Bài tập về xác định diểm thuộc elips năm 2024

LÝ THUYẾT ELIP

Chuyển phương trình ban đầu của Elíp (E) về dạng chính tắc (E): Xét các khả năng:

x2 y 2   1. a 2 b2 y

Trường hợp 1: Nếu a  b , ta đƣợc:

b

B2

 (E) có trục lớn thuộc Ox, độ dài bằng A1 A2  2a chứa hai tiêu điểm

y A1

F1  c, 0  , F2  c, 0  ; F1 F2  2c  0 với c 2  a 2  b2 .

-a

x

O

F1

F2

A2

a

x

 (E) có trục nhỏ thuộc Oy với độ dài bằng B1B2  2b . - b B1

c  Tâm sai e  . a

Trường hợp 2: Nếu a  b , ta đƣợc:

y

 (E) có trục lớn thuộc Oy, độ dài bằng B1B2  2b chứa hai tiêu điểm

b B2

F1  0, c  , F2  0, c  với c 2  b2  a 2 và F1F2  2c  0 .

c A1 -a

 (E) có trục nhỏ thuộc Ox với độ dài bằng A1 A2  2a . c  Tâm sai e  . b

F2

O

A2 a x

- c F1 -b B1

 MF  a  e  x  a  c x M  1 a M  Điểm M  xM , yM    E     MF2  a  e  xM  a  c xM  a

 Đường chuẩn x  

a e

 Phương trình các cạnh cùa hình chữ nhật cơ sở: x   a; y   b (Độ dài hai cạnh là 2a và 2b)  *Trục đối xứng: Ox; Oy  *Tâm đối xứng: O Chú ý: Trong trường hợp phương trình của (E) có dạng:

(E):

( x   )2 ( y   )2 \= 1.  a2 b2

ta thực hiện phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ OI với I(, ) thành hệ trục IXY với công thức đổi trục: x  X    X  x   

 Y  y   y  Y  

ta được: (E):

X2 Y2  1 a 2 b2

từ đó, chỉ ra các thuộc tính của (E) trong hệ trục IXY rồi suy ra các thuộc tính của (E) trong

hệ trục Oxy.

HDedu - Page 1

CHUYÊN ĐỀ 2: XÁC ĐỊNH CÁC THUỘC TÍNH CỦA ELIP

Bài 1.

Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của các elíp có phương

trình sau:

1. Bài 2.

x2 y 2   1. 25 9

3. 4 x 2  9 y 2  36 .

Xác định các đờng cong sau:

1. (E): y 

Bài 3.

2. 4 x 2  9 y 2  1 .

  x  4sin t

2. (E):  , t   ; 2  2   y  2cos t

2 9  x2 3

Tìm tâm sai của Elíp biết:

1. Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dới một góc 600.
2. Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dới một góc 600.
3. Khoảng cách giữa hai đờng chuẩn bằng 2 lần tiêu cự.
4. Khoảng cách giữa hai đỉnh trên hai trục bằng hai lần tiêu cự.

Xác định đỉnh, độ dài các trục, tiêu điểm, tiêu cự , tâm sai của (E):

a)

x2 y 2  1 4 1

Bài 4.

2. 4 x 2  25 y 2  100

Xác định các đỉnh, độ dài trục, tiêu cự, tiêu điểm , tâm sai của elip (E):

1. x 2  2 y 2  18

b)

x2 y 2  1 16 9

CHUYÊN ĐỀ 3: LẬP PHƢƠNG TRÌNH CỦA ELIP

Phuơng pháp: Ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Sử dụng phương trình chính tắc của Elíp(E):

x2 y 2  1 a 2 b2

Từ đó cần tìm a, b (hoặc a 2 , b2 ) bằng cách thiết lập một hệ hai phương trình với ẩn a, b (hoặc a 2 , b2 ).

Cách 2: Sử dụng định nghĩa HDedu - Page 2

Nếu biết hai tiêu điểm F1  x1 , y1  , F2  x2 , y2  và độ dài trục lớn bằng 2a thì ta thực hiện theo các bước: B-íc 1: Lấy điểm M  x, y    E  . B-íc 2: Chuyển MF1  MF2  2a

(1)

thành biểu thức giải tích nhờ: MF12  ( x  x1 )2  ( y  y1 ) 2

(2)

MF22  ( x  x2 )2  ( y  y2 )2

(3)

B-íc 3: Suy ra

MF1  MF2 

MF12  MF22 ( x12  x22 )  ( y12  y22 )  2 x( x1  x2 )  2 y ( y1  y2 )  MF1  MF2 2a

(4)

B-íc 4: Lấy (1) + (4) ta được MF1, rồi thay vào (2) ta sẽ được phương trình của (E).

Chú ý: 1. Cần phải cân nhắc giả thiết của bài toán thật kỹ càng để lựa chọn dạng phương trình thích

hợp. Trong trường hợp khơng có gì đặc biệt, ta ln giả sử Elíp (E) có phương trình: (E):

x2 y 2   1. a 2 b2

2. Trong nhiều trường hợp đặc thù chúng ta còn sử dụng phương pháp quỹ tích để xác phương trình

Elíp hoặc chứng minh tập hợp điểm là Elíp.

Bài 1.

Lập phương trình chính tắc của elíp, biết:

1. Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lợt là 8 và 6.
2. Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.
3. Trục lớn thuộc Oy có độ dài trục lớn bằng 26 và tâm sai e =

Bài 2.

12 .

13

Lập phương trình chính tắc của elíp, biết: 12

1. Elíp đi qua các điểm M(0, 3) và N  3;   5   3 
2. Elíp có một tiêu điểm F1   3;0  và điểm M  1;  nằm trên elíp.  2 

Bài 3.

Cho điểm A(3, 3) và đường trịn (C) có phương trình:

 C1  :  x  1 2  y 2  16 và  C2  : ( x  1)2  y 2  1 . Gọi M là tâm đường tròn (C) di động tiếp xúc với (C1), (C2). Tìm quỹ tích điểm M, biết:

1. (C) tiếp xúc trong với (C1) và tiếp xúc ngoài với (C2).
2. (C) tiếp xúc trong với cả (C1) và (C2). HDedu - Page 3

Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

Bài 4.

1. (E) có độ dài trục lớn là 6 và tâm sai e 

2 3

 4 10  ; 1 

2. (E) có tọa độ một đỉnh là  0; 5  và đi qua điểm M   5   4 33 
3. (E) có tiêu điểm thứ nhất   3;0  và đi qua điểm M  1; . 5  

4. Hình chữ nhật cơ sở của (E) có một cạnh nằm trên đường thẳng y  2  0 và có diện tích bằng 48.
5. (E) có tâm sai bằng

5 3

và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.

Lập phương trình chính tắc của ellip biết:

Bài 5.

1. Độ dài trục lớn bằng 6, tâm sai e 

2 . 3

2. Tiêu điểm F1 (3, 0) , đường chéo của hình chữ nhật cơ sở có độ dài bằng 2 41 .  4   2 
3. Qua điểm P 1,  , Q  2, . 5  5 

5  3

4. Qua điểm M 1,  và MF1  MF2 . 3  2

5. Tâm sai e 

1 và diện tích của hình chữ nhật cơ sở bằng 32 3 . 2

6. Đỉnh trên trục lớn là (5, 0) và đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở co phương trình là x 2  y 2  41  0

Bài 6.

Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

1. Tâm sai bằng x2

y2

4 và đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (E) có phương trình 5

34

2. Độ dài trục lớn bằng 15, ( E) đi qua M sao cho F1MF2

90 và diện tích tam giác MF1F2

bằng 26.

3. (E) đi qua M

3 14 ; 4

2 , tam giác MF1F2 vuông tại M. 4

HDedu - Page 4

4. Tiêu cự bằng 6 và đường tròn nội tiếp tam giác OF2B2 có bán kính bằng 1. ( Với F2 là tiêu

   điểm phải của (E) và B2 đỉnh của (E) có tung độ dương).

   5. (E) có độ dài trục lớn bằng 4 2 , các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của (E) cùng nằm trên một đường trịn.
   6. (E) có một tiêu điểm F1

7; 0 và đi qua M

7. (E) đi qua điểm M 1;

15

và có tiêu cự 4 3 2

8. (E) đi qua hai điểm M 3;

11. (E) đi qua M 1;

4 ,N 5

4;

2;12

3 5

3 2

3 và tâm sai e 2

Lập phương trình của (E) biết:

Bài 7.

5

1. Qua M  2;  và có một tiêu điểm F1  2;0   3

2. Nhận F2  5;0  làm một tiêu điểm và độ dài trục nhỏ bằng 4 6
3. Độ dài trục lớn là 2 5 và tiêu cự bằng 2.
4. Đi qua 2 điểm M  2;  2  ; N   6;1 

ĐS: a)

x2 y 2  1 9 5

b)

x2 y 2

 1 49 24

c)

x2 y 2  1 5 4

d)

x2 y 2  1 8 4

Lập phương trình của (E) biết:

Bài 8.

1. Tổng độ dài hai trục bằng 8 và tâm sai e 

1 2

5 và hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20. 3

2. Tâm sai e 

3. Tiêu điểm F1  2;0  và hình chữ nhật cơ sở có diện tích 12 5

ĐS: a)

x2

8  4 2 

Bài 9.

2



y2

4

2  4

2

1

b)

x2 y 2  1 9 4

c)

x2 y 2  1

9 5

Lập phương trình của (E) biết:

1. Đi qua điểm M   5; 2  và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 10.
2. Tâm sai e 

3 25 và khoảng cách từ tâm đối xứng đến đường chuẩn bằng 5

3 HDedu - Page 5

3. Độ dài trục lớn bằng 10 và phương trình một đường chuẩn là x 

25 4

4. Khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 36 và bán kính qua tiêu điểm M thuộc (E) là 9 và 15. ĐS: a)

x2 y 2  1 15 6

b)

x2 y 2  1 25 16

c)

x2 y 2  1 25 9

d)

x2 y2

 1 144 80

Bài 10.

Lập phương trình của (E) biết:

1. Hình chữ nhật cơ sở nội tiếp đường tròn  C  : x2  y 2  41 và đi qua A  0;5 
2. Hình chữ nhật cơ sở nội tiếp đường tròn  C  : x2  y 2  41 và điểm M  1; 2  nhìn hai tiêu điểm dưới một góc bằng 600 .
3. Một cạnh HCN cơ sở của (E) nằm trên x  5  0 và độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng

7. Tứ giác ABCD là hình thoi có 4 đỉnh trùng với các đỉnh của (E) , bán kính đường trịn nội tiếp hình thoi là

2 và tâm sai e 

1 2

ĐS: a)

x2 y 2  1 16 25

2. Sử dụng công thức F1F2 2  MF12  MF2 2  2MF1.MF2 .cos 600 x2 y2 x2 y2   1 và

 1  43  2 19   20  2 19   43  2 19   20  2 19          3 3

3 3        

c)

x2 y 2

 1 5 4

Bài 11.

d)

x2 y 2  1

14 7 3 2

Lập phương trình của (E) biết:

1. Tứ giác ABCD là hình thoi có 4 đỉnh trùng với 4 đỉnh của (E) . Đường trịn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình:  C  : x 2  y 2  4 và AC  2BD; A  Ox
2. (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và giao của (E) với đường tròn  C  : x2  y 2  8 tạo thành 4 đỉnh của một hình vng.
3. (E) có tâm sai e 

1 và giao (E) với đường tròn  C  : x 2  y 2  9 tại A, B, C, D sao cho 3

AB  3BC .

4. (E) có độ dài trục lớn 4 2 , các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của (E) cùng nằm trên một đường tròn. HDedu - Page 6

ĐS:

a)

c)

x2 y 2  1 20 5 x2 y2  1

729 81 80 80

Bài 12.

b)

d)

x2 y 2  1

16 16 3

x2 y 2  1 8 4

Lập phương trình của (E) biết:

1. Hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành hình vng có diện tích bằng 32.

2. (E) Có đỉnh và hai tiêu điểm tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở là 12  2  3 

3. (E) qua điểm M  2 3; 2  và M nhìn hai tiêu điểm (E) dưới một góc vng. 3  0
4. (E) qua điểm M  1;  và tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc bằng 60 2  

ĐS: a)

x2 y 2  1 16 8

Bài 13.

b)

x2 y 2  1 36 27

c)

x2 y 2  1 24 8

d)

x2 y 2  1 4 1

Lập phương trình của (E) biết:

1. (E) có một tiêu điểm F1   3;0  và đi qua điểm M, biết tam giác F1MF2 có diện tích bằng 1

và vuông tại M.

2. (E) qua 3 đỉnh của tam giác đều ABC. Biết tam giác ABC có trục đối xứng là Oy , điểm A  0; 2  và diện tích SABC 

49 3 12

3. Khi M thay đổi trên (E) thì độ dài nhỏ nhất của OM bằng 4 và độ dài lớn nhất của MF1 bằng
4. CHUYÊN ĐỀ 4: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM, ĐƢỜNG THẲNG VỚI ELIP

9. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM VỚI ELIP

Phƣơng pháp: 1. Để xác định vị trí tương đối của điểm M  xM ; yM  với Elíp (E):

x2 y 2   1. a 2 b2

Ta thực hiện theo các bước: B-íc 1: Xác định phương tích của M đối với Elíp (E) là: HDedu - Page 7

PM / ( E )

xM2 yM2  2  2 . a b

B-íc 2: Kết luận:  Nếu PM / ( E )  1  M nằm trong Elíp.  Nếu PM / ( E )  1  M nằm trên Elíp.

 Nếu PM / ( E )  1  M nằm ngoài Elíp. Chú ý: 1. Ta có các kết quả sau:  Nếu M nằm trong (E)  không tồn tại tiếp tuyến của (E) đi qua M nhưng khi đó mọi đường thẳng qua M đều cắt (E) tại 2 điểm phân biệt.  Nếu M nằm trên (E)  tồn tại duy nhất 1 tiếp tuyến của (E) đi qua M (phương trình tiếp tuyến có được bằng phương pháp phân đơi toạ độ).  Nếu M nằm ngoài (E)  tồn tại hai tiếp tuyến của (E) đi qua M. II. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG VỚI ELIP. Bằng việc xét hệ phương trình tạo bởi (E) và (d), khi đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của (d) và (E). III. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ELIP Với hai Elíp (E1) và (E2) có phuơng trình:

(E1):

x2 y 2 x2 y 2 và (E ):   1   1.

2 a12 b12 a22 b22

Nếu  E1    E2    A, B, C , D  thì

1. ABCD là hình chữ nhật.
2. Phương trình đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là đường trịn (C) tâm O bán

kính R = OA có phương trình:  C  : x 2  y 2 

Bài 1.

a12 a22 (b12  b22 )  b12b22 (a22  a12 ) . a22b12  a12b22

Cho điểm M  1;1  và Elíp (E) có phương trình: (E):

x2 y 2 \= 1.  9 4

1. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua M luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt.
2. Lập phương trình đường thẳng (d) qua M và cắt Elíp trên tại hai điểm A, B sao cho MA =

MB. Bài 2.

Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và Elíp (E) , biết:

1.  d  : x  y  3  0 và (E):

x2 y 2   1.

4 1

2.  d  : 2 x  y  5  0 và (E):

x2 y 2   1. 4 9 HDedu - Page 8

3.  d  : 2 x  y  0 và (E):

Bài 3.

x2 y 2   1. 2 8

1

x2 y 2 Cho điểm M  1;   và Elíp (E):   1 . Lập phương trình đờng thẳng (d) qua 2 8 2 

M cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho:

1. M là trung điểm AB.

b.

AB 

20 .

Từ đó, lập phương trình đường trịn đường kính AB trong mỗi trường hợp. Bài 4.

Cho 2 Elíp (E1) và (E2) có phương trình: (E1):

x2 y 2 x2 y 2   1 và (E2):  1 9 4 16 1

1. Chứng minh rằng (E1) (E2) = {A, B, C, D} và ABCD là hình chữ nhật.
2. Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

Bài 5.

Cho elip (E) có phương trình 3x 2  5 y 2  30

1. Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu diểm và tâm sai của elip
2. Một đường thẳng d qua tiêu điểm F2(2, 0) của (E), song song với trục tung, cắt (E)

tại hai điểm A và B. Tính khoảng cách từ A và B tới tiêu điểm F1 . Bài 6.

x2 y 2 

 1 và điểm M  1;1  . Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt 25 9

Cho (E):

(E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm AB . ĐS: 9 x  25 y  34  0 Bài 7.

x2 y 2 2 2 

 1 và điểm M  ;  . Lập phương trình đường thẳng qua M và cắt 4 1 3 3

Cho (E):

(E) tại hai điểm phân biệt biệt A, B sao cho MA  2MB .  x  2y  2  0 ĐS:   5 x  70 y  50  0

Bài 8.

Cho (E)

x2 y 2   1 và đường thẳng  d  : 2 x  y  3  0 . Viết phương trình  vng 4 1

góc với  d  cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho SOAB  1 HD:

Gọi  : x  2 y  m  0 . Phương trình tương giao: 8 y 2  4my  m2  4  0 A  2 y1  m; y1  ; B  2 y2  m; y2 

d  O, AB  

m . Từ đó tính SF1 AB  1  m  2 5

 x  2y  2  0 ĐS:   x  2y  2  0

HDedu - Page 9

Bài 9.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (E) x 2  3 y 2  6 có hai tiêu điểm F1 , F2 với F1 có

hồnh độ âm. Gọi d là đường thẳng qua F2 và song song với  : y   x  1 và cắt (E) tại A và B . Tính diện tích tam giác ABF1 ĐS: SABF1  2 3 Bài 10.

Cho (E):

x2 y 2   1 và đường thẳng (d): 3x  4 y  12  0 cắt (E) tại A và B. Tìm tọa 8 4

độ điểm C trên (E) sao cho tam giác ABC cân tại C.  2  39 2 78  2   2  39 2 78  2  ;

; C ; ĐS: C    5 10 5 10   



Bài 11.

Cho (E):

x2 y 2   1 và đường thẳng (d): x  2. y  2  0 cắt (E) tại A và B. Tìm 16 9

tọa độ điểm C trên (E) sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6.

3   3  ĐS: C  2 2;   ; C  2 2;  2  2 

IV. TÌM ĐIỂM THUỘC ELIP Phƣơng pháp : Với Elíp (E) có phơng trình: (E):

x2 y 2   1. a 2 b2

Ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Ta thực hiện theo các bƯớc: B-íc 1: Lấy điểm M  x0 , y0    E  

x02 y02  1

a 2 b2

B-íc 2: Dựa vào điều kiện K có thêm đợc điều kiện cho x0 , y0 . Từ đó suy ra toạ độ điểm M. Cách 1: Ta thực hiện theo các bước: B-íc 1: Chuyển phương trình Elíp về dạng tham số:  x  a sin t (E):  , t[0, 2).  y  b cos t

B-íc 2: Điểm M(E)  M(a.sint, b.cost). B-íc 3: Dựa vào điều kiện K có thêm được điều kiện cho x0, y0. Từ đó suy ra toạ độ điểm M.

Chú ý: Ta cần lu ý các trường hợp sau: 1. Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về bán kính qua tiêu điểm ta sử dụng cơng thức tính

bán kính qua tiêu điểm theo toạ độ điểm đó là: F1M  a 

cx0 cx và F2 M  a  0 . a a

2. Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về góc ta đa bài tốn về xét hệ thức lượng trong tam

giác. HDedu - Page 10

3. Nếu điểm phải tìm là giao của Elíp với một đường khác ta xét hệ phương trình tương giao để

tìm toạ độ giao điểm. Bài 1.

Cho Elíp (E):

x2 y 2   1 . Tìm các điểm M thuộc Elíp (E) sao cho: 2 8

1. Có toạ độ nguyên thuộc (E).
2. Có tổng hai toạ độ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . Bài 2.

Cho Elíp (E):

x2 y 2   1 . Từ điểm A(E) có toạ độ dương, dựng hình chữ nhật ABCD a 2 b2

nội tiếp trong (E) có các cạnh song song với các trục toạ độ. Xác định toạ độ của A để hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn nhất. Bài 3.

Trong mặt phẳng Oxy , cho elip (E):

x2 25

y2 9

1 có tiêu điểm F1 và F2 .

Tìm điểm M trên (E) sao cho

2. MF1

1. Điểm M có tung gấp ba lần hồnh độ

3. F1MF2 Bài 4.

2MF2 OAM lớn nhất với A 1;1

4. Diện tích tam giác

600

Cho elip (E) :

x2 4

y2 1

1 và C 2; 0 . Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng nhau

qua trục hoành và tam giác ABC đều. Bài 5.

Trong mặt phẳng Oxy , cho elip : 9x 2

25y 2

225 có tiêu điểm F1 và F2 . Tìm các

điểm M trên (E) sao cho a)

1 MF1

1

MF2

4 F1F2

2. F1MF2

600

3. Diện tích tứ giác OHMK lớn nhất với H, K là hình chiếu của điểm M lên hai trục tọa độ. Bài 6.

Cho A 0; 3 . Tìm điểm B, C thuộc elip E : qua trục Ox đồng thời thỏa mãn

Bài 7.

Cho (E):

x2 9

y2 4

khoảng cách đến Bài 8.

Cho (E):

1. Tìm M

E

x2 a2

y2 b2

x2 9

y2 3

1 sao cho B, C đối xứng

ABC đều.

1 và đường thẳng

: 3x

4y

24

0 . Tìm M trên (E) có

lớn nhất, nhỏ nhất. 1 a

b

0 có tiêu điểm F1

c; 0 .

trong trường hợp sau:

9. Đoạn thẳng F1M ngắn nhất

ii) Đoạn thẳng F1M dài nhất

2. Tìm hai điểm A, B thuộc (E) thỏa mãn OA

OB và S

OAB

nhỏ nhất.

HDedu - Page 11

Bài 9.

Cho C : x

5

2

y2

441; C ' : x

5

2

25 . Gọi M là tâm đường tròn

y2

C 1 di động tiếp xúc với C , C ' . Chứng minh rằng tập hợp điểm M là elip và hãy

tìm tọa độ các tiêu điểm của elip đó trong trường hợp sau:

1. C 1 tiếp xúc trong với C

và tiếp xúc ngoài với C '

2. C 1 tiếp xúc trong với C

và C '

Bài 10.

Cho C : x 2

y2

a

2

b ; C ' : x2

y2

a

b

2

0

b

a . Các điểm A, B

di động trên C , C ' sao cho Ox là phân giác của góc AOB . Tìm tập hợp trung

điểm M của đoạn thẳng AB. Bài 11.

Cho hình thoi ABCD tâm I . Biết A x2 4

Bài 12.

3y 2 4

Bài 13.

1 . Tính tọa độ các đỉnh cịn lại của hình thoi.

Cho hình chữ nhật E : x2

2; 2 , B 0;2 và tâm I thuộc đường Elip (E):

3y 2

ABCD .

Biết

A 1; 1 , B

1; 3

và B thuộc Elip

4 . Tính tọa độ hai đỉnh B và D của hình chữ nhật.

Tìm những điểm trên elip (E) (E) :

x2 y 2   1 thỏa mãn 2 1

1. Có bán kính qua tiêu điểm trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm phải.
2. Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. Bài 14.

Cho (E): x 2  4 y 2  4 . Tìm trên (E) điểm M sao cho:

1. M F1  3MF2

2. Điểm M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vng.
3. Điểm M nhìn hai tiêu điểm dưới 1 góc 60°.

Bài 15.

Cho ( E ) :

x2 y 2   1 , tiêu điểm F1 (c, 0) . Tìm điểm M trên (E) sao cho FM ngắn nhất. a 2 b2

Bài 16.

1. Cho ( E ) : 4 x 2  9 y 2  36 và một điểm M(l, 1). Lập phương trình đường thẳng qua M.
2. Cho ( E ) :16 x 2  25 y 2  400 và một điểm M  2;1 . Lập phương trình đường thẳng qua M và

cắt (E) tại hai điểm A,B sao cho M là trung điểm của AB. Bài 17.

Cho ( E ) :

x2 y 2 

 1(a  b  0) . a 2 b2

Gọi A là giao điểm của đường thẳng y  kx và (E). Tính OA theo a,b,k.

HDedu - Page 12