- \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.\);
- \(\left\{\begin{matrix} x - 2\sqrt{2} y = \sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2} + y = 1 - \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.\)
- \(\left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}- 1)x - y = \sqrt{2}& & \\ x + (\sqrt{2}+ 1)y = 1& & \end{matrix}\right.\)
Bài giải:
- \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.\)
Từ phương trình (2) ⇔ \(x = \sqrt{2} - y\sqrt{3}\) (3)
Thế (3) vào (1): \(( \sqrt{2} - y\sqrt{3})\sqrt{2} - y\sqrt{3} = 1\)
\(⇔\sqrt{3}y(\sqrt{2} + 1) = 1\)
\(⇔ y = \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{2}+1)}= \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}\)
Từ đó \(x = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}. \sqrt{3} = 1\).
Vậy có nghiệm \((x; y) = (1; \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}\))
- \(\left\{\begin{matrix} x - 2\sqrt{2} y = \sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2} + y = 1 - \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.\)
Từ phương trình (2) ⇔ \(y = 1 - \sqrt{10} - x\sqrt{2}\) (3)
Thế (3) vào (1): \(x - 2\sqrt{2}(1 - \sqrt{10} - x\sqrt{2}) = \sqrt{5}\)
⇔ \(5x = 2\sqrt{2} - 3\sqrt{5} ⇔ x = \frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}\)
Từ đó \(y = 1 - \sqrt{10} - (\frac{2\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{5}). \sqrt{2} = \frac{1 - 2\sqrt{10}}{5}\)
Vậy hệ có nghiệm \((x; y)\) = \((\frac{2\sqrt{2} - 3\sqrt{5}}{5};\frac{1 - 2\sqrt{10}}{5})\);
- \(\left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}- 1)x - y = \sqrt{2}& & \\ x + (\sqrt{2}+ 1)y = 1& & \end{matrix}\right.\)
Từ phương trình (2) ⇔ \(x = 1 - (\sqrt{2} + 1)y\) (3)
Thế (3) vào (1):\( (\sqrt{2} - 1)[1 - (\sqrt{2} + 1)y] - y = \sqrt{2} ⇔ -2y = 1\)
\(⇔ y = -\frac{1}{2}\)
Từ đó \(x = 1 - (\sqrt{2} + 1)(-\frac{1}{2}) = \frac{3 + \sqrt{2}}{2}\)
Vậy hệ có nghiệm \((x; y)\) = (\(\frac{3 + \sqrt{2}}{2}\); -\(\frac{1}{2}\))
Bài 18 trang 16 sgk Toán 9 tập 2
18. a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình
\(\left\{\begin{matrix} 2x + by=-4 & & \\ bx - ay=-5& & \end{matrix}\right.\)
Có nghiệm là \((1; -2)\)
- Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là \((\sqrt{2} - 1; \sqrt{2})\).
Bài giải:
- Hệ phương trình có nghiệm là \((1; -2)\) khi và chỉ khi:
\(\left\{\begin{matrix} 2 - 2b=-4 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2b=6 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 2a = -5 - 3& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ a = -4& & \end{matrix}\right.\)
- Hệ phương trình có nghiệm là \((√2 - 1; √2)\) khi và chỉ khi:
\(\left\{\begin{matrix} 2(\sqrt{2}-1)+b\sqrt{2}= -4 & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left\{\begin{matrix} b\sqrt{2}= -2 - 2\sqrt{2} & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left\{\begin{matrix} b= -(2 + \sqrt{2}) & & \\ a\sqrt{2}= -(2 + \sqrt{2})(\sqrt{2}-1)+5& & \end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left\{\begin{matrix} b= -(2 + \sqrt{2}) & & \\ a\sqrt{2}= -\sqrt{2}+5& & \end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left\{\begin{matrix} a = \frac{-2+5\sqrt{2}}{2} & & \\ b = -(2+ \sqrt{2})& & \end{matrix}\right.\)
Bài 19 trang 16 sgk Toán 9 tập 2
19. Biết rằng: Đa thức \(P(x)\) chia hết cho đa thức \(x - a\) khi và chỉ khi \(P(a) = 0\).
Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho \(x + 1\) và \(x - 3\):
\(P(x) = m{x^3} + (m - 2){x^2} - (3n - 5)x - 4n\)
Bài giải:
\(P(x)\) chia hết cho \(x + 1\)
\( ⇔ P(-1) = -m + (m - 2) + (3n - 5) - 4n = 0\)
\(⇔-7-n=0\) (1)
\(P(x)\) chia hết cho \(x - 3\)
\(⇔P(3) = 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0\)
\( ⇔36m-13n=3\) (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n.
\(\left\{\begin{matrix} -7 - n = 0& & \\ 36m - 13n = 3& & \end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ 36m = 3 + 13(-7)& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ 36m = -88& & \end{matrix}\right.\)
Câu 16. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.
- \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 5 & & \\ 5x + 2y = 23 & & \end{matrix}\right.\);
- \(\left\{\begin{matrix} 3x +5y = 1 & & \\ 2x -y =-8 & & \end{matrix}\right.\);
- \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} = \frac{2}{3}& & \\ x + y - 10 = 0 & & \end{matrix}\right.\)
giải:
- \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 5 & & \\ 5x + 2y = 23 & & \end{matrix}\right.\)
Từ phương trình (1) ⇔ \(y = 3x - 5 \) (3)
Thế (3) vào phương trình (2): \(5x + 2(3x - 5) = 23\)
\(⇔ 5x + 6x - 10 = 23 ⇔ 11x = 33 ⇔x = 3\)
Từ đó \(y = 3 . 3 - 5 = 4\).
Vậy hệ có nghiệm \((x; y) = (3; 4)\).
- \(\left\{\begin{matrix} 3x +5y = 1 & & \\ 2x -y =-8 & & \end{matrix}\right.\)
Từ phương trình (2) ⇔ \(y = 2x + 8 \) (3)
Thế (3) vào (1) ta được: \(3x + 5(2x + 8) = 1 ⇔ 3x + 10x + 40 = 1\)
\(⇔ 13x = -39 ⇔ x = -3\)
Từ đó \(y = 2(-3) + 8 = 2\).
Vậy hệ có nghiệm \((x; y) = (-3; 2)\).
- \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y} = \frac{2}{3}& & \\ x + y - 10 = 0 & & \end{matrix}\right.\)
Phương trình (1) \(⇔ x = \frac{2}{3}y\) (3)
Thế (3) vào (2): \(\frac{2}{3}y + y = 10 ⇔ \frac{5}{3}y = 10\)
\(⇔ y = 6\).
Từ đó \(x = \frac{2}{3} . 6 = 4\).
Vậy nghiệm của hệ là \((x; y) = (4; 6)\).