D. Hàm sốg x ( ) có 2 điểm cực tiểu

####### Câu 25. Cho hàm số f  x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

####### Hàm số y  f  x  1   x 3  12 x 2019 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

####### A.  1;   . B.  1; 2 . C.   ;1. D.  3;4 .

####### Câu 26. Cho hàm số f  x có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

####### Hàm sốy  2 f  1  x  x 2  1  xnghịch biến trên những khoảng nào dưới đây

####### A.    ; 2 . B.   ;1. C.   2;0 . D.  3;  2 .

Câu 27. Cho hàm số bậc bốn y  f x( )có đồ thị của hàm số y  f ( )x như hình vẽ bên. Hàm số y  3 f ( )x  x 3  6 x 2  9 xđồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A.  0; 2. B.   1;1 . C.  1;  . D.  2;0 .

Hàm số  2  4

9 ( ) 3 1 3 2 g x  f x   x  x đồng biến trên khoảng nào dưới đây. A. 2 3 3 ; 3 3           . B. 2 3 0; 3      

####### . C.  1; 2. D.

3 3 ; 3 3          .

####### Câu 33. Cho hàm số f  x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

####### Hàm số  

23 2 1 8 5 3 y  f x   x  x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.    ; 2 . B.  1; . C.   1;7 . D. 1 1; 2        . Câu 34. Cho hàm số y f x có 2 f &

039;( )x ( x 3)( x 4)( x 2) ( x 1), x .. Hàm số 4 3 52 ( ) ( ) 4 4 4 3 x x y g x f x x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ;1 B. 1; 2. C. 3;5. D. 3 0;. 2

####### Câu 35. Cho hàm số y  f  xcó đạo hàm  

2 2 1 x f x x     ,  x. Có bao nhiêu số nguyên m

####### thuộc khoảng   20;20 để hàm sốg x    f  x  1   mx 1 đồng biến trên?

1. 20. B. 19. C. 17. D. 18.

####### Câu 36. Cho hàm số f  x xác định và liên tục trên và có đạo hàm f   xthỏa mãn

####### f   x    1  x  x  2  g x  2019 vớig x   0 ,  x. Hàm số y  f  1  x  2019 x 2020

nghịch biến trên khoảng nào?

####### A.  1;  . B.  0;3 . C.   ;3 . D.  3;   .

####### Câu 37. Cho hàm số y  f  xxác định trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Biết f  x  2, x . Xét hàm số     

g x  f 3  2 f x  x 3  3 x 2  2020 . Khẳng định nào sau đây đúng?

####### A. Hàm số g  x đồng biến trên khoảng   2;  1 .

####### B. Hàm số g  x nghịch biến trên khoảng  0;1.

x y O - 3 3 -

####### C. Hàm số g  x đồng biến trên khoảng  3; 4 .

####### D. Hàm số g  x nghịch biến trên khoảng  2;3.

Câu 38. Cho hàm số 4 3 2

y  ax  bx  cx  dx  e a,  0. Hàm số y  f &

039;  x có đồ thị như hình

vẽ

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng   6; 6  của tham số m để hàm số

     

2 2

g x  f 3  2 x  m  x  m  3 x  2 m nghịch biến trên  0;1 . Khi đó, tổng giá trị các

phần tử của S là A. 12. B. 9. C. 6. D. 15.

Câu 39. Cho hàm sốy f  x có đạo hàm liên tục trên và có đồ thịy f   x  như hình vẽ bên.

Đặt      

1 2 1 2019 2 g x  f x  m  x  m   , với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các giá trị

nguyên dương của m để hàm sốy g x  đồng biến trên khoảng  5 6; . Tổng tất cả các phần tử

trong S bằng: A. 4. B. 11. C. 14. D. 20.

####### Câu 40. Cho hàm số y  f  xliên tục có đạo hàm trên. Biết hàm số f &

039;  x có đồ thị cho như

hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc   2019;2019 để hàm só

   2019  2

g x  f x  mx đồng biến trên  0;1 A. 2028. B. 2019. C. 2011. D. 2020

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m đề hàm số g x ( )  4 f x(  m)  x 2  2 mx 2021 đồng biến trên khoảng( 1 ; 2 ). A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

####### Câu 46. Cho hàm số y  f  xcó đạo hàm liên tục trên. Hàm số y  f &

039;  xcó đồ thị như hình vẽ.

Số tham số m nguyên thuộc đoạn   20;20 để hàm số g  x nghịch biến trên khoảng   1; 2 biết

       

3 3 2 3 g x  3 f  x  3 x  m  x  3 x  m  2 x  6 x  2 m 6. A. 23. B. 21. C. 5. D. 17.

Câu 47. Cho hàm sốy f  x liên tục trên R và có             

3 4 5 f x x. x 1. x 1. x 4.

Giá trị của tham số m để hàm số       

2   2  1 1 1 y g x f x x mx m luôn đồng biến trên

 3; 0 .A    2;  1 . B     ; 2 . C    1;0. D  0;

Câu 48. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên. Bảng biến thiên của hàm số như sau: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.. B.. C.. D.. y f x ( ) R f &

039;( )x g x f 1 x 2 x 3 x 3 x 25 1 0; 3      

#######  ;0 

2 0; 3       2 ; 3      

Câu 49. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên và f   1  1. Đồ thị hàm số y  f   x như hình bên.

####### Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số y  4 f  sin x  cos 2x  a nghịch biến trên 0; 2

      ? A. 2. B. 3. C. Vô số. D. 5.

####### Câu 50. Cho hàm số y  f  xxác định và liên tục trên ,có đồ thị f &

039; x như hình vẽ.

####### Có bao nhiêu giá trị nguyên củam   10;10 để hàm số

#######  

3 1 (2 1)( 4 2 2 2019) 2 x g x f m x x            đồng biến trên khoảng  0;  ? A. 8. B. 9. C. 11. D. 10. Câu 51. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như sau:

Hàm số      

3 2 y  f x  3. f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  1; 2 . B.  3 ; 4. C.   ; 1. D.  2 ; 3.

Hàm số 3 ( ) ( 7) (5 1) 4 2 k x f x g x h x             đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 5 ; 8        . B. 5 ; 8       . C. 3 ; 8       . D. 3 ; 8        .

####### Câu 56. Cho hàm số y  f  xcó đạo hàm f &

039;  x  4 x 3  2 xvà f  0   1àm số

   

g x  f 3 x 2  2 x 3 đồng biến trên khoảng nào dưới đây

####### A.   1; 2 . B.   1;0 . C.  1; . D.    ; 1 .

####### Câu 57. Cho hàm bậc ba y  f  xcó đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số

#######  

2 y   xf x 1  là

####### A.   1; 2 . B.  3; . C.  1; . D.    ; 1 .

####### Câu 58. Cho hàm số y  f  xcó bảng biến thiên như sau

####### Hàm số    

2 g x   f 3 x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

####### A.   2;5 . B.  1; 2 . C.  2;5. D.  5;   .

####### Câu 59. Cho hàm số y  f  xliên tục trên và thoả mãn f   2   10 , f  4   1000. Biết

####### y  f  xcó đồ thị như hình vẽ dưới đây.

####### Hàm số y  g x    f 2  x   2020 f  xđồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

####### A.   2;1 và  4;  . B.  1; 2  và  4;  .

####### C.    ; 2 và  4; . D.    ; 2 và  1;3 .

####### Câu 60. Cho hàm số f  x xác định và có đạo hàm trên. Hàm số f   xcó bảng biến thiên như

sau:

Hàm số          

1 5 4 3 4 2021 5 3 g x  f x  f x  f x  luôn nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

####### A.   ;5 . B.   ;1 . C.  1; . D.    ; .

####### Câu 61. Cho hàm số y  f  xlà một đa thức bậc 6 có đồ thị của f   x như hình vẽ. Hỏi hàm số

Xét tính đơn điệu của hàm số là gì?

Tính đơn điệu của hàm số là một thuộc tính quan trọng để nghiên cứu sự biến đổi của hàm số trên một khoảng cụ thể. Một hàm số được coi là đơn điệu trên một khoảng nào đó nếu giá trị của hàm này luôn thay đổi theo cùng một hướng khi biến đổi độc lập của biến đầu vào trên khoảng đó.

Hàm số không đơn điệu khi nào?

- Hàm không giảm hoặc không tăng đơn điệu: hàm số được gọi là hàm không giảm đơn điệu nếu với mọi cặp giá trị x1 và x2 sao cho x1 < x2 thì f(x1) f(x2) điều này có nghĩa là giá trị hàm số không giảm hoặc không giảm khi giá trị đầu vào tăng . Ví dụ hàm số F(x) = x² và một hàm không giảm đơn điệu.

Tính đơn điệu của hàm số lượng giác là gì?

Tính đơn điệu của hàm số lượng giác là việc xác định sự tăng hoặc giảm của hàm số lượng giác trên một khoảng xác định.

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi nào?

Đồng biến: Một hàm số được gọi là đồng biến trên một khoảng xác định nếu giá trị của hàm số tăng khi biến số tăng trong khoảng đó. Trong trường hợp của hàm số lượng giác, chẳng hạn sin(x), khi x tăng thì giá trị của sin(x) cũng tăng. Ví dụ: Trong khoảng (0; π/2), hàm số y = sin(x) là một hàm số đồng biến.