Trong bài 1 của chương học "Phép toán tích phân" chúng ta cùng nhau tìm hiểu và tính tích phân bất định, phương trình vi phân, bài toán giá trị ban đầu và thiết lập, giải phương trình vi phân biến số. Bài viết là tổng hợp những kiến thức trọng tâm sẽ xuất hiện trong đề thi môn học này tại NEU, do vậy các bạn sinh viên hãy đọc thật kĩ nhé !  1. Khái niệm nguyên hàmĐịnh nghĩaHàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) nếu 𝐹^′ (𝑥)=𝑓(𝑥) ∀𝑥∈𝐷 hay: 𝑑𝐹/𝑑𝑥=𝑓(𝑥) ∀𝑥∈𝐷 Minh họa: 2. Chứng tỏ rằng nếu 𝐹(𝑥) là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥) thì F(𝑥)+𝐶 cũng là một nguyên hàm của 𝑓(𝑥) (Với C là một hằng số nào đó) Xem thêm: Giới hạn của hàm số Tính chất cơ bản của nguyên hàm Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số liên tục f (x) thì mọi nguyên hàm của hàm số f (x) đều có dạng: G(x) = F(x) + C với C là hằng số nào đó 2. Khái niệm tích phân bất địnhHọ tất cả các nguyên hàm của f (x) được ký hiệu là ∫𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 và được gọi là tích phân bất định của f (x). Ở đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x). Chẳng hạn, ∫sin𝑥 𝑑𝑥 = −cos𝑥+ 𝐶 Vì 𝐹(𝑥)=−cos𝑥 là một nguyên hàm của f(𝑥)=sin𝑥. Minh họa: Một số quy tắc tích phân
3𝑞2 −60𝑞 + 400 đô-la mỗi đơn vị khi 𝑞 đơn vị được sản xuất. Chi phí để sản xuất 2 đơn vị đầu tiên là 900 đô-la. Hãy tính chi phí để sản xuất 5 đơn vị đầu tiên? 3. Phương trình vi phânMột loại phương trình vi phân tổng quát hơn, được gọi là phương trình phân ly biến số, có dạng: 𝑑𝑦/𝑑𝑥=ℎ(𝑥)/𝑔(𝑦) và có thể giải được bằng cách biến đổi đại số đưa phương trình về tách biến (mỗi vế của nó chỉ chứa một biến), cụ thể là: 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = ℎ(𝑥)𝑑𝑥 Sau đó lấy tích phân hai vế, ta được: ∫𝑔(𝑦)𝑑𝑦=∫ℎ(𝑥)𝑑𝑥 Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân phân ly biến số Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 𝑑𝑦/𝑑𝑥=2𝑥/𝑦2 Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân để tìm doanh thu Willis Jenkins sở hữu một giếng dầu dự kiến sẽ khai thác được 200 thùng dầu thô mỗi tháng, và với tốc độ đó, giếng dầu sẽ cạn trong 3 năm. Người ta ước tính rằng t tháng kể từ bây giờ, giá dầu thô sẽ là 𝑝(𝑡)=140+24√𝑡 đô-la mỗi thùng. Nếu Willis có thể bán dầu ngay khi được khai thác khỏi mặt đất thì tổng doanh thu dự kiến anh ta nhận được trong thời gian hoạt động của giếng dầu là bao nhiêu? Sử dụng phương trình vi phân để tính lãi gộp liên tụcMột tài khoản tiết kiệm có giá trị B(t) tại thời điểm t được gọi là có lãi gộp liên tục nếu tốc độ tăng trưởng phần trăm của tài khoản bằng lãi suất hiện hành. Chẳng hạn, nếu lãi suất là 5%, ta có: Thông thường, lãi suất được biểu diễn ở dạng thập phân, vì vậy ta viết 5% thành r 0.05 và công thức gộp liên tục có thể biểu diễn theo tốc độ tăng trưởng tương đối của B(t): Nếu P đô-la (tiền gốc) được đầu tư vào một tài khoản trả lãi theo phương thức gộp liên tục với lãi suất hàng năm là r thì tài khoản có giá trị: 𝑩(𝒕)=𝑷𝒆𝒓𝒕 đô-la sau t năm. Tìm công thức tính lãi gộp liên tụcGiải bài toán giá trị ban đầu để chứng tỏ rằng nếu P đô-la được đầu tư với tỷ lệ lãi suất được tính gộp liên tục hàng năm là r (r được viết dưới dạng số thập phân) thì giá trị (tương lai) của khoản đầu tư này sau t năm là: 𝑩(𝒕)=𝑷𝒆𝒓𝒕 đô-la |
