Cho hàm số = . Khi đó: - Nếu = > 0 thì tốc độ tăng của tại = là , tức là: với mỗi đơn vị của thì tăng đơn vị. - Nếu = − < 0 thì tốc độ giảm của tại = là , tức là: với mỗi đơn vị của thì giảm đơn vị.
- Tốc độ thay đổi của theo là = (hay = ).
Ví dụ 1. Trong chiến dịch quảng cáo kéo dài 1 tháng, tổng doanh số bán hàng của một tạp chí được cho bởi hàm = 5 + 100 + 10000 ở đây là số ngày của chiến dịch, 0 ≤ ≤ 30. Tính 10 và giải thích ý nghĩa.
a
Ví dụ 3. Tổng chi phí và doanh thu khi sản xuất và bán sản phẩm được cho bởi = 62 + 27500 và = − 12 + 40 + 10. a) Tìm tổng lợi nhuận, . b) Tìm tổng chi phí, doanh thu và lợi nhuận từ việc sản xuất và bán 50 sản phẩm. c) Tính 50 , 50 và 50. Từ đó dự báo chi phí, doanh thu và lợi nhuận khi sản xuất và bán được sản phẩm thứ 51.
Ý nghĩa đ o hàm trong kinh tếếạ Đ o hàm và giá tr biến tếế trong kinh tếế:ạ ị Cho mô hình hàm số y=f(x) , x và y là các biến kinh tế X: biến độc lập hay biến đầu vào Y: biến phụ thuộc hay biến đầu ra Trong kinh doanh , ta quan tâm đến xu hướng thay đổi của y, khi x thay đổi một lượng nhỏ với định nghĩa đạo hàm trong toán cơ bản ta có :
vậy đạo hàm biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi của biến số y khi biến số x tăng thêm một đơn vị với quan hệ hàm y= f(x) , để mô tả sự thay đổi của biến kinh tế y , khi biến kinh tế x thay đổi, ta gọi f’() là giá trị biên tế y tại ( còn gọi là biên tế) Với mỗi hàm kinh tế , ta có một tên gọi riêng Thí dụ: a. Với hàm doanh thu : TR=p thì được gọi là doanh thu biên tế b. Với hàm chi phí : TC=f(x) , x: sản lượng thì = : chi phí biên tế c. Với hàm sản xuất : Q=f(L) , L: lao động thì = : sản lượng biên tế Một số bài toán ứng dụng trong sản xuất kinh doanh 1. Bài toán giá trị biên a. Sản lượng giá trị biên ( marginal quantity), kí hiệu MQ: Là số đo đại lượng thay đổi của sản lượng khi lao động ha vốn tăng lên 1 đơn vị
Nhận xét: MQ là một hàm số giảm dần , đến một số luongjw công nhân nhất định nào đó , việc tuyển thêm công nhân không còn hiệu quả , chỉ tăng thêm chi phí b. Sự thay đổi của giá theo cầu:
Là số đo sự thay đổi của giá khi mức sản lượng tăng lên đơn vị
- Chi phí biên ( marginal cost) , kí hiệu MC : Hàm chi phí : TC= TC(Q) Chi phí biên là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí khi sản lượng Q tăng lên 1 đơn vị
Nhận xét : - Chi phí biên là một hàm tăng - Sản lượng sản xuất càng lớn thì chi phí biên càng lớn d. Doanh thu biên( marginal revenue) , kí hiệu MR: Xét hàm doanh thu TR= P ( P: giá , Q: sản lượng ) Nếu : Q do thị trường quyết định , P do doanh nghiệp quyết định , thì MR hay giá trị cận biên của doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi ủa doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị Nếu : Q do doanh doanh nghiệp quyết định , P do thị truonhgfw quyết định thì MR hay giá trị cận biên của doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi của doanh thu khí giá tăng 1 đơn.
NG DNG CA ĐO HÀMTRONG PHÂN TÍCH KINH T
Phm Đình ĐngNgày 08 tháng 08 năm 2008
Tài liu
[1] Laurence D. Hoffmann, Gerald L. Bradley,
Calculus
, McGrall-Hill,2004.[2] Lê Đình Thúy,
Toán cao cp cho các nhà kinh t
(Phn 2, Gii tíchtoán hc), NXB Thng kê, 2004.1
1 Phân tích cn biên
1.1 Mt s hàm s kinh t thưng gp
Mt s mô hình hàm kinh t là
hàm chi phí, hàm doanh thu, hàm li nhun, hàm chi phí bình quân
...Vi mc sn xut
x
, ta có
•
Hàm chi phí:
C
(
x
)
•
Hàm doanh thu:
R
(
x
)
•
Hàm li nhun:
P
(
x
) \=
R
(
x
)
−
C
(
x
)
•
Chi phí bình quân:
AC
(
x
) \=
C
(
x
)
x
•
Hàm cu theo giá:
Q
d
\=
f
(
p
)
,
p
là giá mt đơn v sn phm.
1.2 Đo hàm và giá tr cn biên trong kinh t
Khi xét đn mô hình hàm chi phí, ngưi ta thưng quan tâm đn chiphí tăng thêm khi sn xut thêm mt đơn v sn phm t
x
0
lên
x
0
+ 1
.Các nhà kinh t gi nó là chi phí cn biên ti đim
x
0
.Theo đnh nghĩa đo hàm ta có
f
(
x
0
) \= lim
∆
x
→
0
∆
y
∆
x
\= lim
∆
x
→
0
f
(
x
0
+ ∆
x
)
−
f
(
x
0
)∆
x
Khi
∆
x
có giá tr tuyt đi đ nh ta có
∆
y
∆
x
\=
f
(
x
0
+ ∆
x
)
−
f
(
x
0
)∆
x
≈
f
(
x
0
)
.
Suy ra
∆
y
\=
f
(
x
0
+ ∆
x
)
−
f
(
x
0
)
≈
f
(
x
0
)
.
∆
x
Khi
∆
x
\= 1
ta có
∆
y
≈
f
(
x
0
)
.Vy
f
(
x
0
)
biu din xp x lưng thay đi giá tr ca
y
khi
x
tăng thêmmt đơn v. Trong kinh t ngưi ta gi
f
(
x
0
)
là giá tr
y
−
cn biên ca
x
ti
x
0
.Đi vi mi hàm kinh t, mi giá tr cn biên có tên gi riêng.2
•
MR
\=
R
(
Q
)
: Doanh thu cn biên.
•
MC
\=
C
(
Q
)
: Chi phí cn biên.
•
MP
\=
P
(
Q
)
: Li nhun cn biên.
Ví d
1
.
Mt nhà sn xut camera ưc tính khi
x
(trăm) camera đưcsn xut thì tng li nhun thu đưc s là
P
(
x
) \=
−
0
,
0035
x
3
+ 0
,
07
x
2
+ 25
x
−
200
ngàn đôla.1. Tìm
MP
.2. Tính
MP
khi
x
\= 10
,
x
\= 50
,
x
\= 80
.3. Gii thích các kt qu này.
Gii.
1.
MP
\=
P
(
x
) \=
−
0
,
0105
x
2
+ 0
.
14
x
+ 25
2.
P
(10) = 25
,
35
,
P
(50) = 5
,
75
,
P
(80) =
−
31
.3.
P
(10) = 25
,
35
, nghĩa là li nhun tăng xp x 25,35 ngàn đôla khimc sn xut tăng t
10
lên
11
trăm camera.Nhiu quyt đnh kinh t đưc đưa ra khi phân tích
MC
,
MR
. Mtquy tc cơ bn là
•
Nu
MP \>
0
thì tăng sn xut là có li.
•
Nu
MP <
0
thì gim sn xut là có li.Điu này đưc gii thích như sau: Gi s mc sn xut hin ti là
x
\=
a
.Nu
P
(
x
)
kh vi ti
a
thì theo đnh nghĩa đo hàm
P
(
a
) = lim
x
→
a
P
(
x
)
−
P
(
a
)
x
−
a
Do đó khi
x
đ gn
a
, đo hàm và thương
P
(
x
)
−
P
(
a
)
x
−
a
cùng du.Bây gi ta mun chn
x
đ tăng li nhun, tc là
P
(
x
)
\> P
(
a
)
. Khi đó
P
(
a
)
là cùng du vi
x
−
a
. Do đó ta kt lun, vi
x
gn
a
:
•
P
(
a
)
\>
0
.
P
(
x
)
\> P
(
a
)
khi
x \> a
, tc là tăng sn xut thì tăng linhun.
•
P
(
a
)
<
0
.
P
(
x
)
\> P
(
a
)
khi
x < a
, tc là gim sn xut thì tăng linhun.3