Bài tập phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn năm 2024

Chương

5Phương trình đng dư

89

90

90

95

95

96

101

Trn Trung Kiên

Nguyn Đình Tùng (

)

5.1 Phương trình đng dư tuyn tính

Đnh nghĩa 5.1

Phương trình đng dư dng

ax

≡

b

(mod

m

)

đưc gi là phương trình đng dư tuyn tính vi

a,b,m

là các s đã bit.

x

0

là mt nghim ca phương trình khi và ch khi

ax

0

≡

b

(mod

m

)

.Nu

x

0

là mt nghim ca phương trình thì các phn t thuc lp

x

0

cũng là nghim.



Ví d 5.1.

Gii phương trình đng dư sau:

12

x

≡

7 (mod 23)

Li gii.

Do

(12;23) = 1

nên phương trình luôn có nghim duy nht.Ta tìm mt s nguyên sao cho

7 + 23

k

chia ht cho 12. Chn

k

\= 7

suy ra

12

x

≡

7

.

24 (mod 23)

⇒

x

≡

14 (mod 23)



89

90 5.2. Phương trình đng dư bc cao

Ví d 5.2.

Gii phương trình

5

x

≡

2 (mod 7)



Li gii.

Vì

(5;2) \= 1

nên tn ti s

k

\= 4

sao cho

2+7

k

chia ht cho5. Khi y

5

x

≡

2 + 6

.

7 (mod 7)

ta đưc nghim

x

≡

305

≡

6 (mod 7)

hay

x

\= 6 + 7

k



Ví d 5.3.

Gii phương trình:

5

x

≡

4 (mod 11)



Li gii.

Ta có:



5

x

≡

4 (mod 11)4

≡

4 (mod 11)

Áp dng tính cht bc cu ta có:

5

x

≡

4 (mod 11)

⇒

5

x

\= 11

t

+ 4

Ta có th ly

t

\= 1;

x

\= 3

. T đó phương trình có nghim duy nht là

x

≡

3 (mod 11)



Nhn xét.

Cách xác đnh nghim này là đơn gin nhưng ch dùng đưctrong trưng hp

a

là mt s nh hoc d thy ngay s

k

.

5.2 Phương trình đng dư bc cao

Ví d 5.4.

Gii phương trình

2

x

3

+ 4

≡

0 (mod 5)



Li gii.

Ta thy

x

\= 2

suy ra

2

x

3

≡−

4 (mod 5)

.Nên

x

\= 2

là nghim duy nht ca phương trình đã cho.



5.3 H phương trình đng dư bc nht mt n

Đnh nghĩa 5.2

H phương trình có dng sau đưc gi là h phương trình đng dư bc nht mt n



x

≡

b

1

(mod

m

1

)

x

≡

b

2

(mod

m

2

)

....x

≡

b

k

(mod

m

k

)

Vi

m

1

;

m

2

;

...m

k

là nhng s nguyên ln hơn 1 và

b

1

;

b

2

;

...

;

b

k

là nhng s nguyên tùy ý.



Chuyên đ S hc

5.3. H phương trình đng dư bc nht mt n 91

Nhn xét.

•

Trong trưng hp tng quát, chúng ta có th chngminh đưc rng: Điu kin cn và đ đ h phương trình (5.2) cónghim là

UCLN

(

m

i

;

m

j

)

chia ht

b

i

−

b

j

vi

i



\=

j

(1

≤

i,j

≤

k

)

.

•

Gi s

m

\=

p

α

11

p

αa

2

2

...p

αkk

là phân tích tiêu chun ca m. Khiy phương trình đng dư

f

(

x

)

≡

0 (mod

m

)

tương đương vi hphương trình đng dư

f

(

x

)

≡

0 (mod

p

α

1

i

)

,i

\= 1

,

2

,...,k.

T đósuy ra rng nu

x

≡

b

1

(mod

p

α

11

)

là mt nghim ca phươngtrình

f

(

x

)

≡

0 (mod

p

i

)

,i

\= 1

,

2

,...,k

thì nghim ca h phươngtrình ca h phương trình đng dư



x

≡

b

1

(mod

p

α

1

1

)

x

≡

b

2

(mod

p

α

2

2

)

...x

≡

b

k



mod

p

α

k

k



cho ta nghim ca phương trình

f

(

x

)

≡

0(

modm

)

.Vy trong

•

Trưng hp tng quát gii mt phương trình đng dư dn đn gii h trên. Vi các module

m

1

,m

2

,...,m

k

đôi mt nguyên t cùng nhau.

Phương pháp chung đ gii:

•

Trưng hp 1: h 2 phương trình



x

≡

b

1

(mod

m

1

)

x

≡

b

2

(mod

m

2

)

Vi gi thit

d

\= (

m

1

,m

2

)

chia ht cho

b

1

−

b

2

. Trưc tiên ta nhnxét rng, mi s

x

\=

b

1

+

m

1

t,t

∈

Z

là nghim ca phương trìnhth nht. Sau đó ta tìm cách xác đnh t sao cho x nghim đúngphương trình th hai, nghĩa là h hai phương trình trên tươngđương vi h phương trình



x

\=

b

1

+

m

1

tb

1

+

m

1

t

≡

b

2

(mod

m

2

)

Chuyên đ S hc