Sau khi phát minh ra bàn cờ , nhà phát minh được Vua cho phép tự chọn phần thương cho mình . Ông ta vốn là một người rất thông minh bèn xin với Vua : với ô thứ nhất xin thưởng 1 hạt thóc , ô thứ hai là 2 hạt , ô thứ 3 xin 4 hạt , và cứ như vậy ô sau xin thưởng số hạt thóc gấp đôi ô trước . Nhà Vua không hiểu biết về số học nên cho đó là phần thưởng rẻ mạt và nhanh chóng đông ý , lệnh cho người giữ kho đếm và mang thóc cho nhà phát minh . Tuy nhiên , khi người giữ kho hơn một tuần tính toán tổng số thóc đã cho nhà Vua thấy không cách nào có thể ban cho nhà phát minh phần thưởng đó .
Người ta ước tính tổng số thóc này nặng hơn 461 tỉ tấn .
Với cách thưởng của nhà vua như vậy thì ở ô cuối cùng của hạt thóc sẽ được viết dưới dạng lũy thừa như thế nào ?
Thế giới quanh ta có nhiều điều kỳ diệu, nhiều lúc trực giác đã đánh lừa tư duy. Dưới đây là 4 bài toán tưởng rất dễ làm trong vài phút nhưng không đơn giản.
1. Bài toán xếp thóc trên bàn cờ Vua
Thế kỷ VI, Vua Ấn Độ định thưởng vàng bạc cho Sêta - người phát minh cờ Vua, nhưng Sêta đã từ chối và muốn được ban thưởng bằng những hạt thóc với cách thức: "Đặt 1 hạt thóc vào ô thứ nhất, ô thứ hai đặt 2 hạt, ô thứ ba đặt 4 hạt,... cứ thế ô sau gấp đôi ô trước và đặt cho đến hết bàn cờ vua 64 ô".
Nhà Vua chấp nhận và không quên mỉa mai rằng Sêta đã để mất cơ hội làm giàu.
Tuy nhiên ngày hôm sau, Vua đã nhận ra sai lầm của mình vì số hạt thóc lớn đến mức kinh hoàng: 1+ 2+ 2 mũ 2 + ... 2 mũ 62 + 2 mũ 63 = 2 mũ 64 - 1 = 18.446.744.073.709.551.615
Số thóc này lớn gấp hàng triệu lần số thóc hiện có của nhà Vua và có thể phủ kín toàn bộ bề mặt trái đất. Biết là không thể đủ thóc ban thưởng nhưng để giữ lời hứa, nhà Vua đã nghe lời nhà thông thái và ra lệnh: "Sêta nhà ngươi hãy tự mình đếm chính xác từng hạt thóc".
Theo tính toán thì phải mất 60.000.000.000 năm để đếm hết thóc và nếu mỗi kho thóc cao 4 m, rộng 10 m thì để chứa hết số hạt thóc đó, chiều dài của các kho này xếp nối tiếp nhau kéo dài tới 300.000.000 km, nghĩa là gấp đôi khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời.
2. Bài toán gấp giấy và kỷ lục Guiness 2002
Hãy thử gấp đôi liên tiếp tờ giấy A4 mỏng manh, bạn sẽ thấy chỉ có thể gấp được tối đa 7 lần! Vì sau lần gấp thứ 8 bạn sẽ phải gấp đôi một cuốn sách dày 256 trang.
Để gấp nhiều hơn, năm 2002, Britney Gallivan - một học sinh trung học ở Mỹ, đã chọn giấy lụa dày 0,1 mm dài 1.219 m và phải mất 8 giờ bò trong một hành lang dài ở trung tâm mua sắm California để gấp đôi liên tiếp 12 lần chiều dài băng giấy. Nữ sinh sau đó được công nhận kỷ lục Guinness thế giới về người gấp một mảnh giấy nhiều lần nhất.
Britney Gallivan gấp băng giấy dài 1.219 m thành 4.096 lớp, xác lập kỷ lục Guiness. Ảnh: Guinessworldrecords
Khi làm tiếp các phép tính chúng ta sẽ thấy được sức mạnh khủng khiếp của phép tính lũy thừa dù chỉ là với cơ số 2 - một số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 1.
Với độ dày của giấy là 0,1 mm thì sau lần gấp thứ n độ dày của giấy sẽ là 2 mũ n x 0,1 mm. Cụ thể hơn, ở lần gấp thứ 12 thì độ dày của giấy cao bằng một chiếc ghế nhưng ở lần thứ 17 thì cao bằng một tòa nhà 2 tầng.
Sau 42 lần gấp, tấm giấy sẽ dày tới 439.800 km - tức lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng (384.400 km). Mỗi lần gấp đôi độ dày của giấy sẽ tăng lên gấp đôi còn bề mặt của giấy sẽ giảm đi một nửa. Khi gấp 51 lần, thoi giấy có độ dài lớn hơn khoảng cách 200 triệu km từ Trái Đất đến Mặt Trời. Và sau 103 lần gấp, sợi giấy siêu siêu nhỏ có chiều dài hơn 100 tỷ năm ánh sáng, tức là lớn hơn cả đường kính của vùng vũ trụ quan sát được có độ phủ khoảng 93 tỷ năm ánh sáng (vận tốc ánh sáng 300.000km/giây).
3. Bài toán con rể chọn của hồi môn năm 2017
Năm 2017, Ấn Độ đăng cai tổ chức Olympic Toán học trẻ quốc tế InIMC lần thứ 19. Biết được nghi lễ hôn nhân Ấn Độ rất khác biệt với các nước, tôi đã tạo ra một bài toán vui cho đội tuyển lớp 6 của Việt Nam khi tập huấn thi InIMC 2007.
Bài toán này vẫn giữ ý tưởng gốc gấp đôi nhưng được sáng tạo để phù hợp với nét cổ truyền trong hôn nhân Ấn Độ đó là "con rể được nhận của hồi môn từ nhà gái".
4. Bài toán về số người lây nhiễm virus SARS-CoV-2
Tháng 3/2020, trong đại dịch Covid-19, tôi đã phổ nhạc một bài thơ của bác sĩ Nguyễn Mạnh Thắng thành ca khúc: "Thế giới cùng chống đại dịch Virus Corona" và một bài toán về tốc độ tăng trưởng của virus SARS-CoV-2 trong cơ thể người.
Đề bài như sau: Một người vừa bị lây nhiễm virus SARS-CoV-2 và cứ sau 3 phút thì mỗi con virus tự nhân đôi thành 2 con virus mới. Giả sử sau 81 phút bị lây nhiễm, cơ thể người có 402.653.184 con virus và bắt đầu phát bệnh thì lúc đầu cơ thể người bị lây nhiễm bao nhiêu con virus SARS-CoV-2 ?
Hướng dẫn giải: Đây là bài toán có cấu trúc ngược lại với 3 bài toán trước. Để giải ta sẽ phân tích 81: 3 =27 và 402.653.184 = 3×2 mũ 27.