Giải bài 32, 33, 34, 35, 36, 37 trang 61; bài 38 trang 62 sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1 bài Ôn tập chương 2 Hàm số bậc nhất. Bài 33 Với những giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Bài 32 trang 61 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
- Với những giá trị nào của m thì hàm số bậc nhất \(y = (m – 1)x + 3\) đồng biến?
- Với những giá trị nào của k thì hàm số bậc nhất \(y = (5 – k)x + 1\) nghịch biến?
Lời giải:
- Hàm số \(y = (m – 1)x + 3\) là hàm số bậc nhất khi \(m – 1 ≠ 0\) hay \(m ≠ 1,\)
Khi đó, hàm số đồng biến khi \(m – 1 > 0\) hay \(m > 1.\)
Vậy với \(m>1\) thì hàm số đồng biến.
- Hàm số \(y = (5 – k)x + 1\) là hàm số bậc nhất khi \(5 – k ≠ 0\) hay \(k ≠ 5\)
Khi đó, hàm số nghịch biến khi \(5 – k < 0\) hay \(k > 5\) thì hàm số nghịch biến.
Vậy với \(k > 5\) thì hàm số nghịch biến.
Bài 33 trang 61 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Với những giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số \(y = 2x + (3 + m)\) và \(y = 3x + (5 – m)\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?
Phương pháp:
Hai đồ thị hàm số \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne a'\\b = b'\end{array} \right.\).
Lời giải:
Hàm số \(y = 2x + \left( {3 + m} \right)\) có \(a = 2\) và \(b = 3 + m\)
Hàm số \(y = 3x + \left( {5 - m} \right)\) có \(a' = 3\) và \(b' = 5 - m\)
Hai đồ thị hàm số \(y = 2x + \left( {3 + m} \right)\) và \(y = 3x + \left( {5 - m} \right)\) cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung khi \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne a'\\b = b'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \ne 3\left( {luôn\,\,đúng} \right)\\3 + m = 5 - m\end{array} \right. \\\Rightarrow 2m = 2 \Leftrightarrow m = 1\)
Vậy \(m = 1\) thì hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung.
Bài 34 trang 61 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Tìm giá trị của a để hai đường thẳng \(y = (a – 1)x + 2 \,\,\,(a ≠ 1)\) và \(y = (3 – a)x + 1 \,\,\,(a ≠ 3)\) song song với nhau.
Phương pháp:
Hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\) song song với nhau khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\)
Lời giải:
Hai đường thẳng \(y = \left( {a - 1} \right)x + 2\,\left( {a \ne 1} \right)\) và đường thẳng \(y = \left( {3 - a} \right)x + 1\left( {a \ne 3} \right)\) song song với nhau khi \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 3 - a\\2 \ne 1\left( {luôn\,đúng} \right)\end{array} \right. \Rightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2\)
Vậy \(a = 2\) thì hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
Bài 35 trang 61 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Xác định k và m để hai đường thẳng sau đây trùng nhau:
\(y = kx + (m – 2)\,\,\, (k ≠ 0);\)
\(y = (5 – k)x + (4 – m)\,\,\, (k ≠ 5)\).
Lời giải:
Hai đường thẳng \(y = kx + (m – 2)\) và \(y = (5 – k)x + (4 – m)\) trùng nhau khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}k = 5 - k\\m - 2 = 4 - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k = 5\\2m = 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \dfrac{5}{2}\,\left( {thỏa\,mãn} \right)\\m = 3\,\left( {thỏa\,mãn} \right)\end{array} \right.\)
Vậy điều kiện để hai đường thẳng trùng nhau là \(k=\dfrac{5}{2}\) và \(m = 3.\)
Bài 36 trang 61 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
Cho hai hàm số bậc nhất \(y = \left( {k + 1} \right)x + 3\) và \(y = \left( {3 - 2k} \right)x + 1\).
- Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng song song với nhau?
- Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng cắt nhau?
- Hai đường thẳng nói trên có thể trùng nhau được không? Vì sao?
Phương pháp:
Với hai đường thẳng \(y = ax + b\) (d) và \(y = a'x + b'\) (d'), trong đó \(a\) và \(a' \) khác 0, ta có:
+) TH1: (d) và (d') cắt nhau khi và chỉ khi \(a \ne a'\)
+) TH2: (d) và (d') song song với nhau khi và chỉ khi \(a = a'\) và \(b \ne b'\)
+) TH3: (d) và (d') trùng nhau khi và chỉ khi \(a = a'\) và \(b = b'.\)
Lời giải:
Hàm số \(y = \left( {k + 1} \right)x + 3\) có các hệ số \(a = k + 1,\,\,b = 3\)
Hàm số \(y = \left( {3 - 2k} \right)x + 1\) có các hệ số \(a' = 3 - 2k,\,\,\,b' = 1\)
- Vì hai hàm số đã cho là hàm số bậc nhất và để hai đường thẳng \(y = \left( {k + 1} \right)x + 3\) và \(y = \left( {3 - 2k} \right)x + 1\) song song với nhau thì:
\(\left\{ \matrix{ k + 1 \ne 0 \hfill \cr 3 - 2k \ne 0 \hfill \cr k + 1 = 3 - 2k \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ k \ne - 1 \hfill \cr k \ne {\displaystyle 3 \over \displaystyle 2} \hfill \cr k = {\displaystyle 2 \over \displaystyle 3} \hfill \cr} \right.\)
\( \displaystyle \Rightarrow k = {2 \over 3}\) (thỏa mãn điều kiện )
- Vì hai hàm số đã cho là hàm số bậc nhất và để hai đường thẳng \(y = \left( {k + 1} \right)x + 3\) và \(y = \left( {3 - 2k} \right)x + 1\) cắt nhau thì:
\(\left\{ \matrix{ k + 1 \ne 0 \hfill \cr 3 - 2k \ne 0 \hfill \cr k + 1 \ne 3 - 2k \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ k \ne - 1 \hfill \cr k \ne {\displaystyle 3 \over \displaystyle 2} \hfill \cr k \ne {\displaystyle 2 \over \displaystyle 3} \hfill \cr} \right.\)
- Hai đường thẳng trên không trùng nhau vì chúng có tung độ gốc khác nhau \(b\ne b'\,(3 ≠ 1) .\)
Bài 37 trang 61 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
- Vẽ đồ thị hai hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:
y = 0,5x + 2 (1); y = 5 – 2x (2)
- Gọi giao điểm của các đường thẳng y = 0,5x + 2 và y = 5 – 2x với trục hoành theo thứ tự là A, B và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là C.
Tìm tọa độ của các điểm A, B, C
- Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC và BC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimet) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
- Tính các góc tạo bởi các đường thẳng có phương trình (1) và (2) với trục Ox (làm tròn đến phút).
Phương pháp:
+) Muốn tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng ta viết phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường thẳng sau đó tìm được hoành độ từ đó tìm được tung độ.
+) Cách tính góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (gắn góc cần tìm vào 1 tam giác vuông bất kỳ, sử dụng tỉ số lượng giác \(\tan\) ta sẽ tìm được góc).
+) Sử dụng định lý Pytago để tính độ dài các cạnh.
Lời giải:
- +) Hàm số \(y = 0,5x + 2\)
Cho \(x=0\Rightarrow y=0,5.0+2=2\). Suy ra điểm \((0;2)\)
Cho \(y=0\Rightarrow 0=0,5.x+2\Rightarrow x=-4\). Suy ra điểm \((-4;0)\)
Đồ thị hàm số \(y = 0,5x + 2\) là đường thẳng đi qua các điểm \((0; 2)\) và \((-4; 0)\)
+) Hàm số \(y = 5-2x \)
Cho \(x=0\Rightarrow y=5-2.0=5\). Suy ra điểm \((0;5)\)
Cho \(y=0\Rightarrow 0=5-2x\Rightarrow x=2,5\). Suy ra điểm \((2,5;0)\)
Đồ thị hàm số \(y = 5 – 2x\) là đường thẳng đi qua các điểm \((0; 5)\) và \((2,5; 0)\)
- Từ câu a ta có giao điểm của đường thẳng \(y=0,5x+2\) với trục hoành là điểm \(A(-4; 0),\) giao điểm của đường thẳng \(y=5-2x\) với trục hoành là điểm \(B(2,5; 0)\)
Tìm tọa độ điểm \(C.\)
Ta có: phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = 0,5x + 2\) và \(y = 5 – 2x\) là
\(0,5x + 2 = 5 – 2x ⇔ 2,5x = 3\)
\(⇔ x = 1,2\)
Suy ra \(y = 0,5 . 1,2 + 2 = 2,6.\) Vậy \(C (1,2; 2,6)\)
- Gọi \(D\) là hình chiếu của \(C\) trên \(Ox\) ta có \(D(1,2;0)\)
\(CD = 2,6; AB = AO + OB = 4 + 2,5 = 6,5 (cm)\)
\(∆ACD\) vuông tại \(D\) nên \(AC^2 = CD^2 + DA^2\) (định lý Pytago)
\( \Rightarrow AC =\sqrt {CD^2 + DA^2}\)\(= \sqrt {2,{6^2} + 5,{2^2}} = \sqrt {33,8} \approx 5,81(cm)\)
Tương tự \(∆BCD\) vuông tại \(D\) nên \(BC^2 = BD^2 + DC^2\) (định lý Pytago) :
\(\Rightarrow BC = \sqrt {B{{\rm{D}}^2} + C{{\rm{D}}^2}} \)
\(= \sqrt {1,{3^2} + 2,{6^2}} = \sqrt {8,45} \approx 2,91(cm)\)
- +) Đường thẳng y = 0,5x+2 có hệ số góc là 0,5 nên \(\tan\widehat {CAD} = 0,5\)
\(\Rightarrow \widehat {CA{\rm{D}}} \approx {26^0}34'\). Góc tạo bởi đường thẳng \(\displaystyle y = 0,5x + 2\) và trục Ox là \(26^034’\)
+) Đường thẳng y = 5 - 2x có hệ số góc là -2 nên \(\displaystyle \tan\widehat {CB{\rm{D}}}= 2 \Rightarrow \widehat {CB{\rm{D}}} \approx {63^0}26'\)
Góc tạo bởi đường thẳng \(y = 5 – 2x\) và trục \(Ox\) là \(180^0– 63^026’ ≈ 116^034’.\)
Bài 38 trang 62 SGK Toán lớp 9 tập 1
Câu hỏi:
- Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:
y = 2x (1);
y = 0,5x (2);
y = -x + 6 (3)
- Gọi các giao điểm của đường thẳng có phương trình (3) với hai đường thẳng có phương trình (1) và (2) theo thứ tự là A và B. Tìm tọa độ của hai điểm A và B.
- Tính các góc của tam giác OAB.
Hướng dẫn câu c)
Tính OA, OB rồi chứng tỏ tam giác OAB là tam giác cân.
Tính \(\widehat {AOB} = \widehat {AOx} - \widehat {BOx}\)
Lời giải:
- Đồ thị xem hình dưới
+) Hàm số \(y =2x\)
Cho \(x=1\Rightarrow y=2.1=2\). Suy ra điểm \((1;2)\)
Cho \(x=2\Rightarrow y=2.2=4\). Suy ra điểm \((2;4)\)
Đồ thị hàm số y = 2x đi qua điểm (1;2) và (2;4)
+) Hàm số \(y =0,5x\)
Cho \(x=2\Rightarrow y=0,5.2=1\). Suy ra điểm \((2;1)\)
Cho \(x=4\Rightarrow y=0,5.4=2\). Suy ra điểm \((4;2)\)
Đồ thị hàm số y = 0,5 x đi qua điểm (2;1) và (4;2)
+) Hàm số \(y =-x+6\)
Cho \(x=0\Rightarrow y=-0+6=6\). Suy ra điểm \((0;6)\)
Cho \(x=6\Rightarrow y=-6+6=0\). Suy ra điểm \((6;0)\)
Đồ thị hàm số y = - x + 6 đi qua điểm (0;6) và (6;0)
- Tìm tọa độ điểm A.
Phương trình hoành độ giao điểm của (1) và (3) là:
\(-x + 6 = 2x ⇔ 6 = 2x + x ⇔ x = 2\)
Với \(x = 2\) thì \(y = -2 + 6 = 4\) nên \(A(2; 4)\)
Tìm tọa độ điểm B.
Phương trình hoành độ giao điểm của (2) và (3) là:
\(-x + 6 = 0,5x ⇔ 6 = 0,5x + x ⇔ x = 4\)
Với \(x = 4\) thì \(y = -4 + 6 = 2\) nên \(B(4;2).\)
\(\eqalign{ & O{A^2} = {2^2} + {4^2} = 20 \Rightarrow OA = \sqrt {20} \cr & O{B^2} = {4^2} + {2^2} = 20 \Rightarrow OB = \sqrt {20} \cr & OA = OB\left( { = \sqrt {20} } \right) \cr} \)
\(⇒ ∆OAB\) cân tại \(O\)
Ta có \(\displaystyle \tan \widehat {BOx} = {2 \over 4} = {1 \over 2} \Rightarrow \widehat {BOx} \approx {26^0}34'\)
và \(\displaystyle \tan \widehat {AOx} = {4 \over 2} = 2 \Rightarrow \widehat {AOx} \approx {63^0}26'\)
Do đó \(\widehat {AOB} = \widehat {AOx} - \widehat {BOx} = {36^0}52'\)
Xét tam giác cân \(OAB\), ta có: \(\displaystyle \widehat {OAB} + \widehat {OBA}+\widehat {BOA}=180^0\)