Tài liệu gồm 436 trang, bao gồm tóm tắt lý thuyết, phân dạng và bài tập chuyên đề vectơ trong chương trình môn Toán lớp 10 GDPT 2018 (chương trình SGK mới). CHUYÊN ĐỀ. VECTƠ. BÀI 1. KHÁI NIỆM VECTƠ. Dạng 1. Xác định vectơ, các khái niệm vectơ, vectơ cùng phương. Dạng 2. Tìm độ dài vectơ. Dạng 3. Chứng minh hai vectơ bằng nhau. BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ. Dạng 1. Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ. Chứng minh đẳng thức vectơ. Dạng 2. Tìm độ dài của tổng của hai hay nhiều vectơ. Dạng 3. Tìm tổng hoặc hiệu của hai vectơ hay nhiều vectơ. Chứng minh đẳng thức vectơ. Dạng 4. Tìm độ dài của vectơ tổng, hiệu. Dạng 5. Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ. Dạng 6. Ứng dụng của vectơ vào bài toán thực tế. BÀI 3. TÍCH MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ. Dạng 1. Xác định vectơ ka. Dạng 2. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số. Dạng 3. Tìm độ dài vectơ. Dạng 4. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương. Dạng 5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Dạng 6. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ. Dạng 7. Một số bài toán vận dụng cao về tích của vectơ với một số. BÀI 4. VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ. Dạng 1. Tìm tọa độ của vectơ, các phép toán trên vectơ trên hệ trục tọa độ (O;i). 2. Dạng 2. Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. Dạng 3. Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng Oxy. Dạng 4. Bài toán liên quan đến ba điểm thẳng hàng. BÀI 5. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ. Dạng 1. Tìm góc giữa hai vectơ. Dạng 2. Tìm tích vô hướng của hai vectơ. Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ về tích vô hướng. Dạng 4. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức về tích vô hướng. Dạng 6. Bài toán thực tế về tích vô hướng. Dạng 7. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. ÔN TẬP CHƯƠNG 4. File WORD (dành cho quý thầy, cô): TẢI XUỐNG
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm M N P Q , , ,. Tìm tọa độ các vectơ OM ON OP OQ , , , . Lời giải Từ hình trên ta có: M ( 4; 3), (3; 0), (5; 2), (0; 3) N P Q . Do đó: OM ( 4;3), ON (3; 0) OP (5; 2), OQ (0; 3) Câu 2. Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình và biểu diến mỗi vectơ đó qua hai vectơ i và j Lời giải
a OA và A ( 5; 3) ; tọa độ vectơ OA chính là tọa độ điểm A nên a ( 3; 3) a 3 i j 3
b OB và B (3; 4) ; tọa độ vectơ OB chính là tọa độ điểm A nên ( b ;4) b i j 3 4 Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/ Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/ Lời giải Trong Hình 3, ta có:
OA a , ta có: A ( 5; 3) nên ( 5; 3) a.
OB b , ta có: B (3; 4) nên (3; 4) b.
OC c , ta có: C ( 1; 3) nên ( 1; 3) c.
OD d , ta có: D (2; 5) nên (2; 5) d . Câu 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A (1; 2) và vectơ u (3; 4) .
qua vectơ i và j .
qua vectơ i và j . Lời giải
. Do đó: OA i 1 2 j i 2. j
nên u 3 i ( 4) j 3 i 4 j . Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy , cho ba điểm M N P , , được biểu diễn như Hình 5.
OM ON OP qua hai vectơ i và j.
PM PN PO NM. Lời giải
OM i j ON i j OP i j.
ø ùø ùø ùø ù; (1 3; 3 0) ( 2; 3) ; ( 2 3; 1 0 ) ( 5; 1) ; ( 0 3; 0 0) ( 3; 0) ; (1 ( 2 ); 3 ( 1)) (3; 4 ) M P M p N P N P O P O P M N M N PM x x y y PN x x y y PO x x y y NM x x y y Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy , cho ba điểm A B C , , được biểu diễn như Hình. Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 5
qua hai vectơ i và j .
và các điểm A B C , ,. Lời giải
.
. Do đó A (1;3), (3; 0), ( 2; 1) B C . Câu 9. Tìm tọa độ các vectơ sau:
a i j
b i j
c i
d j Lời giải
a ;
b
c ;
d Câu 10. Cho M (1; 2), ( 3; 4), (5; 0) N P. Tìm toạ độ của các vectơ MN PM NP , , . Lời giải ø ùø ùø ù ; ( 3 1; 4 2) ( 4; 2) ; (1 5; 2 0) ( 4; 2) ; (5 3; 0 4) (8; 4) N M N M M P M P P N P N MN x x y y PM x x y y NP x x y y Câu 11. Tìm toạ độ của các vectơ sau:
a i
b j ;
c i j d) 1 5 2 d i j. Lời giải
a ;
b
c ; d) 1 5; 2 d. Câu 12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho (1; 2), ( 2; 3) u v . Tìm toạ độ của các vectơ , , 2 u v u v u và 3 4 u v. Lời giải Ta có: ( 1; 5), (3;1), 2 ( 2; 4) u v u v u. Với 3 (3; 6), 4 ( 8; 12) u v ta có: 3 4 (11; 6) u v. Câu 13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ( 1; 2), (3;1), (2; 3) a b c .
u a b c.
x sao cho 2 x b a c. Lời giải
a nên 2 (1; 5) a b. Mà 3 (6; 9) c. Suy ra 2 3 ( 5;14) u a b c. Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 7
u sao cho 2 3 u a b c
x sao cho 2 x b a c Lời giải Có: ( 1; 2); (3;1); (2; 3) a b c
u a b c hay ( 5;14) u
x a c b hay ( 5; 3) x. BÀI TẬP BỔ SUNG Câu 20. Viết tọa độ của các vectơ sau: a) 1 2 3 5 3 2 3 a i j; b i j; c i; d j. b) 1 3 3 4 3 2 2 a i j; b i j; c i j; d j; e i Lời giải a) ####### ø ù ø ù ø ù 1 2; 3 ; ; 5 ; 3; 0 ; 0; 2 3 a b c d b) ####### ø ù ø ù ø ù 1 3 1; 3 ; ;1 ; 1; ; 0; 4 ; 3; 0 2 3 a b c d e Câu 21. Viết dưới dạng u xi y j khi biết tọa độ của vectơ u là: a) ####### ø ù ø ù ø ù ø ù u 2 ; 3 ; u 1 4 ; ; u 2 0 ; ; u 0 ; 1_._ b) ####### ø ù ø ù ø ù ø ù u 1 3 ; ; u 4 ; 1 ; u 1 0 ; ; u 0 0 ;. Lời giải
####### ø ù ø ù ø ù ø ù u 2; 3 u i j u 2 3 ; 1; 4 u i j u 4 ; 2;0 u i j u 2 0 ; 0; 1 u i j 0
####### ø ù ø ù ø ù ø ù u 1;3 u i j u 3 ; 4; 1 u i j u 4 ; 1;0 u i j u 0 ; 0;0 u i j 0 0 . Câu 22. Cho ####### ø ù ø ù a 1 ; 2 ; b 0 3 ; tìm tọa độ của các vectơ sau:
b) 1 3 2 2 4 2 u a b ; v b ; w a b. Lời giải a) ####### ø ù ø ù ø ù ø ù x a b 1 0; 2 3 1;1 , y a b 1 0; 2 3 1; 5 , ø ø ù ù ø ùz 2 a b 3 3 3; 2. 2 3 2; 13. b) ####### ø ù ø ù 1 11 3 2 3; 12 , 2 2; 1 , w 4 4 3; 2 2 u a b u a b a b Câu 23. Cho ####### ø ù ø ù 1 2 0 1 4 6 2 a ; ; b ; ; c ;.
theo a,b. Lời giải Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/ Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/ a) ø ù ø ù1 63 2 3 5 2 3. 1 5; 2 3. 5. 6 27; 2 2 d a b c
ø ù1 2 1 4 0 1 3 0 .2 4 6 0 1 2 6 0 1 2 12 m n m ma b nc m i i j n i j n n ý ý þ þ
c xa yb x y R ø ; ù ta có: ø ù4 .2 1 8 1 12 6.. 2 x y x y x y ý ý þ þ Vậy c a 8 12 b Dạng 2. Tìm điều kiện để hai vectơ bằng nhau, ba điểm thẳng hàng Phương pháp: Với ø ù ø ù1 1 2 2 ; ; ; a x y b x y , ta có 1 2 1 2 ý þ x x a b y y . A B C , , thẳng hàng Tồn tại k sao cho AB k AC. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu 24. Cho ba điểm A ( 1; 3), (2; 3) B và C (3; 5). Chứng minh ba điểm A B C , , thẳng hàng. Lời giải Ta có: AB (3; 6), BC (1; 2) . Suy ra AB BC 3 . Vậy ba điểm A B C , , thẳng hàng. Câu 25. Cho tam giác ABC có A ( 2;1), (2; 5), (5; 2) B C. Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC. Lời giải Do ø ù; M M M x y là trung điểm đoạn thẳng AB nên 2 2 1 5 0; 3. 2 2 M M x y Vậy M (0; 3). Do ø ; ùG G G x y là trọng tâm tam giác ABC nên ( 2) 2 5 1 5 2 ; 3 3 G G x y . Vậy 5 8 ; 3 3 G . Câu 26. Tìm các số thực a và b sao cho mối cặp vectơ sau bằng nhau:
u a và (3; 4 1) v b
x a b a b và (2 3; 4 ) y a b. Lời giải
u a v b 2 1 3 2 3 4 1 1 a a b b ý ý þ þ Vậy a 2 và b 1 thì (2 1; 3) (3; 4 1) u a v b
x a b a b y a b 2 3 2 3 4 3 2 2 3 ( 3) 4 ( 3) 1 a b a a b b b a b a a a a ý þ ý ý þ þ Vậy a 1 và b 2 thì ( ; 2 3 ) (2 3; 4 ) x a b a b y a b. Câu 27. Chứng minh rằng:
a và ( 2; 3) b là hai vectơ ngược hướng. Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/ Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/
x a b b và (3 2 ; 3 ) y b b a. Lời giải
b) 7 , 2 3 a b. c) 3 9 , 5 5 a b. BÀI TẬP BỔ SUNG Câu 32. Cho ba điểm A ø ù1;1, B ø ù1; 3 , C ø ù2; 0.
Lời giải:
ø ùø ù 2; 2 3; 3 AB BC ý þ 3 . 2 BC AB nên 3 điểm A B , và C thẳng hàng.
ø ùø ù 2; 2 1; 1 AB AC ý þ AB 2. AC A chia đoạn BC theo tỉ số k 2. ø ùø ù 2; 2 3; 3 BA AC ý þ 2 . 3 BA BC B chia đoạn AC theo tỉ số 2 3 k . ø ùø ù 1; 3; 3 CA CB ý þ 1 . 3 CA CB C chia đoạn AB theo tỉ số 1 3 k . Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M. -Cho hai điểm ø ù ; A A A x y và ø ù ; B B B x y . Nếu ø ù ; M M M x y là trung điểm đoạn thẳng AB thì ;. 2 2 A B A B M M x x y y x y -Cho tam giác ABC có ø ù ø ù ø ù ; , ; , ; A A B B C C A x y B x y C x y . Nếu ø ù ; G G G x y là trọng tâm tam giác ABC thì ;. 3 3 A B C A B C G G x x x y y y x y BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu 33. Cho bốn điểm A (3; 5), (4; 0), (0; 3), (2; 2) B C D. Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:
Lời giải
Câu 34. Cho điểm ø ù 0 0 M x y ;. Tìm tọa độ:
Ox ; Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 11
Lời giải
0 H x ; 0
MM ' ' 0 0 ' 0 ' ' 0 ' 0 2 2 2 2. M H M M M M H M M M x x x x x x x x y y y y y y y ý ý ý þ þ þ Vậy ø ù 0 0 M x y ' ;.
0 K y 0;
qua trục Oy K là trung điểm của MM " " " 0 " 0 " " 0 0 " 0 2 2. 2 2. M K M M M M K M M M x x x x x x x y y y y y y y y ý ý ý þ þ þ Vậy M" ø ù 0 0 x y ;.
0 0 0 0 2 2. 2 2. C O M C C C O M C C x x x x x x x y y y y y y y ý ý ý þ þ þ Vậy ø ù 0 0 C x y ;. Câu 35. Cho tam giác DEF có toạ độ các đỉnh là D (2; 2), (6; 2) E và F (2; 6).
Lời giải
6 2 2 6 4, 4 2 2 2 2 E F E F M M x x y y x y. Vậy toạ độ trung điểm M của cạnh EF là M (4; 4).
2 6 2 10 2 2 6 10 , 3 3 3 3 3 3 D E F D E F G G x x x y y y x y. Vậy toạ độ trọng tâm G của tam giác DEF là 10 10 ; 3 3 G. Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 13
Lời giải
AB DC x y Để ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC 5 1 4 5 3 2 x x y y ý ý þ þ Vậy D (4; 2)
2 5 7 2 2 2 2 5 7 2 2 2 A C M M M A C M M M x x x x x y y y y y ý ý ý þ þ þ Vậy 7 7 ; 2 2 M
AC BC Suy ra: 2 2 | | 1 3 10 AB AB 2 2 2 2 | | 3 3 3 2 | | 2 0 2 13 3 2 5 ˆ cos cos( , ) 2634 5 10 3 2 ( 1) 2 ( 3) 0 10 ˆ cos cos( , ) 10826 10 10 2 AC AC BC BC AB AC A AB AC A AB AC BA BC B BA BC B BA BC ( 3)( 2 ) ( 3) 0 2 ˆ cos cos( , ) 45 2 3 2 2 CA CB C CA CB C CA CB Câu 42. Cho tam giác ABC có các điểm M (2; 2), (3; 4), (5; 3) N P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB BC , và CA.
Lời giải a. ####### ø ù (3;1) 3 ; 4 B B MP BN x y Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/ Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/ Có M là trung điểm cạnh AB P , là trung điểm cạnh AC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC 1 // ; (hbh) 2 3 3 0 ( 0; 3) 1 4 3 B B B B MP BC MP BC BN MPNB MP BN x x B y y ý ý þ þ Ta có: N là trung điểm của BC nên 2 2 0 2 2 3 ý ý þ þ C N B C C N B C x x x x y y y y 6 (6; 5) 5 C C x C y ý þ Ta có: M là trung điểm của AB nên 2 2 0 2 2 3 ý ý þ þ A M B A A M B A x x x x y y y y 4 ( 4; 1) 1 A A x A y ý þ Vậy A (4;1), (0; 3), (6; 5) B C
4 0 6 10 10 3 3 ; 3 3 3 1 3 5 3 3 3 A B C G G G A B C G G G x x x x x x G y y y y y y ý ý ý þ þ þ Gọi G' là trọng tâm tam giác MNP, ta có: 2 3 5 10 10 3 3 3 ; 3 2 4 3 3 3 3 3 M N P G G G M N P G G G x x x x x x G y y y y y y ý ý ý þ þ þ Từ (1) và (2) G G Vậy trọng tâm tam giác ABC trùng với trọng tâm tam giác MNP.
AB AC BC Suy ra: 2 2 | | ( 4) 2 2 5 AB AB 2 2 2 2 | | 2 4 2 5 | | 6 2 2 10 ( 4 ) 2 2. ˆ cos cos( , ) 0 90 2 52 5 AC AC BC BC AB AC A AB AC A AB AC Xét tam giác ABC có AB AC ( 2 5) và ˆ 90 A Tam giác ABC vuông cân tại ˆ ˆ 45 A B C Câu 43. Cho hai điểm A (1; 3), (4; 2) B .
Lời giải Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/ Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/ Câu 45. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba điểm A (2; 3), ( 1;1), (3; 1) B C .
AM BC.
BN NM. Lời giải
AM x y BC. 2 4 6 3 2 1. ý ý þ þ x x AM BC y y Vậy M (6;1) .
AN x y NC x y. Vì N là trung điểm của đoạn thẳng AC nên ta có: Ta có: 7 7 ; 0 , ; 0 2 2 BN NM. Suy ra BN NM. Câu 46. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC. Các điểm M (1; 2) , N (4; 1) và P (6; 2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC CA AB , , . Tìm toạ độ của các điểm A B C , , . Lời giải Vì M N P , , lần lượt là trung điểm của BC CA AB , , nên tứ giác ANMP là hình bình hành, suy ra AN PM. Giả sử ø ù ; A A A x y. Ta có: ø ù 4 ; 1 ; ( 5; 4) A A AN x y PM. Suy ra: 4 5 9 1 4 3. ý ý þ þ A A A A x x y y Vậy A (9; 3). Tương tự, từ , BP MN CM NP , ta tính được B (3;1), ( 1; 5) C . Câu 47. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba điểm A (1; 2), (3; 2), (7; 4) B C .
. So sánh các khoảng cách từ B tới A và C.
Lời giải
. Các khoảng cách từ B tới A và C lần lượt là: 2 2 2 2 AB AB | | 2 4 2 5; BC BC | | 4 2 2 5. Do đó các khoảng cách này bằng nhau.
không củng phương (vì 2 4 4 2 ). Do đó các điểm A B C , , không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.
AD BC . Do AD x ( 1; y 2), BC (4; 2) nên 1 4 5 2 2 0. x x AD BC y y ý ý þ þ Vậy điểm cần tìm là D (5; 0). Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ a 3 i 2 j b , (4; 1) và các điểm M ( 3; 6), (3; 3) N .
và 2 a b .
Lời giải Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 17
và a 3 i 2 j a (3; 2) 2 a b (2 4; 2.( 2) ( 1)) (2; 3) Lại có: M ( 3; 6), (3; 3) N MN (3 ( 3); 3 6) (6; 9) Dễ thấy: (6; 9) 3.(2; 3) MN 3(2 a b )
( do M ( 3; 6)) và ON (3; 3) (do N (3; 3)). Hai vectơ này không cùng phương (vì 3 6 3 3 ). Do đó các điểm O M N , , không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.
. Do OM ( 3; 6), PN (3 x ; 3 y ) nên 3 3 6 6 3 9 x x OM PN y y ý ý þ þ Vậy điểm cần tìm là P (6; 9). Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm A (1; 3), (2; 4), ( 3; 2) B C .
để O (0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD . Lời giải a) Ta có: AB (2 1; 4 3) (1;1), AC ( 3 1; 2 3) ( 4; 1) Hai vectơ này không cùng phương (vì 1 1 4 1 ). Do đó các điểm A B C , , không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.
1 2 3 4 3 7 ; ; 2 2 2 2
G của tam giác ABC có tọa độ là 1 2 ( 3) 3 4 2 ; (0; 3) 3 3
(0; 0) ; 3 3 A B D A B D x x x y y y 1 2 3 4 (0; 0) ; 3 3 x y (0; 0) (1 2 x ; 3 4 y ) (0; 0) ( x 3; y 7) Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 19 Nhận xét Một cách khái quát, với hai điểm ø ù ø ù 1 2 1 2 A a a B b b ; , ; thì điểm P thoả mãn ( 1) PA k PB k có toạ độ 1 1 2 2 ; 1 1 a kb a kb k k . Câu 53. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A (2; 1), (1; 4) B và C ( 2; 3) .
Lời giải
AB AC. Do 1 5 4 4 nên các vectơ AB và AC không cùng phương. Suy ra A B C , , là ba đỉnh của một tam giác.
2 1 ( 2) 1 3 3 ( 1) 4 3 2 3 ý þ x y Suy ra 1 ; 2 3 G. Câu 54. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A B , thoả mãn 2 3 OA i j , 3 2 OB i j .
Lời giải
OA và (3; 2) OB. Vì 2 3 3 2 nên hai vectơ OA và OB không cùng phương, hay O A B , , không thẳng hàng.
AB. Giả sử tìm được điểm C sao cho tứ giác ABCO là hình bình hành. Khi đó do OC AB nên (1; 5) OC. Suy ra C (1; 5).
2 2 DA (2 d ) 9, DB (3 d ) 4. Suy ra 2 2 2 2 DA DB DA DB (2 d ) 9 (3 d ) 4 d 0. Vậy điểm D cần tìm trùng với gốc toạ độ O (0; 0). Câu 55. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A (1; 2) và B (3; 4). Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục tung sao cho vectơ CA CB có độ dài ngắn nhất. Lời giải Xét điểm C c Oy (0; ). Khi đó (1; 2 ) CA c và (3; 4 ) CB c. Do đó (4; 2 2 ) CA CB c , suy ra 2 | | 16 4(1 ) CA CB c. Do 2 (1 c ) 0 c , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c 1 , nên | | 4 CA CB , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c 1. Vậy với điểm C (0; 1) Oy thì vectơ CA CB có độ dài ngắn nhất. Nhận xét
CA CB CI , với I là trung điểm AB. Suy ra vectơ CA CB có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi vectơ CI có độ dài ngắn nhất. Từ đó, do C thuộc trục tung, nên C là hình chiếu vuông góc của I trên trục tung.
CA CB có độ dài ngắn nhất, với ñ ò, là hai hằng số cho trước. Câu 56. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M (4; 0), (5; 2) N và P (2; 3). Tìm toạ độ các đỉnh của |