Bài tập chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Tóm tắt nội dung tài liệu

1. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Bài 1: Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy không bằng nhau. CMR: đường thẳng nối hai đường chéo và 2 cạnh bên thì bằng nhau. + AB // CD: ⇒ = = P ⇒ = . (1) +Mặt khác : = = . ⇒ = . (2) Từ (1)(2) ⇒ = M A B ⇒ DN= NC ⇔ DN = NC O ⇒ MA = MB D C ⇒ đpcm. N Bài 2: Các đường cao của tam giác nhọn ABC cắt nhau ở O. Trên đoạn OB và lấy B, C sao cho = = 90 . CMR AB = AC .(bài 31) OC A ∆ vuông ABC có: AB = AC.AN (1) M N ∆ vuông ACB có: AC = AM.AB O B1 C1 Xét ∆ ANB và ∆ AMC có: B chung C = = 90 ⇒ ∆ AMB ∽ ∆ AMC (g.g) ⇒= . ⇒ AN. AC = AM.AB (2) Từ (1) và (2) ⇒ AB = AC ⇒ AB = AC ⇒ đpcm Bài 3: Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh Ox và Oy của góc tại A và B. Từ A vẽ tia //OB cắt đường tròn tại C, đoạn OC cắt đường tròn tại E. Hai đường thẳng AE và OB cắt nhau tại K. CMR: OK = KB. A 1 Ta có AC// OB C 1 ⇒ = (so le trong) E 1 = = (góc nt) O 2 ⇒= Xét ∆ KAO và ∆ KOE có K K chung B = ⇒ ∆ KAO ∽ ∆ KOE (g.g) -1-
2. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ⇒ = ⇒ KO = KA.KE (1) Mà P k / = KB = KA.KE (2) Từ (1), (2) ⇒ KO = KB ⇒ KO = KB (đpcm) Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Từ M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ 2 MC tới đường tròn, kẻ CH ⊥ AB. CMR: MB chia CH thành 2 phần bằng nhau. Ta có : = 90 (góc nt chắn ) ⇒ = 90 = + = 90 N + = 90 Mà MC = MA (tính chất tiếp tuyến) 1 ⇒ CMN cân vì C = N(cùng cộng với C= 90 ) MN = MC ⇒ MN = MA IC // MN : = IM //AM : = M ⇒= 1 ⇒ CI = IH C 2 ⇒ đpcm I B A Bài 5: Cho hình vuông ABCD, đường tròn đường kính AB và đường tròn tâm D bán kính AD cắt nhau tại điểm M (≠ D). CMR : đường thẳng MA đi qua trung điểm của cạnh BC. Ta có : OD⊥ MA (vì (O) ∩ (D) = ) A O Xét ∆ AOD và ∆ BNA có : B 1 = = 90 (gt) I AD = AB (gt) M N = (do + = 90 ) 1 ⇒ ∆ AOD = ∆ BNA (g.c.g) ⇒ AO = BN = OB (AB = BC) C D ⇒ BN = NC ⇒ đpcm Bài 6 : Từ 1 điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Gọi M là 1 điểm bất kỳ trên đường thẳng -2-
3. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau đó qua các trung điểm của AB và AC. Kể tiếp tuyến MK của đường tròn (O). CMR MK = MA. Gọi I, H là giao điểm của BC và B đường thẳng đi qua trung điểm của AB và AC với đường thẳng OA. + ∆ vuông OBA có : A H I O OB = OI.OA = (OH - HA)(OH + HA) = CH - HA ⇒ HA = CH - OB = CH - R . K + ∆ vuông AHM có : C MA = HA + MH = OH - R + MH (1) + ∆ vuông OHM có : OH + HM = OM (2) M Từ (1)(2) ⇒ MA = OM - R (*) + ∆ vuông OKM có : MK = OM - OK = OM - R (**) Từ (*)(**) ⇒ MA = MK ⇒ MA = MK ⇒ đpcm. Bài 7: Cho AB là đường kính của một đường tròn và dây CD không vuông góc với nó. Nếu từ hai đầu của đường kính ta hạ các đường vuông góc AE và BF xuống dây CD thì các đoạn thẳng CF và DE sẽ bằng nhau. Hãy CM điều đó. - Kẻ AE cắt (O) ≡ F D H.Khi C đó = 90 (góc nt). E -  MEFB là hcn vì: = = = 90. - Ta có: A = (cùng nhìn cung ). B M = ( cùng nhìn cung ). Mà + = 90 = = (*) -3-
4. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Mặt khác + = 90 ⇒ = 90 - (1) Ta lại có + = 90 Từ (*) ⇒ + = 90 ⇒ = 90 - (2) Từ (1)(2) ⇒ = . Xét ∆ CEM và ∆ DFN có : = = 90 ME = DF = (cmt) ⇒ ∆ CEM = ∆ DFB (g.c.g) ⇒ CE = DF ⇒ CF = DE (đpcm) Bài 8: Cho 2 đường tròn (C) và (O’) cắt nhau ở A và B. Qua A kẻ 2 đường thẳng CD và EF cắt (O) tại C và E, cắt (O’) tại D và F. Biết rằng = . CM CD = EF. F D A C E B ABDF nội tiếp ⇒ = (cùng nhìn ) ; = = . = + = + = (góc ngoài tam giác ) = (gt). Mà = ⇒ = ⇒ ∆ BFD cân tại B ⇒ BF = BD. Xét ∆ BEF và ∆ BCD có: = (cùng nhìn ) BF = BD (cmt) EBF = CBD (vì =+ = + =+ = + = ). ⇒ ∆ BEF = ∆ BCD. ⇒ CD = EF ⇒ đpcm. Bài 9 : Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau ở C. Vẽ đường (O) đi qua C tiếp xúc với đường thẳng AB ở B và cắt (O) ở M. CMR: tròn đường thẳng AM chia đoạn BC thành 2 phần bằng nhau. -4-
5. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau A 1 C 1 M I O1 O1 1 B Ta có : CA là tiếp tuyến của (O) tại A. ⇒= = . (1) AB là tiếp tuyến của (O 2) tại B ⇒= = (2) Từ (1)(2) ⇒ ∆ CIM và ∆ AIC có : = chung ⇒ ∆ CIM ∽ ∆ AIC (g.g) ⇒ = . ⇒ IC = IA.IM (*) Mà P I/ = IB = IM.IA (**) Từ (*)(**) ⇒ IC = IB ⇒ IB = IC ⇒ đpcm. Bài 10: Một đường tròn tiếp xúc với 2 cạnh và 2 đường trung tuyến của 1 tam giác. CMR tam giác đó cân. Giả sử (O,R) tiếp xúc với 2 cạnh AB, AC của ∆ ABC và trung tuyến CM và BN. A Gọi I là giao của 2 trung tuyến. Xét 2 tam giác ∆ AMI và ∆ ANI có: 12 A = A (t/c giao của 2 tiếp tuyến). I = I (t/c giao của 2 tiếp tuyến). M cạnh AI chung. N 12 ∆ AMI = ∆ ANI (g.c.g) ⇒ AM = AN. I Mà M, N là trung điểm của AB và AC ⇒ AB = AC. B C Vậy ∆ ABC cân tại A ⇒ đpcm. Bài 12: Cho ∆ ABC, đường trung tuyến AM. Qua F nằm giữ B và M, vẽ đường thẳng song song với AB. Cắt AM, AC thứ tự ở D, E. Qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB ở K. CMR: DE = BK. -5-
6. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Ta có : BM = MC(gt) A Từ M kẻ MN //AC E I ⇒ AN = NB (*) Mà KF//AC ⇒ MN //KF. Từ D kẻ ID//MN D N ⇒ ID//AE (**) Vì KF//MN K ⇒ = (1) (ĐL ta - lét). B C Vì ID//MN F M ⇒ = (2) Vì DF//AB ⇒ = (3) ; Từ (1)(2)(3) ⇒ = ⇒ BK = AI (4) Ta lại có : ID//AE; mà IA//DE ⇒ AIDE là hbh ⇒ AI = DE. (5) Từ (4)(5) ⇒ BK = DE ⇒ đpcm Bài 18 : Một đường thẳng cắt các cạnh song song của một hình vuông có độ dại a ; 1 đường thẳng thứ 2 ⊥ với đường thẳng thứ nhất cắt cả 2 cạnh kia của hình vuông. CMR các đoạn của các đường thẳng đó, giới hạn bởi các giao điểm với các cạnh của hình vuông bằng nhau. Gọi : đường thẳng thứ 1 là d d ∩ AB ≡ M ; d ∩ DC ≡ N. d1 đường thẳng thứ 2 là d. d ∩ AD ≡ P ; d ∩ BC ≡ Q. d2 M A B Từ M kẻ MM’ ⊥ DC Q Từ P kẻ PP’ ⊥ BC Xét ∆ MNM’ và ∆ PQP’ có: MM’ = PP’ = a. = (góc có cạnh tương ứng vuông P' P góc MN ⊥ PQ(gt): NM’⊥ QP’) D M' C ⇒ ∆ MNM’ = ∆ PQP’ (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ MN = PQ (đpcm) Bài 13 : Cho tam giác ABC, trực tâm O. Trên OB lấy B’, trên OC lấy C’ sao cho = = 90. CMR AB’ = AC’, Theo hệ thức lượng trong ∆ vuông ∆ vuông AB’C có : AB’ = AN.AC (1) A ∆ vuông AC’B có : AC’ = AM.AB (2) M Xét ∆ ANB và ∆ AMC có : chung = = 90 N O ⇒ ∆ ANB ∽ ∆ AMC (g.g) B' ⇒ = ⇒ AN.AC = AM.AB (3) C' C B Từ (1)(2)(3) ⇒ AB’ =AC’ ⇒ AB’ = AC’. Bài 15 : -6-
7. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ∆ ABC G A Q là giao của phân giác góc B T và phân giác góc C. a // BC. a ∩ AC ≡ M a ∩ AB ≡ N N Q M Q ∈a K MN = MC + NB B C L CM : BQ là phân giác ⇒ = a//BC ⇒ = (sole) ⇒ ∆ QNB cân ở N ⇒ QN = NB (1) CQ là phân giác ⇒ = ⇒ = (sole) a//BC ⇒ ∆ QMC cân ở M ⇒ MC = MQ (2) Từ (1)(2) ⇒ MC + NB = MQ + NQ = MN ⇒ đpcm. Bài 16: GT ∆ vuông ABC E H.v ABDE, ACHK ở phía ngoài ∆ ABC. = 90. HM⊥ BC, DN⊥ BC K D KL BC = HM +DN A H M C B N Cm: Kẻ đường cao AP. - Xét ∆ HMC và ∆ CPA ta có: - + = 90 + = 90 = (1) HC = AC (gt) (2) Từ (1)(2) ⇒ ∆ HMC = ∆ CPA (cạnh huyền góc nhọn) ⇒ MH = CP (*) Tương tự ta có ∆ APB = ∆ BND (cạnh huyền góc nhọn) ⇒ PB = DN (**) Từ (*)(**) ⇒ BC = CP + PB = MH + DN ⇒ đpcm. -7-
8. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Bài 19 : Trên các cạnh AB và CB của ∆ ABC và vẽ bên ngoài ∆ hai hình vuông ABDE và BCKF. CMR DF = 2BP. Kéo dài BP sao cho BP = PQ AP = PC ⇒ ABQC là h.b.h E ⇒ AQ = BC. Ta có + = 180 (t/c h.b.h) A Q + = 360 - ( + ) D = 360 - ( 90 + 90) = 180 B C ⇒= Xét ∆ ABQ và ∆ BDF có : F K AB = DB (gt) AQ = BF = BC = (cmt) Vậy ∆ ABQ = ∆ BDF (c.g.c) ⇒ DF = BQ hay DF = 2BP (đpcm) Bài 33 : Cho 1 tứ giác nội tiếp 1 đường tròn có hai đường chéo vuông góc. CMR đường thẳng vuông góc với một cạnh và đi qua giao điểm của hai đường chéo thì đi qua trung điểm cạnh đối diện. + = 90 + = 90 A ⇒ = (1)  ABCD nội tiếp : = D I Từ (1)(2) suy ra : = B = (đđ) N C Vậy = .Hay ∆ DIN cân tại N : ND = NC (1) CMtt : ∆ INC cân tại N : NI = NC (2) Từ (1)(2) ⇒ NC = ND ⇒ đpcm Bài 23 : Cho ∆ ABC có góc = 20 ( , đều nhọn) kẻ đường cao AH. Kéo dài AB về hai phía B và trên đó lấy điểm E ; BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. CMR : a. DA = DC = DH b. AE = HC -8-
9. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau a. Vì BH = BE (gt) A ⇒ ∆ BHE cân ⇒ = Vì + = (t/c góc ngoài ∆ ) 2 1 ⇒ =2 =2 mà = 2 (gt) Mặt khác : = (đđ) ⇒ = D ⇒ ∆ HDC cân tại D. ⇒ HD = DC (1) 3 1 1 B C 2 1 H F 1 E Trong ∆ vuông AHC có : = 90 - . Vì AH ⊥ AC ⇒ = 90 - mà = . ⇒ = ⇒ ∆ AHD cân ở D ⇒ AD = HD (2) Từ (1)(2) ⇒ HD = DC = AD (đpcm) c. Lấy F ∈ HC sao cho : BH = HF Trong ∆ ABF có : AH ⊥ BF (gt) BH = HF (cách dựng) ⇒ ∆ BAF vuông cân ở A ⇒ AB = AF và = . Ta có : + = = = (gt) ⇒ = ⇒ AF = FC ⇒ AB = FC Lại có AE = AB + BE = AB + BH = FC + HF = HC ⇒ đpcm. Bài 24 : Ở nửa ngoài của ∆ ABC vẽ các hình vuông ABDE và ACFG. Gọi H, K, L là các trung điểm của BE, BC, CF. CMR : a. ∆ HKL vuông cân. b. Có nhận xét gì về điểm thứ tư của hình vuông có 3 điểm là H, K, L. a. Thực hiện phép quay tâm A với góc G quay 90 ta có : P Q : C →G E E →B F A ⇒ Q : CE → GB H ⇒ CE = GB D L CE ⊥ GB B K C Ta có : HK // CE , HK = CE; KL // BG, KL = BG. Mà CE = GB ⇒ HK = KL , HK ⊥ KL. Vậy ∆ HKL vuông cân. b. Giả sử P là đỉnh thứ 4 của hình vuông có 3 đỉnh là H, K, L. HKLP là hình vuông ⇒ HD = HK = KL ; HP // KL. (1) Mà KL//BG, KL = BG. (2) Từ (1)(2) ⇒ HP // BG ; HP = BG. Mà HE = HB (gt) ⇒ AP là đường trung bình của ∆ EBG ⇒ PE = PG. -9-
10. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Vậy P là trung điểm của EG. Bài 25 : Cho ∆ ABC, M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = 2 AD. Các đoạn thẳng AM và CD cắt nhau tại điểm I. CMR : a. I là trung điểm của đoạn thẳng AM. b. CI = 3DI a. Áp dụng định lý Melelaus cho ∆ A AMB: . . =1 D ⇔ . . =1 ⇒ IM = IA (đpcm). I b. Áp dụng định lý Menelaus cho ACDB: B C M . . =1 ⇔ . . =1 ⇒ 3ID = IC (đpcm) Bài 21: Cho 2 điểm P và Q ở trên cạnh bên của một tam giác cân. Qua trung điểm I của PQ ta kẻ 1 đường thẳng song song với đáy tam giác và cắt 2 cạnh bên tại M, N. CMR : Hình chiếu vuông góc của PQ trên cạnh đáy ∆ bằng MN. CM: MN = P’Q’. Gọi H, K lần lượt là giao điểm của PP’, QQ’, A MN. Do MN // BC (gt) Q ⇒  HKP’Q’ là hình chữ nhật. H MI N K ⇒ HK = P’Q’ (1) P = = 90 . Xét ∆ vuông PHI và ∆ vuông QKI có: B IP = IQ (gt) C P' Q' = (đđ) ⇒ ∆ PHI = ∆ QKI (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ PH = QK. Ta có : = (so le trong) = (đồng vị) = ( ∆ ABC cân tại A) ⇒= ⇒=. Xét ∆ HPM và ∆ NQK có : = = 90 HP = QK (cmt) = ⇒ ∆ HPM = ∆ NQK (g.c.g) ⇒ HM = NK. Ta có : HK = HM + MK MN = KN + MK ⇒ HK = MN (2) Từ (1)(2) ⇒ MN = P’Q’ ⇒ đpcm. Bài 22 : Cho ∆ ABC (AB < AC) đường phân giác trong của góc và đường trung trực của cạnh BC cắt nhau tại điểm D. Kẻ DE⊥ AB, DF⊥ AC. Đường -10-
11. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau phân giác ngoài của góc cắt đường trung trực của cạnh BC tại D’. Kẻ D’E’ ⊥ AB, D’F’ ⊥ AC. CMR : AC = EE’, AB = FF’. Bài 28 : Trên các cạnh của tam giác bất lỳ ABC và ở miền ngoài của tam giác vẽ các tam giác đều ABC; ABC và ABC. CMR: a. AA= BB = CC . b. Các đường cao AA,BB, CC đồng quy tại O. c. ∆ ABC là tam giác có 3 góc nhọn thì O nằm trong ta giác mà : OA= OB + OC. a. Thực hiện phép quay tâm A và B với góc quay 60 ta có : C 1 Q : C →B C →B B1 A Q : CC → BB 1O ⇒ CC = BB (1) 5 2 34 (CC , BB) = 60 Q : A →C B C A →C Q: AA → CC ⇒ AA = CC (2) Từ (1)(2) ⇒ AA= BB = CC ⇒đpcm. A 1 b. Giả sử BB ∩ CC ≡ mà (BB ,CC) = 60 ⇒ = . Ta có : - = 60 và chắn ⇒  AOBC nội tiếp. ⇒ = = 60 (chắn ). (3) Ta có = + = + 60. ⇒= = + = 60 + . = và chắn ⇒  OBAC nội tiếp. ⇒ = = 60 (4) Từ (3)(4) ⇒ = = 60 và đối đỉnh. ⇒ A, O, A thẳng hàng. ⇒ Các đường cao AA,BB, CC đồng quy tại O. c. Lấy C ∈ OC sao cho OC = OA mà = 60. ⇒ ∆ OAC đều. ⇒ = 60. Q : C →O C →B Q : CC → OB ⇒ CC = OB. OA = OC = OC + CC = OC + OB ⇒ đpcm. Bài 32: Cho 2 đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A, B. Qua A vẽ 2 cát tuyến CAD và AEF (c và E ∈ (O)); D và F ∈ (O) góc = ). CMR CD = EF. -11-
12. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Từ B kẻ BH ⊥ EF; C BK⊥ CD. F A = (gt) H K + = +. E ⇒= D B + ∆ vuông AHB và ∆ vuông AKB có: = ∆ HAB = ∆ KAB (g.c.g) AB chung ⇒ HB = KB. = + ∆ vuông EBH và ∆ vuông CBK có : = (vì +=+ =90, = = ). BH = BK (cmt) = = 90 ⇒ ∆ HBE = ∆ KBC (g.c.g) ⇒ EH = CK (*) Tương tự : ∆ KBD = ∆ HBF ⇒ KD = HF (**) Mà EF = EH + HF. CD = CK + KD ⇒ EF = CD (đpcm) Bài 34 GT  ABCD ngoại tiếp (O) A J J, K, H, I lần lượt là tiếp B điểm của cạnh AB, BC, I CD, DA với (O). j JH = KI K O KL = D H C + = + (chắn hai cung bằng nhau). Mà = (cùng chắn ) ⇒= Xét ∆ IJH và ∆ IJK có : JI chung IJH = JIK (cmt) JH = JK ⇒∆ IJH = ∆ IJK (c.g.c) ⇒ IH = JK hay = = ( + + - ) = ( + ). = ( + - ) = ( + ). -12-
13. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Vậy = ⇒ đpcm. Bài 38: Trên cạnh AB của hình vuông ABCD lấy 1 điểm E tùy ý . Đường phân giác của góc cắt cạnh BC tại điểm K. CMR AE + CK = DE. A B E M N D C Trên DE lấy điểm M sao cho AE =EM ( ∆ EAM cân). Và AM ∩ DK ≡ N. Ta có + 2 = 180 . Mà = (so le trong). + 2 = 180 ⇔ 2 + 2 = 180 ⇒ + = 90. Hay + = 90 hay = 90 ⇒ AN = DK. Xét ∆ AND và ∆ DCK có = = 90 = (so le trong) ⇒ ∆ AND ∽ ∆ DCK ⇒ = (1) Tương tự ∆ DMN ∽ ∆ DKC (vì = = 90 ) (vì D = D ) ⇒ = (2) mà = (3) Từ (1)(2)(3) ⇒ DM = CK hay DE = AE + CK ⇒ đpcm Bài 37 : Trên đường thẳng AB lấy 1 điểm C và qua điểm đó kẻ đường thẳng CD tạovới AB một góc tùy ý. Trên các đường phân giác của góc và lấy các điểm M và N. CMR MN//AB thì CD chia đoạn MN thành hai phần bằng nhau. D M O N 1 1 3 1 B 2 4 A C (⇒) MN //AB ⇒ OM = ON + MN//AB ⇒ = (sole trong) = (CM là phân giác góc ACD) ⇒ OMC cân tại O hay OM = ON (1) + MN // AB ⇒ = (sole trong). = (CN là phân giác ) ⇒ = hay ∆ OCN cân ⇒ ON = OC (2) Từ (1)(2) ⇒ OC = ON (*) -13-
14. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (⇐) OM = ON ⇒ MN//AB Xét ∆ MCN có = 90 OM = ON ⇒ CO là đường trung tuyến. ⇒ CO = MN = MO = NC (trong ∆ đường trung tuyến = cạnh huyền.) Xét ∆ MOC có MO = CO ⇒ ∆ MOC cân tại O. ⇒= Mà = ⇒ = (2 góc ở vị trí so le) ⇒ MO // AB (3) Xét ∆ NOC có NO = CO ⇒ ∆ NOC cân tại O = = ( , ở vị trí so le trong ). ⇒ ON // AB (4) Từ (3)(4) ⇒ MN // AB (**) Từ (*)(**) ⇒ MN//AB thì MO = ON (đpcm) Bài 43: Vẽ ra ngoài tam giác ABC (góc , < 90 O ) các tam giác vuông cân ADB, ACE ( góc = = 90 ). Gọi I và K là chân các đường vuông góc kẻ từ D và E đến BC. CMR : BI = CK. D A 1 E I 1 2 1 2 B H C K Từ A kẻ AH ⊥ BC. Ta có + = 90 ; + = 90 = ⇒ Xét ∆ vuông AHC và ∆ vuông CKE có: AC = CE (gt) = (cmt) ⇒ ∆ AHC = ∆ CKE (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ AH = CK (1) Ta lại có + = 90 ; + = 90 . ⇒= Xét ∆ vuông IDB và ∆ vuông HBA có : DB = BA (gt) = (cmt) ⇒ ∆ IDB = ∆ HBA (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ IB = AH (2) Từ (1)(2) có IB = CK ⇒đpcm. Bài 44: Cho ∆ ABC từ trung điểm D của BC kẻ 1 đường vuồn góc với phần giác góc , đường phân giác đó cắt cạnh AM tại M và cạnh AC tại N. CMR BM =CN -14-
15. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau A I N B C HD M Xét ∆ AHN có AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác. ⇒ ∆ AMN cân. Từ B kẻ BI//MN ⇒ BM = IN (1) +) Xét ∆ BCI có DN //BI ; BD = DC. ⇒ DN là đường trung bình. ⇒ IN = NC (2) Từ (1)(2) ⇒ BM = NC ⇒ đpcm. Bài 45: Cho ∆ ABC đều và một điểm D trên đoạn BC. đường thẳng đi qua D và song song với AC cắt cạnh AB tại E . Đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC tại F. Gọi P là trung điểm của BF, Q là trung điểm của CE. CMR PQD là tam giác đều. A F P E Q B C D Vì ED //DC ⇒ ∆ EBD đều . Tương tự ta có ∆ DFC đều. Q E →B C →F Q EC → BF Mà P, Q lần lượt là trung điểm EC và BF. Q P →Q ⇒ DP = DQ ; = 60 ⇒ đpcm. Bài 50: Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB GT K B A E ∈ CD. P=P =P KL CD = 2 AB M N M' C D -15-
16. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Từ B kẻ BM //AD. ⇒ P = P (1) Ta CM M là điểm duy nhất trên CD tm (1). Thật vậy, Lấy N bất kì khác M không làm mất tình tổng quát . Giả sử N nằm giữa M và C . Ta sẽ CM: P ≠ P . Từ N kẻ NK // AB (k ∈ AB) rõ ràng B nằm giữa A, K vì M nằm giữa D, N. P =P >P. ⇒ M là điểm duy nhất thỏa mãn (1). Tương tự từ A kẻ AM’ // BC , cũng chứng minh M’ là điểm duy nhất thỏa mãn. P=P. ⇒ Để thỏa mãn giả thiết để chu vi 3 ∆ bằng nhau thì M ≡ M’ hay đó là điểm E. ⇒ AB = DE = EC = . ⇒ đpcm -16-

Page 2

YOMEDIA

Tài liệu tham khảo ôn thi đại học cao đẳng - Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

19-04-2011 404 49

Download

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2009-2019 TaiLieu.VN. All rights reserved.