Bài toán thực tế về phương trình bậc hai

Đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng được cái gì qua việc học. Để đảm bảo được điều đó, phải thực hiện chuyển từ phương pháp dạy học theo lối "truyền thụ một chiều" sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành năng lực và phẩm chất ở người học. Việc giảng dạy bộ môn toán cũng phải đổi mới theo xu hướng đó.

Trong chương trình toán THPT, nội dung hàm số là một nội dung rất quan trọng, xuất hiện xuyên suốt trong chương trình toán ở cả lớp 10, lớp 11 và lớp 12. Tuy nhiên khi mới bước vào lớp 10 học sinh đã phải làm quen ngay với khái niệm hàm số bậc nhất, bậc hai, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Từ thực tế giảng dạy nhiều năm, tôi nhận thấy học sinh gặp khó khăn trong việc tiếp nhận và vận dụng kiến thức hàm số bậc nhất, bậc hai, thậm chí nhiều học sinh còn tỏ ra không hứng thú với nội dung này do cảm thấy mới lạ, trừu tượng, khó hiểu.

Với tinh thần đổi mới để nâng cao hiệu quả giảng dạy, với mong muốn giúp các em học sinh lớp 10 nắm vững kiến thức cơ bản về hàm số bậc nhất, bậc hai vận dụng linh hoạt vào giải toán nên tôi lựa chon đề tài: " Dạy học vận dụng hàm số bậc nhất, bậc hai vào bài toán thực tế theo định hướng hình thành và phát triển năng lực người học". Hi vọng với đề tài nhỏ này sẽ giúp các bạn đồng nghiệp dạy học hiệu quả hơn, giúp các em học sinh hứng thú hơn trong học tập.

Bạn đang xem tài liệu "Dạy học vận dụng hàm số bậc nhất, bậc hai vào các bài toán thực tế theo định hướng hình thành và phát triển năng lực người học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

 Tư duy và lập luận toán học: So sánh, tổng hợp và rút ra được cách bước giải phương trình bậc hai.  Mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề toán học: mô tả tình huống về khoảng cách bằng nhau, hai người gặp nhau tại một vị trí phù hợp và giải phương trình chứa căn để giải quyết vấn đề thực tế đó.  Giao tiếp toán học.  Sử dụng công cụ, phương tiện học toán: Sử dụng máy tính cầm tay để tính toán giải nghiệm của phương trình bậc hai.

1. Phẩm chất

 Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tôn trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.

 Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

1. Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học, thước thẳng có chia khoảng, phiếu học tập.
2. Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

TIẾT 65:

Ngày soạn: 05/02/ Lớp Ngày giảng Tiết theo TKB Sĩ số 10A 10A 10A A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU)

1. Mục tiêu:

• HS làm quen với phương trình chứa căn thức.

1. Nội dung: HS đọc tình huống mở đầu, dự đoán ban đầu về kiến thức sẽ học của bài.

1. Sản phẩm: HS nhận diện được một phương trình chứa căn thức.

1. Tổ chức thực hiện:

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

• GV đưa ra ví dụ mở đầu: Cho phương trình √𝑥ଶ − 3𝑥 + 2 = √−𝑥ଶ − 2𝑥 + 2

Em hãy suy nghĩ cách giải phương trình này.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắng nghe, tiếp nhận vấn đề được đưa ra, suy đoán về khoảng cách của hai cột góc rào so với bờ tường.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.

• GV cho HS rút ra kết luận về các bước giải

phương trình dạng √𝑎𝑥ଶ + 𝑏𝑥 + 𝑐 =

ඥ𝑑𝑥ଶ + 𝑒𝑥 + 𝑓 và cho HS phát biểu lại.

• HS áp dụng các các bước giải phương trình để làm lại Ví dụ 1 vào vở.
• GV chú ý cho HS phải thay lại giá trị x tìm được vào phương trình ban đầu xem có thoả mãn hay không? (Trong Ví dụ 1 chỉ có 𝑥 = 3 là thoả mãn)
• HS củng cố phương pháp giải thông qua việc làm Luyện tập 1. Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
• HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, hoạt động cặp đôi, kiểm tra chéo đáp án.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

• HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày
• Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

Các bước giải phương trình Để giải phương trình √𝑎𝑥ଶ + 𝑏𝑥 + 𝑐 = ඥ𝑑𝑥ଶ + 𝑒𝑥 + 𝑓, ta thực hiện như sau:

• Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được;
• Thử lại các giá trị x tìm được ở trên có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm. Ví dụ 1 (SGK – tr) Luyện tập 1: a) √3𝑥ଶ − 6𝑥 + 1 = √−2𝑥ଶ − 9𝑥 + 1 ⇔ 3𝑥ଶ − 6𝑥 + 1 = −2𝑥ଶ − 9𝑥 + 1 ⇔ 5𝑥ଶ + 3𝑥 = 0 ⇔ 𝑥(5𝑥 + 3) = 0

⇔ ൥

𝑥 = 0

𝑥 = − 3 5 (𝑇𝑀)

Vậy 𝑆 = ቄ− ଷହ ; 0ቅ

1. √2𝑥ଶ − 3𝑥 − 5 = √𝑥ଶ − 7 ⇔ 2𝑥ଶ − 3𝑥 − 5 = 𝑥ଶ − 7 ⇔ 𝑥ଶ − 3𝑥 + 2 = 0 ⇔ (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) = 0

⇔ ቂ𝑥 𝑥 == 21 (𝐿)

Vậy phương trình vô nghiệm

Hoạt động 2: Phương trình dạng √𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒅𝒙 + 𝒆

1. Mục tiêu:

• HS nhận biết được các bước giải phương trình √𝑎𝑥ଶ + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑑𝑥 + 𝑒

1. Nội dung:

• HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ làm các HĐ2, Luyện tập 2 và đọc các ví dụ xây dựng bài học.

1. Sản phẩm: HS nhận biết và làm được các bài toán liên quan.

1. Tổ chức thực hiện:

HĐ CỦA GV VÀ HS SẢN PHẨM DỰ KIẾN Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: Nhiệm vụ 2: Biến đổi phương trình chứa căn thức về phương trình bậc hai

• GV cho HS đọc nội dung HĐ2 và thực hiện các yêu cầu:
• Bình phương hai vế của phương trình và giải phương trình
• Thử lại các giá trị x tìm được vào phương trình ban đầu xem thoả mãn hay không rồi kết luận
• Phương trình dạng √𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒅𝒙 + 𝒆 HĐ2. a) √26𝑥ଶ − 63𝑥 + 38 = 5𝑥 − 6 ⇔ 26𝑥ଶ − 63𝑥 + 38 = 25𝑥ଶ − 60𝑥 + 36 ⇔ 𝑥ଶ − 3𝑥 + 2 = 0 ⇔ (𝑥 − 2)(𝑥 − 1) = 0

⇔ ቂ𝑥 = 2𝑥 = 1 b) Thử nghiệm ta thấy chỉ có giá trị 𝑥 = 2 là thoả mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm

TIẾT 66:

Ngày soạn: 05/02/

Lớp Ngày giảng Tiết theo TKB Sĩ số 10A 10A 10A Hoạt động 3: Phương trình dạng √𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒅𝒙 + 𝒆 (tiếp theo)

1. Mục tiêu:

• HS rèn luyện được năng lực mô hình hoá toán học, rèn luyện cách giải phương trình chứa căn thức thông qua bài toán thực tiễn.

1. Nội dung:

• HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ làm bài toán vận dụng.

1. Sản phẩm: HS làm được bài toán vận dụng thực tế trong SGK.

1. Tổ chức thực hiện:

HĐ CỦA GV VÀ HS SẢN PHẨM DỰ KIẾN Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

• GV trình chiếu nội dung Vận dung và gợi ý cách làm cho HS:
• Chúng ta mô tả bài toán như Hìn 6:
• Trạm hải đăng ở vị trí A
• Bến Bính ở vị trí B
• Thôn Hoành ở vị trí C
• Đặt 𝑀 = 𝑥 (km) (𝑥 > 0 )
• Phương trình dạng √𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒅𝒙 + 𝒆 Vận dụng:
• Để hai người không phải chờ nhau thì ta có điều gì? (Thời gian chèo thuyền của hai người phải bằng nhau)
• Viết phương trình thời gian chèo thuyền của hai người?
• Bác Việt: √௫మ ସାଵ଺
• Anh Nam: ଽ,ଶହି௫ହ
• Áp dụng phương pháp giải phương trình √𝑎𝑥ଶ + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑑𝑥 + 𝑒 để giải phương trình trong bài. Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
• HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, hoạt động cặp đôi, kiểm tra chéo đáp án. Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
• HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày
• Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

Ta mô tả bài toán như Hình 6:

• Trạm hải đăng ở vị trí A
• Bến Bính ở vị trí B
• Thôn Hoành ở vị trí C Giả sử bác Việt chèo thuyền cập bến ở vị trí M và ta đặt 𝐵𝑀 = 𝑥 (km) (𝑥 > 0). Để hai người không phải chờ nhau thì thời gian chèo thuyền bằng thời gian kéo xe nên ta có phương trình: √𝑥ଶ + 16 4 = 9,25 − 𝑥 5 ⇔ 5ඥ𝑥ଶ + 16 = 37 − 4𝑥 ⇔ 25𝑥ଶ + 400 = 1369 − 296𝑥 + 16𝑥ଶ ⇔ 9𝑥ଶ + 296𝑥 − 969 = 0

⇔ ൥

𝑥 = 3(𝑇𝑀)

𝑥 = − 323 9 (𝐿)

Vậy vị trí 2 người hẹn gặp cách bến Bính 3 km.

Hoạt động 4: Luyện tập và vận dụng

1. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

1. Mục tiêu: HS củng cố lại kiến thức bài học.

1. Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm Bài 6, 6 (SGK -tr27).

1. Sản phẩm: HS giải được các bài toán liên quan đến giải phương trình chứa căn thức.

⇔ ൥𝑥 = 4 3 (𝑇𝑀)

𝑥 = −2(𝐿)

Vậy 𝑥 = ସଷ

1. √2𝑥ଶ + 3𝑥 − 3 = √−𝑥ଶ − 𝑥 + 1

⇔ 𝑥ଶ + 𝑥 − 3 = −𝑥ଶ − 𝑥 + 1

⇔ 2𝑥ଶ + 2𝑥 − 4 = 0

⇔ 2(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0

⇔ ቂ 𝑥 = 1𝑥 = −2 (𝐿)

Vậy phương trình vô nghiệm.

1. √−𝑥ଶ + 5𝑥 − 4 = √−2𝑥ଶ + 4𝑥 + 2

⇔ −𝑥ଶ + 5𝑥 − 4 = −2𝑥ଶ + 4𝑥 + 2

⇔ 𝑥ଶ + 𝑥 − 6 = 0

⇔ (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) = 0

⇔ ൤𝑥 = 2(𝑇𝑀)𝑥 = −3(𝐿)

Vậy 𝑥 = 2

Bài 6.

1. √6𝑥ଶ + 13𝑥 + 13 = 2𝑥 + 4

⇔ 6𝑥ଶ + 13𝑥 + 13 = 4𝑥ଶ + 16𝑥 + 16

⇔ 2𝑥ଶ − 3𝑥 − 3 = 0

⇔ 𝑥 = 3 ± √33 4 (𝑇𝑀)

Vậy 𝑥 = ଷ±√ଷଷ ସ

1. √2𝑥ଶ + 5𝑥 + 3 = −3 − 𝑥

⇔ 2𝑥ଶ + 5𝑥 + 3 = 𝑥ଶ + 6𝑥 + 9

⇔ 𝑥ଶ − 𝑥 − 6 = 0

⇔ (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0

⇔ ቂ 𝑥 = 3𝑥 = −2(𝐿)

Vậy phương trình vô nghiệm

1. √3𝑥ଶ − 17𝑥 + 23 = 𝑥 − 3

⇔ 3𝑥ଶ − 17𝑥 + 23 = 𝑥ଶ − 6𝑥 + 9

⇔ 2𝑥ଶ − 11𝑥 + 14 = 0

⇔ (2𝑥 − 7)(𝑥 − 2) = 0

⇔ ൥𝑥 = 7 2 (𝑇𝑀) 𝑥 = 2(𝐿)

Vậy 𝑥 = ଻ଶ

1. √−𝑥ଶ + 2𝑥 + 4 = 𝑥 − 2

⇔ −𝑥ଶ + 2𝑥 + 4 = 𝑥ଶ − 4𝑥 + 4

⇔ 2𝑥ଶ − 6𝑥 = 0

⇔ 2𝑥(𝑥 − 3) = 0

⇔ ൤ 𝑥 = 0(𝐿)𝑥 = 3(𝑇𝑀)

Vậy 𝑥 = 3

1. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Ta có: 𝐵𝐻ଶ + 𝐶𝐻ଶ = 𝐵𝐶ଶ

⇔ (𝑥 + 2)ଶ + ቀඥ25 − 𝑥ଶ + 8ቁ

ଶ = 169

⇔ 𝑥ଶ + 4𝑥 + 4 + 25 − 𝑥ଶ + 16ඥ25 − 𝑥ଶ + 64 = 169

⇔ 4ඥ25 − 𝑥ଶ = 19 − 𝑥

⇔ 400 − 16𝑥ଶ = 361 − 38𝑥 + 𝑥ଶ

⇔ 17𝑥ଶ − 38𝑥 − 39 = 0

⇔ (𝑥 − 3)(17𝑥 + 13) = 0

⇔ ൥

𝑥 = 3(𝑇𝑀)

𝑥 = − 13 17 (𝐿)

⇒ 𝑆஺஻஼஽ = 𝑆஻ு஼ − 𝑆஺ு஽ = 1 2. 5 − 1 2. 3 = 24 (đ𝑣𝑑𝑡)

Bài 6.

Ta mô hình hoá bài toán trong hình vẽ sau:

Hùng đến vị trí B, Minh đến vị trí A, H là vị trí lề đường mà Minh đi theo hướng vuông góc với đường thẳng BC từ vị trí A.

Giả sử C là vị trí mà Hùng và Minh gặp nhau, đặt 𝐶𝐻 = 𝑥 (𝑥 > 0)

⇒ 𝐶𝐴 = ඥ𝑥ଶ + 50ଶ

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABH vuông tại H:

𝐴𝐵ଶ = 𝐴𝐻ଶ + 𝐵𝐻ଶ

⇔ 200ଶ = 50ଶ + 𝐵𝐻ଶ

⇔ 𝐵𝐻 = 50√15 ⇒ 𝐵𝐶 = 50√15 − 𝑥

Để hai người gặp nhau mà không phải chờ người kia thì thời gian Hùng đạp xe bằng thời gian Minh đi bộ nên ta có phương trình:

√𝑥ଶ + 50ଶ 5 = 50√

− 𝑥

15 ⇔ 3ඥ𝑥

ଶ + 50ଶ = 50√15 − 𝑥

⇔ 9𝑥ଶ + 22500 = 37500 − 100𝑥√15 + 𝑥ଶ

⇔ 8𝑥ଶ + 100𝑥√15 − 15000 = 0

Giải phương trình này ta có nghiệm 𝑥 ≈ 25,4.

Vậy vị trí hai bạn gặp nhau tại điểm C cách điểm H khoảng 25,4 m.

• HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

 Ghi nhớ kiến thức trong bài.  Hoàn thành các bài tập trong SBT  Chuẩn bị bài mới ''Bài tập cuối chương VI".

Thế nào là phương trình bậc hai?

Phương trình bậc hai chỉ chứa lũy thừa của x là các số tự nhiên, bởi vậy chúng là một dạng phương trình đa thức, cụ thể là phương trình đa thức bậc hai do bậc cao nhất là hai.

PT bậc 2 khác 0 khi nào?

– Nếu Δ<0, phương trình đã cho vô nghiệm. Trong trường hợp b = 2b', để đơn giản ta có thể tính Δ' = b'2 – ac, tương tự như trên: – Nếu Δ' < 0 thì phương trình bậc 2 vô nghiệm. – Nếu Δ' = 0 thì phương trình bậc 2 có nghiệm kép x1 \= x2 \= -b'/a.

Bài toán thực tế là gì?

Bài toán thực tiễn là bài toán mà nhu cầu cần thỏa mãn được xuất phát ngay từ trong thực tiễn cuộc sống của con người.

Ax2 bx c 0 là gì?

Cho phương trình sau: ax2+bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x. Công thức nghiệm: Ta gọi Δ=b2-4ac. Khi đó: Δ>0: phương trình tồn tại 2 nghiệm:.