Bài tập toán 12 trang 89 hình học

Hướng dẫn giải toán 12 bài phương trình đường thẳng trong không gian. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu cách giải các bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ,10 trang 89, 90 và 91 trong sách giáo khoa

Giải Bài Tập SGK Toán 12 Tập 1 Bài 1 Trang 89

Bài 1 trang 89 SGK Hình học 12

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

1. d đi qua M(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương

1. d đi qua A(2; –1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): x + y – z + 5 = 0;

1. d đi qua B(2; 0; –3) và song song với đường thẳng

1. d đi qua hai điểm P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4).

Xem lời giải

Giải Bài Tập SGK Toán 12 Tập 1 Bài 2 Trang 89

Bài 2 trang 89 SGK Hình học 12

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:

lần lượt trên các mặt phẳng

1. (Oxy);

1. (Oyz).

Xem lời giải

Giải Bài Tập SGK Toán 12 Tập 1 Bài 3 Trang 90

Bài 3 trang 90 SGK Hình học 12

Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng d và d' cho bởi các phương trình sau:

1. d:

1. d:

Xem lời giải

Giải Bài Tập SGK Toán 12 Tập 1 Bài 4 Trang 90

Bài 4 trang 90 SGK Hình học 12

Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:

Xem lời giải

Giải Bài Tập SGK Toán 12 Tập 1 Bài 5 Trang 90

Bài 5 trang 90 SGK Hình học 12

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:

1. d:

1. d:

1. d:

Xem lời giải

Giải Bài Tập SGK Toán 12 Tập 1 Bài 6 Trang 90

Bài 6 trang 90 SGK Hình học 12

Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 3 = 0.

Xem lời giải

Giải Bài Tập SGK Toán 12 Tập 1 Bài 7 Trang 91

Bài 7 trang 91 SGK Hình học 12

Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng

1. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng ∆.

1. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆.

Xem lời giải

Giải Bài Tập SGK Toán 12 Tập 1 Bài 8 Trang 91

Bài 8 trang 91 SGK Hình học 12

Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0

a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α).

b)Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (α).

c)Tính khoảng cách từ M đến mp(α).

Xem lời giải

Giải Bài Tập SGK Toán 12 Tập 1 Bài 9 Trang 91

Bài 9 trang 91 SGK Hình học 12

Cho hai đường thẳng:

và

Chứng minh d và d’ chéo nhau.

Xem lời giải

Giải Bài Tập SGK Toán 12 Tập 1 Bài 10 Trang 91

Bài 10 trang 91 SGK Hình học 12

Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A'BD) và (B'D'C).

Bài 1 trang 89 - SGK Hình học 12.

Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) trong các trường hợp sau:

1. \(d\) đi qua điểm \(M(5 ; 4 ; 1)\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}(2 ; -3 ; 1)\) ;

1. \(d\) đi qua điểm \(A(2 ; -1 ; 3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((α)\) có phương trình:

\(x + y - z + 5 = 0\) ;

1. \(d\) đi qua điểm \(B(2 ; 0 ; -3)\) và song song với đường thẳng \(∆\) có phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} x =1+2t\\ y=-3+3t\\ z=4t \end{matrix}\right.\) ;

1. \(d\) đi qua hai điểm \( P(1 ; 2 ; 3)\) và \( Q(5 ; 4 ; 4)\).

Giải:

1. Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x =5+2t\\ y=4-3t\\ z=1+t \end{matrix}\right.\), với \(t ∈ \mathbb{R}\).

1. Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((α): x + y - z + 5 = 0\) nên có vectơ chỉ phương

\(\overrightarrow{u}(1 ; 1 ; -1)\) vì \(\overrightarrow{u}\) là vectơ pháp tuyến của \((α)\).

Do vậy phương trình tham số của \(d\) có dạng:

\(\left\{\begin{matrix} x= 2+t & \\ y=-1+t &,t\in R .\\ z=3-t& \end{matrix}\right.\)

1. Vectơ \(\overrightarrow{u}(2 ; 3 ; 4)\) là vectơ chỉ phương của \(∆\). Vì \(d // ∆\) nên \(\overrightarrow{u}\) cùng là vectơ chỉ phương của \(d\). Phương trình tham số của \(d\) có dạng:

\(\left\{\begin{matrix} x=2+2s & \\ y=3s &,s\in R. \\ z=-3 + 4s & \end{matrix}\right.\)

1. Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(P(1 ; 2 ; 3)\) và \(Q(5 ; 4 ; 4)\) có vectơ chỉ phương

\(\overrightarrow{PQ}(4 ; 2 ; 1)\) nên phương trình tham số có dạng:

\(\left\{\begin{matrix}x= 1+4s & \\ y =2+2s&,s\in R. \\ z=3+s& \end{matrix}\right.\)

Bài 2 trang 89 - SGK Hình học 12

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng

\(d\): \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+2t & \\ z= 1+3t& \end{matrix}\right.\)

lần lượt trên các mặt phẳng sau:

1. \((Oxy)\) ;

1. \((Oyz)\).

Giải:

1. Xét mặt phẳng \((P)\) đi qua \(d\) và \((P) ⊥ (Oxy)\), khi đó \(∆ = (P) ∩ (Oxy)\) chính là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên mặt phẳng \((Oxy)\).

Phương trình mặt phẳng \((Oxy)\) có dạng: \(z = 0\) ; vectơ \(\overrightarrow{k}\)(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của \((Oxy)\), khi đó \(\overrightarrow{k}\) và \(\overrightarrow{u}( 1 ; 2 ; 3)\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((P)\).

\(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{k} \right ] = (2 ; -1 ; 0)\) là vectơ pháp tuyến của \((P)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng:

\(2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0\)

hay \(2x - y - 7 = 0\).

Đường thẳng hình chiếu \(∆\) thỏa mãn hệ:

\(\left\{\begin{matrix} z=0 & \\ 2x-y-7=0.& \end{matrix}\right.\)

Điểm \(M_0( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆\) ; vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{v}\) của \(∆\) vuông góc với \(\overrightarrow{k}\) và vuông góc với \(\overrightarrow{n}\), vậy có thể lấy \(\overrightarrow{v}=\left [\overrightarrow{k},\overrightarrow{n} \right ]= (1 ; 2 ; 0)\).

Phương trình tham số của hình chiếu \(∆\) có dạng:

\(\left\{\begin{matrix} x=4+t & \\ y=1+2t& ,t\in R\\ z=0& \end{matrix}\right.\).

1. Tương tự phần a), mặt phẳng \((Oxy)\) có phương trình \(x = 0\).

lấy \(M_1( 2 ; 3 ; -1) ∈ d\) và \(M_2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d\), hình chiếu vuông góc của

\(M_1\) trên \((Oxy)\) là \(M_1\)\((0 ; -3 ; 1)\), hình chiếu vuông góc của \(M_2\) trên \((Oyz)\) là chính nó.

Đườn thẳng \(∆\) qua \(M'_1, MM_2\) chính là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \((Oyz)\).

Ta có: \(\overrightarrow{M'_{1}M_{2}}(0 ; -4 ; -6)\) // \(\overrightarrow{v} (0 ; 2 ; 3)\).

Phương trình \(M'_1M_2\) có dạng:

\(\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=-3+2t&,t \in R \\ z=1+3t& \end{matrix}\right.\).

Bài 3 trang 90 - SGK Hình học 12.

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:

1. d: \(\left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\) và

d': \(\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\) ;

1. d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\) và

d': \(\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\)

Giải:

1. Đường thẳng \(d\) đi qua \(M_1( -3 ; -2 ; 6)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{1}}(2 ; 3 ; 4)\).

Đường thẳng \(d'\) đi qua \(M_2( 5 ; -1 ; 20)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{2}}(1 ; -4 ; 1)\).

Ta có \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ] = (19 ; 2 ; -11)\) ; \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (8 ; 1 ; 14) \)

và \(\left [\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right ].\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (19.8 + 2 - 11.4) = 0\)

nên \(d\) và \(d'\) cắt nhau.

Nhận xét : Ta nhận thấy \(\overrightarrow{u_{1}}\), \(\overrightarrow{u_{2}}\) không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:\(\left\{\begin{matrix} -3+2t=5+t' & (1)\\ -2+3t=-1-4t' & (2) \\ 6+4t=20+t'& (3) \end{matrix}\right.\)

Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có \(2t = 6 => t = -3\), thay vào (1) có \(t' = -2\), từ đó \(d\) và \(d'\) có điểm chung duy nhất \(M(3 ; 7 ; 18)\). Do đó d và d' cắt nhau.

1. Ta có : \(\overrightarrow{u_{1}}(1 ; 1 ; -1)\) là vectơ chỉ phương của d và \(\overrightarrow{u_{2}}(2 ; 2 ; -2)\) là vectơ chỉ phương của d' .

Ta thấy \(\overrightarrow{u_{1}}\) và \(\overrightarrow{u_{2}}\) cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm \(M(1 ; 2 ; 3) ∈d\) ta thấy \(M \notin d'\) nên \(d\) và \(d'\) song song.

Bài 4 trang 90 - SGK Hình học 12

Tìm \(a\) để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:

d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\) d': \(\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\)

Giải:

Xét hệ \(\left\{\begin{matrix} 1+at=1-s &(1)\\ t = 2+2s & (2)\\ -1+2t=3-s & (3) \end{matrix}\right.\)

Hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất.

Nhân hai vế của phương trình (3) với 2 rồi cộng vế với vế vào phương trình (2), ta có \(t = 2\); \(s = 0\). Thay vào phương trình (1) ta có \(1 + 2a = 1 => a =0\).